Probabilidad de unión de tres o más conjuntos

probabilidad de unión de tres o más conjuntos

En estadística, es muy común enfrentarse a situaciones en las que se desea calcular la probabilidad de unión de varios eventos diferentes. Por ejemplo, al dueño de una tienda de golosinas puede interesarle determinar cuál es la probabilidad de que el siguiente niño que entre a su tienda compre una barra de chocolate blanco o una barra de chocolate con leche. En este caso, se desea determinar la probabilidad de que suceda alguno de dos posibles eventos, lo cual, según la teoría de conjuntos, constituye la probabilidad de unión de ambos eventos, o P(A U B).

En el caso descrito, el cálculo de esta probabilidad consiste simplemente en la suma de las probabilidades individuales, menos la probabilidad de la intersección entre ambos eventos, es decir:

Probabilidad de unión de tres o más conjuntos

La razón por la que se debe restar la probabilidad de intersección es que al sumar las probabilidades de ambos eventos, cualquier intersección se está contando dos veces. Esto resulta un proceso relativamente sencillo de entender. Sin embargo, también puede suceder que deseemos determinar la probabilidad de unión no de dos, sino de tres o más eventos. ¿Qué se debe hacer en casos así? En la siguiente sección veremos una forma sencilla para determinar la fórmula que se debe aplicar en los casos de tres y cuatro eventos, y luego utilizaremos estos resultados, junto con la fórmula anterior, para generalizar la determinación de la probabilidad de unión para cualquier número de eventos.

Repaso de conceptos básicos

Para entender el proceso de cálculo de las probabilidades de unión es necesario recordar brevemente algunos términos importantes que se utilizarán más adelante:

Experimento. En probabilidad, un experimento es cualquier proceso que se pueda repetir múltiples veces y que siempre produce un resultado. Cada experimento tiene asociado un conjunto determinado de posibles resultados que siempre será el mismo.

Resultado. Llamaremos resultado a la consecuencia de un experimento, como por ejemplo la cara particular que sale al lanzar un dado.

Espacio muestral (S). El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

Evento. Cualquier conjunto de posibles resultados.

Diagrama de Venn. Representación gráfica que muestra las relaciones entre conjuntos de eventos y entre la probabilidad de los eventos de un experimento.

La probabilidad de unión de tres eventos

Supongamos que llevamos a cabo un experimento y deseamos determinar la probabilidad de que ocurra uno de 3**3tres eventos diferentes, pudiendo ocurrir simultáneamente o no. Llamaremos a estos tres eventos A, B y C.

En estos casos, se pueden dar varias situaciones diferentes. Por ejemplo, puede suceder que ninguno de los eventos comparta resultados con ningún otro, en cuyo caso decimos que los eventos son mutuamente excluyentes, lo que se ejemplifica en el siguiente diagrama de Venn:

Probabilidad de unión de tres o más conjuntos disjuntos

Los círculos A, B y C representan los tres eventos y encierran un conjunto de resultados dentro del espacio muestral, que viene a ser el rectángulo gris identificado con la letra S. En estos casos, la probabilidad de unión viene dada simplemente por la suma de las probabilidades de cada evento separado:

Probabilidad de unión de tres o más conjuntos

Por otro lado, también puede que alguno de los eventos comparta resultados con uno de los otros dos eventos, o inclusive con los dos. Esto se ilustra en un diagrama de Venn como áreas que se intersecan entre sí.

Probabilidad de unión de tres conjuntos

En estos casos, la suma de las probabilidades toma en cuenta algunos resultados más de una vez, por lo que es necesario restar estas probabilidades que se han contado de más. Es decir, hay que restar la probabilidad de la intersección entre cada par de eventos. Sin embargo, en los casos en que existan resultados presentes en los tres eventos (como los que están en el centro del diagrama de Venn anterior), la resta de las intersecciones de las parejas elimina la contribución del área centran en la que se intersecan los tres eventos. Por esta razón, debemos sumar de nuevo esta pequeña área que corresponde a la probabilidad de intersección de A, B y C.

Finalmente, la probabilidad de unión de los tres eventos queda:

Probabilidad de unión de tres conjuntos

NOTA: A pesar de que esta expresión se estableció para el caso particular en el que los tres eventos se intersecan entre sí, esta es la forma más general del caso de tres eventos ya se puede convertir en la probabilidad de unión de cualquier conjunto de tres eventos, se intersequen o no. Por ejemplo, en el caso de eventos mutuamente excluyentes, todas las probabilidades de intersección son cero, por lo que la expresión se reduce a la suma de las probabilidades individuales que se mostró al principio de esta sección.

La probabilidad de unión de cuatro eventos

Supongamos ahora que llevamos a cabo un nuevo experimento y estamos interesados en la probabilidad de unión entre cuatro eventos: A, B, C y D. El caso más general es en el que todos pueden llegar a intersecarse entre sí, como se muestra en el siguiente diagrama:

Probabilidad de unión de cuatro conjuntos

En este caso, la suma de las cuatro probabilidades simples cuenta cuatro veces la probabilidad de los resultados contenidos en el área I, tres veces los de las áreas II, III, IV y V, y dos veces las áreas VI, VII, VIII y IX. Para corregir esto, en primer lugar se deben restar las probabilidades de intersección de todas las parejas (A y B, A y C, A y D, B y C, B y D, y C y D). Esto, a su vez, resta demasiadas veces las regiones de intersección de cada grupo de tres (ABC, ABD, ACD y BCD), por lo que se deben volver a sumar estas áreas, y así sucesivamente hasta que estén contadas todas las áreas una sola vez.

El resultado para el caso de cuatro eventos, sean mutuamente excluyentes o no, es:

Probabilidad de unión de tres o más conjuntos

Probabilidad de unión de más de cuatro eventos

Hasta este punto ya podemos detectar un patrón entre las fórmulas de las probabilidades de unión de dos, tres y cuatro eventos. Todas comienzan con la suma de las probabilidades simples, luego se restan las probabilidades de intersección entre todas las posibles parejas de eventos, después se suman las probabilidades de intersección de cada posible grupo de tres eventos y se continúa así, alternativamente sumando y restando las intersecciones entre cada vez más eventos hasta que llegamos a la intersección de todos los eventos. Para un número par de eventos, esta última intersección siempre es negativa (se resta) mientras que, para un número impar de eventos, siempre es positiva (se suma).

Referencias