Qué es la fórmula de Rydberg y cómo se aplica

espectro de emisión

Un elemento en el que se produce una descarga eléctrica estando en estado gaseoso o que forma una llama, emite radiación electromagnética en forma de luz, si es radiación de longitud de onda en el espectro visible, o bien radiación ultravioleta o infrarroja. Esta radiación es la mezcla de varias emisiones de longitud de onda bien definida que conforman el espectro de emisión de ese elemento, y cada una estas emisiones se denominan líneas espectrales. La fórmula de Rydberg es una expresión matemática empírica que permite determinar la longitud de onda de las líneas espectrales de un elemento.

Janne Rydberg

Johannes (Janne) Robert Rydberg nació el 8 de noviembre de 1854 en Halmstad, Suecia. Estudió en la Universidad de Lund y en 1879 defendió su tesis doctoral en matemáticas, accediendo a un cargo docente en 1881 que facilitaba su actividad de investigador. Al mismo tiempo que desarrollaba sus estudios en matemáticas trabajó como asistente en el Instituto de Física de la universidad, publicando su primer trabajo de física en la producción de electricidad por fricción.

El principal tema de interés en los comienzos de la carrera de Rydberg fue el comportamiento periódico de los elementos propuesto por Mendeleyev. En ese momento se comenzaron a estudiar los espectros de la radiación emitida por un elemento en el que se produce una descarga eléctrica o que forma una llama, resultados que habían comenzado a generarse con los trabajos de R.W. Bunsen and G.R. Kirchhoff. Rydberg estaba convencido de que el estudio de las líneas espectrales que se obtenían proporcionaría información clave para sus trabajos sobre el origen de la periodicidad de las propiedades de los elementos.

La información que se obtenía de los espectros que se medían se acumulaba en extensas tablas que no se sintetizaba en un modelo que expresara su comportamiento físico. Rydberg analizó estos datos y descubrió que era posible ordenar las líneas espectrales de un elemento en series diferentes, y en cada serie las líneas espectrales se ordenaban en intensidad decreciente a partir de la primer línea. Asignó números enteros a cada serie, un número de orden, comenzando con el número uno para la línea de mayor longitud de onda, el dos para la siguiente y así sucesivamente. Al hacer un gráfico de las longitudes de onda y el número de orden observó que se trazaba una hipérbola, por lo que su primer fórmula asociaba el valor inverso de la longitud con el valor inverso del número de orden multiplicado por una constante, la constante de Rydberg. Más adelante observó que se obtenía una expresión que se ajustaba mejor a los datos si se elevaba al cuadrado el número de orden.

La expresión de la fórmula de Rydberg era entonces una descripción matemática que se ajustaba a los datos experimentales, era una fórmula empírica, pero no había una interpretación física de la fórmula. Esa interpretación sería posible varios años después, en 1913, cuando Niels Bohr publicó su teoría sobre la estructura de los átomos basada en la mecánica cuántica.

El espectro de emisión de los elementos

Cuando un elemento se calienta en una llama o se somete a descargas eléctricas sus electrones se excitan y pasan a niveles atómicos de mayor energía. Luego decaen al nivel anterior emitiendo la energía que absorbieron en forma de radiación electromagnética; un fotón cuya energía es la diferencia de las energías de los dos niveles. Y la energía del fotón determina la longitud de onda de la radiación que emiten. Los electrones pueden excitarse a diferentes niveles atómicos, por lo tanto emitirán radiación de diferente longitud de onda; pero la emisión asociada a cada decaimiento tendrá una longitud de onda bien definida. Ésta es la forma en que se generan los espectros de emisión; el decaimiento de cada nivel al que los electrones se pueden excitar en los átomos de un elemento genera cada línea espectral. Y, como los estados excitados de los átomos son diferentes para cada elemento, los espectros de emisión también lo serán; por lo tanto, los espectros de emisión son una característica de cada elemento.

La fórmula de Rydberg

La fórmula de Rydberg tiene la siguiente expresión.

1/ λ = RZ (1/n12 – 1/n22)

Donde λ es la longitud de onda de la radiación que se emite (Rydberg definió el número de onda como 1/ λ); R es la constante de Rydberg; Z es el número atómico del elemento, y n1 y n2 son números enteros, siendo n2> n1.

La energía y la posición de un electrón orbitando el núcleo de un átomo está representada por una ecuación de onda, solución de la ecuación Schrödinger. Ésta ecuación de onda incluye cuatro números cuánticos; n1 y n2 están relacionados el número cuántico principal n, asociado a la energía del electrón.

Rydberg midió la constante R a partir del ajuste de su fórmula a los datos experimentales que se obtenían de las mediciones espectrales. El primer valor que obtuvo con las mediciones de las longitudes de onda del hidrógeno fue 109721.6 1/cm. Posteriormente se observó que el valor de R es diferente para cada elemento, y se definió la constante para una masa nuclear infinita. El valor medido más reciente de la constante de Rydberg para una masa nuclear infinita es 109737.31568549 (83) 1/cm (el valor entre paréntesis es la incerteza de la medición, aplicada a los últimos dos dígitos).

Si se aplica la fórmula de Rydberg al átomo de hidrógeno se obtienen distintas series espectrales al variar n1, y cada serie se desarrolla variando n2. Por ejemplo, si n1 = 1, variando n2 entre 2 e infinito se obtienen las longitudes de onda de las emisiones de la serie espectral que se denominó serie de Lyman. Incrementando n1 se obtienen las series de Balmer, Paschen, Brackett, Pfund y Humphrey.

Fuentes

Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie. An introduction to modern astrophysics. Segunda edición, Pearson Addison-Wesley. 2007.

Indrek Martinson, L.J. Curtis. Janne Rydberg – his life and work Nuclear Instruments and Methods in Physics Research B 235 (2005) 17–22.