Un conjunto de números es incontable cuando no es posible asignarle un número natural único a todos sus elementos. En otras palabras, los conjuntos incontables son aquellos que no poseen una correspondencia uno a uno con los números naturales.
Solemos utilizar los números naturales de manera intuitiva para contar, y esto lo hacemos asignando un número natural a cada elemento del grupo que queremos contar, de manera secuencial. Por ejemplo, al contar el número de dedos que tenemos en una mano, le asignamos a cada uno de los dedos un número natural único comenzando por el 1 y terminando en el 5. Sabemos entonces que hay 5 dedos en las manos porque ese es el valor más alto que le asignamos a los dedos. En otras palabras, contamos los dedos.
Esta idea no se puede aplicar a algunos conjuntos de números. En algunos casos, los conjuntos son tan grandes que ni siquiera utilizando infinitos números naturales alcanzaría para numerar a todos los elementos del conjunto. Dado que el conjunto de números naturales es infinito, la idea de que existan conjuntos incontables sugiere la idea de que hay algunos infinitos que son más grandes que otros, y solo serán contables aquellos conjuntos que posean un infinito del mismo «tamaño» que el de los números naturales. Al número de elementos en un conjunto se le denomina cardinal, así que son conjuntos incontables aquellos cuyo cardinal es mayor que el de los números naturales.
Algunas propiedades de los conjuntos contables e incontables
Para entender por qué algunos conjuntos son contables y algunos no, es útil conocer algunas propiedades de los conjuntos:
- Si A es un subconjunto de B y A es incontable, entonces B también lo es. Dicho de otra forma, cualquier conjunto que contenga a un conjunto incontable, debe ser él mismo incontable.
- Si A es incontable y B es cualquier conjunto (contable o no), entonces la unión A U B también es incontable.
- Si A es incontable y B es cualquier conjunto, entonces el producto cartesiano A x B también es incontable.
- Si A es infinito (incluso numerablemente infinito), entonces el conjunto de potencias de A es incontable.
Ejemplos de los conjuntos incontables más comunes
El conjunto de los números reales (R)
El conjunto de los números reales es el primer ejemplo de un conjunto incontable. Pero ¿cómo sabemos que son incontables si tienen infinitos elementos y además contamos con infinitos números naturales para asignar? Esto lo logramos gracias al argumento de la diagonal de Cantor.
La diagonal de Cantor
El argumento de la diagonal de Cantor permite demostrar que el subconjunto de los números reales que se encuentran entre dos límites bien definidos, por ejemplo, entre el 0 y 1, es un conjunto incontable. Como consecuencia, por las propiedades ya mencionadas de los conjuntos incontables, el conjunto completo de todos los números reales también debe ser incontable.
Supongamos que creamos una lista infinita de números reales entre el 0 y el 1. Es completamente irrelevante cómo se construye esta lista. Lo único que importa es que todos los números sean únicos. Ahora, vamos a asignar a cada uno de estos números un número natural único, comenzando por el 1 y avanzando secuencialmente. Un ejemplo de esta lista se presenta en la siguiente tabla:
| N | R | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … |
En este punto, estamos asignando un número natural único a todos los números de nuestra lista. Como esta lista es infinita, y a cada número real le corresponde un número natural, entonces “gastamos” todos los números naturales en esta tabla. Lo que Canto hizo fue demostrar que hay por lo menos un número real adicional que no está en esta lista y que, por lo tanto, no se puede contar. Dicho número se construye tomando todos los elementos de la diagonal que atraviesa la tabla, luego sumándole 1. Es decir que el número nuevo comenzará por la primera cifra del primer número incrementada en una unidad, después tendrá la segunda cifra del segundo número incrementada en una unidad, luego la tercera cifra del tercer número y así sucesivamente.
