Fórmula y cálculo de la incertidumbre relativa

La incertidumbre relativa, representada muchas veces con el símbolo δ (la letra griega delta minúscula), es la relación entre la incertidumbre absoluta de una medida experimental y el valor aceptado como verdadero, o la mejor estimación de dicha medida. Es una cantidad que nos da una idea sobre lo grande o pequeña que es la incertidumbre de una medida comparada con su magnitud.

Recordemos que la incertidumbre de una medida se refiere a la amplitud del rango de posibles valores dentro del cual suponemos que se encuentra el valor verdadero de una medida. Esto viene del hecho de que es imposible llevar a cabo medidas experimentales perfectas, completamente libres de error, así que lo mejor que podemos hacer es estimar su valor. Lo hacemos reportando el valor de una medida junto con su incertidumbre:

donde x es el valor de la medida y ∆x es su incertidumbre absoluta. Esta expresión se interpreta diciendo que el valor de la medida se encuentra entre x – ∆x y x + ∆x con cierto nivel de confianza.

Interpretación de la incertidumbre relativa

En el caso de la incertidumbre relativa, el valor se suele representar como un porcentaje, y se interpreta diciendo que el valor real de la medida se encuentra dentro de un rango del tanto por ciento alrededor del valor de la medida experimental.

Por ejemplo, si se mide la velocidad de un automóvil que viaja a 150 km/h con una incertidumbre relativa del 5%, esto se interpreta como que la verdadera velocidad del coche se encuentra dentro de un rango del 5% alrededor de 150km/h.

Importancia de la incertidumbre relativa

La incertidumbre relativa, a veces también llamada error relativo (aunque este término no es estrictamente correcto), permite poner la incertidumbre de una medida en perspectiva. Por ejemplo, tener una incertidumbre absoluta de 0,5 cm al medir la longitud de una pista de atletismo de 400 m de largo no es un problema grave. Se podría decir que la incertidumbre de la medida es relativamente pequeña, ya que la magnitud de la medida es grande comparada con la incertidumbre.

En cambio, si tenemos la misma incertidumbre de 0,5 cm al medir el tamaño de un teléfono móvil que mide 10 cm, entonces es fácil darse cuenta que esta incertidumbre es mucho mayor, a pesar de que ambas incertidumbres absolutas son iguales.

Por otro lado, si en lugar de comparar las incertidumbres absolutas de dos medidas comparamos sus incertidumbres relativas, entonces se tendrá una idea directa sobre cuál de las dos medidas tiene una incertidumbre menor.

Fórmula para calcular la incertidumbre relativa

En términos generales, la incertidumbre relativa se calcula como la relación entre la incertidumbre absoluta y la magnitud de la medida. Es decir:

Unidades de la incertidumbre relativa

Al contrario que la incertidumbre absoluta, que se reporta en las mismas unidades de la medida a la que se refiere, la incertidumbre relativa no tiene unidades; es, pues, una cantidad adimensional. Esta es una de las razones que permite comparar la incertidumbre relativa de diferentes medidas de distintas magnitudes físicas, que evidentemente están expresadas en unidades diferentes.

Por otro lado, en algunos casos se acostumbra a expresar la incertidumbre relativa como un porcentaje, en cuyo caso va acompañada con el símbolo %.

¿Cómo calcular la incertidumbre relativa?

La fórmula para calcular la incertidumbre relativa es muy sencilla. Sin embargo, su aplicación depende del contexto en el que se utilice, ya que la incertidumbre absoluta se puede definir de formas diferentes.

Incertidumbre relativa de valores reportados

En aquellos casos en los que se quiere calcular la incertidumbre relativa de una medida reportada en la literatura, normalmente ya se tiene todo lo necesario para calcular la incertidumbre relativa, ya que estos valores siempre se reportan junto con su incertidumbre absoluta.

Ejemplo

La densidad del agua es de 997  ±  1kg/m³, por lo que x = 997 1kg/m³ (la magnitud) y ∆x = 1 1kg/m³ (la incertidumbre absoluta), así que la incertidumbre relativa en este caso es:

Incertidumbre relativa de medidas experimentales individuales

¿Qué hacer cuando queremos determinar la incertidumbre relativa de una sola medida experimental? En estos casos, tomamos como incertidumbre relativa el error de apreciación del instrumento de medida con el que estamos trabajando. Por ejemplo, si estamos midiendo la longitud de una mesa con una cinta métrica que tiene una apreciación de 0,1cm (es decir, 1mm), entonces el error de apreciación será de 0,05cm.

Ejemplo

Pesamos una muestra de un líquido desconocido en una balanza analítica cuya apreciación es de 0,001g. El peso de la muestra es de 0,489g. Si queremos determinar la incertidumbre relativa, tomamos como incertidumbre la mitad de la apreciación, por lo que reportamos la masa como 0,489 ± 0.0005g y la incertidumbre relativa de la medida será:

Incertidumbre relativa para un conjunto de medidas experimentales

Para obtener una mejor estimación del valor real de una medida y para contrarrestar el efecto de los errores aleatorios, muchas veces se lleva a cabo la medida de la misma cantidad repetidas veces. En estos casos, se utilizan herramientas estadísticas para estimar el mejor valor de la medida.

En este sentido, se toma como valor aceptado de la medida la media de los datos experimentales, y se suele tomar como incertidumbre la desviación estándar de las medidas respecto a la media.

Esta viene dada por la ecuación:

Esta ecuación puede parecer compleja, pero en realidad no es necesario que llevemos a cabo los cálculos, ya que cualquier calculadora científica viene equipada con funciones estadísticas que permiten introducir los datos individuales y producir el valor de la desviación típica o estándar con tan solo presionar un par de teclas.

Ejemplo

Supongamos que un profesor de laboratorio de biología pide a sus estudiantes medir el pH de un caldo de cultivo bacteriano que ha estado incubando las últimas 48 horas. Hay 15 grupos de estudiantes que llevaron a cabo el experimento de forma independiente y cuyos resultados se resumen en la siguiente tabla:

Utilizando una calculadora científica o una hoja de cálculo como Excel, se determinan la media y la desviación estándar de las medidas, El resultado es 4,42 ± 0,15, Así que, la incertidumbre relativa será, en este caso:

Referencias

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