Diferencias entre extrapolación e interpolación

Al llevar a cabo distintos tipos de cálculos, bien sea en ciencias o en ingeniería, es muy común recurrir a datos experimentales que encontramos organizados en diferentes tablas. Estos datos suelen relacionar dos variables que sabemos que dependen la una de la otra, pero cuya dependencia matemática no conocemos. Esto no sería un problema si los datos que necesitamos estuvieran todos en la tabla, pero esto rara vez sucede. Es más común que necesitemos el valor de una de las variables para un valor de la otra que no se encuentra en la tabla.

Cuando esto sucede, podemos ajustar los datos experimentales o tabulados a una función matemática polinómica, la cual luego podemos emplear para calcular, de manera aproximada, el valor desconocido de la variable de interés. Este proceso puede implicar una interpolación o una extrapolación.

Estos dos procesos están íntimamente relacionados y se basan en el mismo procedimiento básico de ajuste, pero no son iguales. A continuación, discutiremos cuáles son las principales diferencias de estos dos métodos de estimación del valor de una variable dependiente para un valor determinado de una independiente.

Definición de interpolación

La interpolación es el proceso de estimar el valor de una variable dependiente para un valor particular de la variable independiente a partir del conocimiento de un conjunto de datos o puntos discretos por encima y por debajo del punto que queremos estimar. En otras palabras, es el proceso de estimación de un punto que se encuentra entre dos puntos conocidos. La siguiente gráfica muestra una serie de datos representados por los puntos azules y el punto rojo representa la interpolación entre los puntos en X₁ y X₂.

La palabra interpolación proviene de la unión de dos vocablos del latín que son el prefijo inter- que significa entre o a intervalos, y –polire, que significa empujar o impeler, haciendo referencia al hecho que la interpolación tiene que ver con empujar o trasladar dos datos hacia un punto que se encuentra entre ambos.

Definición de extrapolación

La extrapolación se puede entender como el proceso de estimar el valor de una variable dependiente para un valor de la variable independiente, a partir de un conjunto de puntos o datos que son o bien todos mayores o todos menores que el punto que se desea estimar.

En otras palabras, es el proceso de estimar el valor de un punto que se encuentra por encima o por debajo de todos los puntos o datos conocidos. La siguiente figura muestra un ejemplo de la extrapolación de los datos hasta un punto por encima de todos los datos conocidos.

Desde el punto de vista etimológico, extrapolar posee la misma raíz latina –polire, solo que esta vez es precedida por el prefijo en latín extra- que significa fuera de. Así, el término hace referencia a la estimación de puntos que se encuentran fuera del rango del conjunto de datos originales, bien sea porque es mayor o menor que todos los datos conocidos.

Diferencias en la incertidumbre de la interpolación y la extrapolación

Al comparar la interpolación con la extrapolación se puede observar que existe una diferencia importante respecto al riesgo de producir resultados que se alejen considerablemente del valor real del dato que buscamos. En el caso de la interpolación, como esta se lleva a cabo entre dos puntos consecutivos, podemos tener un cierto grado de certeza de que el valor que estamos interpolando se encuentra en algún punto intermedio entre estos dos puntos. Es decir, tenemos cierta seguridad de que el valor de la función desconocida no se dispara hacia arriba o hacia abajo antes de llegar al siguiente punto, porque sabemos dónde se encuentra dicho punto siguiente.

En cambio, cuando hacemos una extrapolación, estamos proyectando el comportamiento de los datos hacia adelante o hacia atrás y, como no hay puntos de referencia más adelante (o más atrás, si fuera el caso), entonces no tenemos manera de saber cómo se comporta realmente la variable. Puede que continúe con el mismo comportamiento con el que venía antes, como puede que se dispare abruptamente en cualquier dirección. Por esta razón, la extrapolación conlleva una mayor incertidumbre que la interpolación.

Se suelen ajustar a distintas funciones polinómicas

El proceso de extrapolación y el de interpolación se basan en el ajuste de dos o más puntos conocidos a una función matemática que nos permitirá predecir el valor de la función en otros puntos desconocidos. Tanto en el caso de la interpolación como el de la extrapolación, la función más comúnmente utilizada para la estimación es la función lineal (y = mx +b). Mientras que esta función resulta adecuada tanto para la interpolación como para la extrapolación cuando el valor desconocido que queremos estimar se encuentra razonablemente cerca de los puntos conocidos, esto deja de ser así cuando nos alejamos de los extremos al extrapolar.

De hecho, si los datos como un todo no presentan un comportamiento notablemente lineal, las extrapolaciones pueden alejarse muy rápidamente del valor real a medida que nos alejamos de cualquiera de los dos extremos. Es por esto que la extrapolación suele requerir más cuidado y el uso de funciones de extrapolación más complejas o de órdenes mayores que las que se utilizan para el interpolado.