En la siguiente tabla se resaltan en negrita los elementos de la diagonal y se añade en la última fila el número que resulta de la operación:
| N | R | ||||||||
| 1 | 0, | 2 | 2 | 4 | 5 | 8 | 7 | 9 | 6… |
| 2 | 0, | 5 | 2 | 1 | 3 | 2 | 4 | 0 | 2… |
| 3 | 0, | 6 | 4 | 0 | 5 | 7 | 8 | 3 | 0… |
| 4 | 0, | 1 | 7 | 9 | 8 | 2 | 2 | 4 | 3… |
| 5 | 0, | 8 | 5 | 5 | 4 | 7 | 3 | 2 | 2… |
| 6 | 0, | 0 | 4 | 8 | 3 | 8 | 1 | 5 | 3… |
| 7 | 0, | 7 | 8 | 4 | 2 | 0 | 9 | 1 | 0… |
| 8 | 0, | 3 | 4 | 6 | 7 | 9 | 1 | 3 | 5… |
| … | … | 2+1 | 2+1 | 0+1 | 8+1 | 7+1 | 1+1 | 1+1 | 5+1 |
| 0, | 3 | 3 | 1 | 9 | 8 | 2 | 2 | 6… |
El número resultante es 0,33198226…
Como podemos ver, dado que la primera cifra del número nuevo (la cual es 3) es distinta a la primera cifra del primer número de la lista (la cual es 2), entonces será un número diferente del primero, incluso si todas las demás cifras son exactamente iguales. Como la segunda cifra (3) es diferente de la segunda cifra del segundo número (2), entonces será diferente del segundo número también.
Este mismo argumento se puede continuar indefinidamente avanzando a lo largo de la diagonal, asegurando que el número resultante será diferente en por lo menos una cifra de todos los infinitos números de la tabla.
Sin embargo, como ya “gastamos” o asignamos todos los números naturales antes de crear este número nuevo, entonces no nos queda ningún número natural único que asignarle, por lo que concluimos que el conjunto de los números reales entre 0 y 1, y por extensión el de todos los números reales, es un conjunto incontable.
El conjunto de los números trascendentes
Los números trascendentes son aquellos que pertenecen al conjunto de los números reales, pero que no son números algebraicos. Esto quiere decir que no son raíces de una ecuación polinómica de la forma:
donde todos los coeficientes son números enteros. Llamemos A al conjunto de todos los números reales algebraicos y T al resto de los números reales, es decir, a los trascendentes. Es fácil darse cuenta que el conjunto total de los números reales, R, es la unión de los conjuntos A y T, es decir:
Se puede demostrar que el conjunto de los números algebraicos es contable. Además, ya demostramos que los números reales son incontables. Como R es incontable, no puede estar formado por la unión de dos conjuntos contables. Sabiendo que A es contable, se concluye que T es incontable.
El conjunto de las secuencias de números binarios
Una secuencia de números binarios es simplemente una cadena de ceros y unos de cualquier longitud. Si unimos todas las posibles secuencias de números binarios, obtenemos el conjunto de las secuencias de números binarios. Esto no es más que un subconjunto de los números reales en el que los únicos dígitos son 0 y 1.
Es muy fácil demostrar que este conjunto de números es incontable utilizando el mismo argumento de Cantor con el que demostramos que R es incontable. La única salvedad es que, en lugar de sumarle 1 a los números de la diagonal, simplemente invertimos su valor, reemplazando el 0 por el 1 y viceversa.
Al igual que antes, la secuencia binaria resultante será diferente a cualquier conjunto infinito de secuencias que podamos haber incluido en la lista original, por lo que se trata de un conjunto incontable.
Otras secuencias de números con distinta base
El argumento de las secuencias de números binarios y de los números reales se puede extender a cualquier secuencia de números de cualquier base. En este sentido, el conjunto de todas las secuencias de números hexadecimales será incontable; también lo será el conjunto de secuencias de números ternarios, cuaternarios, etc.
Referencias
Ejemplos comunes de conjuntos incontables. (2020, 16 marzo). PeoplePerProject. https://es.peopleperproject.com/posts/9312-common-examples-of-uncountable-sets
Ivorra Castillo, C. (s. f.). TEORÍA DE CONJUNTOS. UV.es. https://www.uv.es/ivorra/Libros/TC.pdf
Libretexts. (2021, 7 julio). 1.4: Countable and Uncountable Sets. Mathematics LibreTexts. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Combinatorics_and_Discrete_Mathematics/An_Introduction_to_Number_Theory_(Veerman)/01%3A_A_Quick_Tour_of_Number_Theory/1.04%3A_Countable_and_Uncountable_Sets
Schwartz, R. (2007, 12 noviembre). Countable and Uncountable Sets. Brown Math. https://www.math.brown.edu/reschwar/MFS/handout8.pdf
Uncountable Sets | Examples of Uncountable Sets. (2020, 21 septiembre). Cuemath. https://www.cuemath.com/learn/Mathematics/uncountable-sets/
