Fórmulas para encontrar el momento de inercia

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El momento de inercia rotacional o, simplemente, la inercia rotacional, es una magnitud física escalar propia de cualquier objeto que posea masa, y que mide qué tan difícil es hacerlo girar en torno a un eje de rotación determinado. Se trata del equivalente rotacional de la inercia lineal y, como tal, es una cantidad que expresa la dificultad para cambiar la velocidad de un objeto, sea que este se encuentre en reposo o en movimiento, con la diferencia de que, en este caso, se trata de velocidad angular.

Esta cantidad es de gran importancia en la descripción del movimiento de rotación ya que nos permite entender la diferencia en el comportamiento de cuerpos que, a pesar de tener la misma forma externa y masa, se comportan de manera distinta al ser sometidos a fuerzas de torque que tienden a hacerlos girar. Esta diferencia surge de la diferencia en la distribución de la masa del cuerpo en torno al eje de rotación. Los anterior implica que un mismo cuerpo puede tener distintos momentos de inercia rotacional dependiendo de su posición relativa al eje de rotación, dando así origen a diferentes fórmulas para calcular el momento de inercia.

Dicho lo anterior, queda claro que existen tantas fórmulas para encontrar el momento de inercia como formas de objetos existentes y ejes de rotación posibles. Sin embargo, existen algunos casos particulares de formas geométricas regulares que rotan en torno a ejes que surgen de manera natural en la práctica. En las siguientes secciones, veremos las fórmulas más importantes para determinar el momento de inercia rotacional de estos cuerpos.

Fórmula del momento de inercia de una partícula puntual

El momento de inercia de una partícula puntual corresponde a la definición original de esta magnitud física. Esta expresión viene de la expresión de la energía cinética rotacional cuando esta se escribe en términos de la velocidad angular, w.

Supongamos que tenemos una partícula de masa m girando en torno a un eje central como el siguiente:

Fórmulas para encontrar el momento de inercia

La energía cinética de esta partícula, como la de cualquier otra partícula en movimiento, viene determinada por la mitad del producto entre su masa y su rapidez (el módulo de su velocidad) elevada al cuadrado, es decir, 1/2 mv2. Sin embargo, si el único movimiento que describe esta partícula es la rotación en torno al eje (no hay traslación), podemos expresar la rapidez lineal de la partícula en función de su rapidez angular, escribiendo v =rω. Al hacer esto, la energía cinética, que en este caso es energía cinética exclusivamente rotacional, queda expresada como:

Fórmulas para encontrar el momento de inercia

Donde el momento de inercia, I, de la partícula queda definido como:

Fórmulas para encontrar el momento de inercia

En esta expresión, m es la masa de la partícula puntual y r es el radio de rotación o, lo que es lo mismo, la distancia desde el eje de rotación hasta la partícula.

Fórmula del momento de inercia de una colección de partículas puntuales

Supongamos ahora que no tenemos una sola partícula girando en torno a un eje, sino que tenemos un sistema formado por n partículas, cada una con una masa particular, mi, y cada una girando con a una distancia ri del eje de rotación, tal como el sistema de tres partículas que se muestra a continuación.

Fórmulas para encontrar el momento de inercia partículas puntuales

Si quisiéramos calcular la energía cinética total de este sistema, solo tendríamos que sumar las energías cinéticas de cada una de las tres partículas. Si extendemos esta idea al caso general de n partículas y asumimos que todas se mueven a la misma velocidad angular (porque giran juntas), entonces la energía cinética rotacional total del sistema vendrá dada por:

Fórmulas para encontrar el momento de inercia

De donde se deduce que el momento de inercia total de un sistema de n partículas que giran juntas en torno al mismo eje, cada una de ellas con su propia masa y su propio radio de giro, viene dado por:

Fórmulas para encontrar el momento de inercia partículas puntuales

Esta fórmula sirve tanto para partículas puntuales como para partículas esféricas de cualquier tamaño, siempre y cuando el eje de rotación se encuentre fuera de la esfera. Si esta condición se cumple, entonces el radio corresponde a la distancia entre el eje y el centro de la esfera y la masa corresponde a la masa total de la esfera.

Fórmula integral de momento de inercia de cuerpos rígidos

La fórmula de momento de inercia anterior aplica para sistemas formados por partículas puntuales y discretas. Sin embargo, se puede extender a cuerpos rígidos que presentan una distribución continua de masa, tal como sucede de manera aproximada con los cuerpos macroscópicos.

En estos casos, calcular el momento de inercia consiste en dividir el cuerpo en pequeños elementos de masa (Δmi), cada uno de ellos ubicado a una distancia ri del eje de rotación, para luego aplicar la ecuación anterior. Sin embargo, si llevamos el tamaño del elemento de masa al límite en el que se convierte en un elemento infinitesimal o un diferencial de masa (dm), entonces la sumatoria se convierte en la integral, como se muestra a continuación:

Fórmula integral para encontrar el momento de inercia de cuerpos rígidos

Esta es la expresión general para encontrar el momento de inercia de cualquier cuerpo rígido, sea cual sea su forma, o su distribución de masa. En la mayoría de los casos, para llevar a cabo la integración, se reemplaza el elemento de masa, dm, por el producto de la densidad del cuerpo multiplicada por el diferencial del volumen, dV. Esto permite llevar a cabo la integración sobre todo el volumen del cuerpo rígido, inclusive si la distribución de la masa no es uniforme (siempre y cuando se conozca cómo varía en función de la posición).