En este último caso, la interpolación lineal casi siempre es adecuada, suponiendo que los datos o puntos conocidos no estén excesivamente alejados unos de otros.

Pueden diferir en el número de datos necesarios para la estimación

Otra diferencia importante entre la interpolación y la extrapolación es el número de datos necesarios para llevar a cabo la estimación. En la interpolación, se asume casi siempre que el valor del punto buscado se encuentra sobre una línea recta que une a los dos puntos más cercanos. En este caso, con conocer estos dos puntos es suficiente para llevar a cabo la interpolación. En otras palabras, el efecto de un error en la estimación de la pendiente en la interpolación rara vez tiene consecuencias graves, ya que el punto estimado casi siempre se encontrará entre los dos puntos conocidos.

En cambio, en el caso de la extrapolación, como a medida que nos alejamos del punto más alto (o más bajo) las diferencias en la pendiente de la recta tienen un impacto cada vez mayor sobre el valor de y, resulta muy riesgoso tomar solo dos puntos para calcular la pendiente. En estos casos, lo que se suele hacer es ajustar varios puntos a la mejor recta o a otra función polinómica de orden mayor por medio del proceso de mínimos cuadrados, asegurando así que la recta que extrapolemos hacia adelante (o hacia atrás) refleje el comportamiento general de los datos como un todo y no como solo un par de ellos.

El interpolado y extrapolado lineal

En el caso de la interpolación lineal y de la extrapolación lineal, se utilizan en esencia las mismas ecuaciones matemáticas. En los dos casos la función de interpolación tiene la forma de y = mx + b, donde y es el valor que estamos buscando para un determinado valor de x, m es la pendiente de la línea recta a la que estamos ajustando los datos y b es el corte con el eje y de la función de interpolación.

La pendiente de una función lineal se puede calcular a partir de dos puntos cualesquiera por medio de la fórmula:

Esta fórmula la podemos aplicar dos veces, una entre dos puntos cualesquiera de la serie de datos conocidos, y otra entre un punto conocido y el punto que queremos hallar. Como en ambos casos la pendiente es la misma, podemos igualar ambas expresiones y así obtener la fórmula que relaciona el valor de y que buscamos para el determinado valor de x que tenemos.

Ejemplo

Supongamos que queremos utilizar dos puntos consecutivos p_k-1=(x_k-1 ; y_k-1) y p_k=(x_k ; y_k) para interpolar o extrapolar un punto cualquiera (x ; y). Podemos entonces escribir la pendiente dos veces e igualar para obtener:

Reordenando esta ecuación, obtenemos:

Nótese que, en este caso, no se asume nada acerca de la posición del punto (x ; y) en relación a los dos datos que se están utilizando para la estimación, por lo que la misma ecuación nos sirve tanto para la interpolación como para la extrapolación.

Si se verifica que x_k-1 < x <x_k, o, en otras palabras, que x se encuentra entre x_k-1 y x_k, entonces se trata de una interpolación. En cambio, si x>x_máx o x<x_min, es decir, si x es mayor que el valor máximo o menor que el valor mínimo de la serie de datos, entonces se trata de una extrapolación.

Ejemplo de interpolación

Supongamos que sabemos que la demanda de pizzas en la ciudad venezolana de Mérida es de 500.000 unidades al año cuando el precio promedio por unidad es de $20, mientras que a un precio promedio de $15 la demanda aumenta a 750.000. Estamos interesados en estimar cuál sería la demanda si fijamos el precio a $16,5.

Solución

Notemos que este es un ejemplo de interpolación, ya que el punto que queremos estimar, correspondiente a un precio de $16,5, se encuentra ubicado entre dos puntos conocidos (es decir, se encuentra entre $15 y $20). Para este ejemplo, tenemos que:

Ahora, aplicando la fórmula de interpolación lineal:

 Así, si el precio promedio de las pizzas se fija en $16,5 por unidad, la demanda anual será de 675.000 pizas por año.

Ejemplos de extrapolación

Supongamos que en el mismo ejemplo anterior deseamos determinar cuál sería la demanda en caso de que el precio aumentara a $25 por unidad. Como en este caso se verifica que x = $25 > $20, entonces se trata de una extrapolación. Nuevamente, los datos son:

Sustituyendo:

Por lo tanto, la extrapolación predice que si aumenta el precio hasta $25, la demanda se reduce a la mitad de lo que era a $20.

Referencias

Alonso. (2006, 13 febrero). 3 Métodos de interpolación a partir de puntos. Universidad de Madrid. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html

Gonza, D. (2016, septiembre). Unidad: interpolación y extrapolación de datos. doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf

LesKanaris. (s. f.). La diferencia entre extrapolación e interpolación – Interesante – 2022. https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolati.html

Pinzón, J. (2013, 9 octubre). Interpolacion y Extrapolacion. julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/

UNIGAL. (2021, 14 septiembre). Fórmula de interpolación lineal, definición, ejemplos y más. https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/