En este caso, la expresión integral del momento de inercia queda:

Fórmula integral para encontrar el momento de inercia de cuerpos rígidos

A continuación, presentaremos el resultado de integrar la expresión anterior para distintos cuerpos rígidos con formas regulares tales como aros, cilindros y esferas, entre otros. En todos los casos descritos en adelante, las dimensiones y masas de los cuerpos considerados se representan con letras mayúsculas, para así distinguirlas de las variables de integración.

Fórmula del momento de inercia de un aro delgado uniforme de radio R en torno a su eje central

Uno de los casos más simples al momento de integrar la ecuación anterior es el de un aro uniforme que gira en torno a su centro de simetría. La siguiente figura muestra este caso.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un aro delgado

En el caso particular en el que el espesor del aro es despreciable en comparación a su radio, podemos considerarlo como una masa distribuida a lo largo de una circunferencia sin espesor, por lo que todos los elementos de masa se encuentran esencialmente al mismo radio, en este caso, R. Dadas estas condiciones, el radio sale de la integral, quedando solo la integral del diferencial de masa, dm, que es simplemente la masa del aro, M. El resultado es:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un aro delgado

En esta expresion, CM indica que se trata del momento de inercia en torno a su centro de masa.

Fórmula del momento de inercia de una esfera sólida de radio R que gira en torno a su centro

En el caso de una esfera sólida de radio R y densidad uniforme, que gira en torno a cualquiera de sus diámetros (un eje que pasa por su centro) tal como la que se muestra a continuación, la integral anterior se puede resolver de distintas maneras, entre las que se encuentran utilizar un sistema de coordenadas esféricas.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una esfera sólida

El resultado de la integración en este caso es:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una esfera sólida

Fórmula del momento de inercia de una concha esférica de radio interno R1 y radio externo R2 en torno a su centro

Si en lugar de una esfera sólida se trata de una esfera hueca o concha esférica con paredes gruesas, debemos considerar dos radios, el externo y el interno. Estos se muestran en la siguiente figura.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una concha esférica gruesa

En este caso, la solución pasa por considerar la concha esférica como una esfera de radio R2 a la que se le retirado una esfera del mismo material de su centro cuyo radio es R1. Luego de determinar la masa que hubiera tenido la esfera grande y la de la esfera pequeña que se retiró a través de la densidad de la concha original, se restan las inercias de ambas esferas para obtener:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una concha esférica gruesa

Fórmula del momento de inercia de una concha esférica delgada de radio R en torno a su centro

En el caso de que el espesor de la concha esférica sea despreciable en comparación a su radio o, lo que es lo mismo, que R1 sea prácticamente igual a R2, podemos calcular el momento de inercia como si se tratara de una distribución superficial de masa, toda ella ubicada a una distancia R del centro.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una concha esférica delgada

Tenemos en este caso dos opciones. La primera es resolver la integral desde cero. La segunda, es tomar el resultado anterior, el de la concha esférica gruesa, y obtener el límite cuando R1 tiende a R2. El resultado es el siguiente:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una concha esférica delgada

Fórmula del momento de inercia de una barra delgada de longitud L en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro de masa

Cuando tenemos una barra delgada, en esencia, podemos considerarlas como una distribución lineal de masa, independientemente de la forma de su perfil (es decir, independientemente de que se trate de una barra cilíndrica, cuadrada, o de cualquier otra forma). En estos casos, lo único que importa que la masa se distribuya de manera uniforme a lo largo de la barra.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una barra fina

En este caso, el momento de inercia queda expresado como:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una barra fina

Fórmula del momento de inercia de una barra delgada de longitud L en torno a un eje perpendicular que pasa por un extremo

Este es el mismo caso anterior, pero con la barra entera girando en torno a un eje perpendicular desde un extremo:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una barra fina

Dado que la masa de la barra se encuentra, en promedio, a una mayor distancia del eje de rotación, el momento de inercia será mayor. De hecho, es cuatro veces mayor que el caso anterior, como lo demuestra la siguiente expresión:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una barra fina

Nótese que en este caso el eje no pasa por el centro de masa, por lo que se omitió el subíndice CM del símbolo de momento de inercia.

Fórmula del momento de inercia de una barra cilíndrica sólida de radio R en torno a su eje central

Este caso se resuelve de manera muy sencilla utilizando un sistema de coordenadas cilíndricas y considerando al cilindro como si estuviera formado por conchas cilíndricas concéntricas de igual longitud, pero con distintos radios. Luego se integra el radio desde r = 0 hasta r = R.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un cilindro sólido

El resultado de este proceso es la fórmula de inercia de una barra cilíndrica, que es:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un cilindro sólido

Cabe resaltar que, dado que este resultado no depende de la longitud del cilindro, la misma expresión se puede utilizar para el caso de un disco circular.

Fórmula del momento de inercia de un cilindro hueco de radio interno R1 y radio externo R2 en torno a su eje central

Este caso es similar al de la concha esférica gruesa. Se aplica cuando el espesor de la concha, o la diferencia entre su radios externo e interno se encuentra en el mismo orden de magnitud que los mismos radios y, por lo tanto, no podemos considerar que la masa está concentrada en una superficie. Por el contrario, debemos considerar que se trata de una distribución tridimensional de masa a lo largo del espesor de la concha.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco

Al igual que en el caso de la concha esférica gruesa, el momento de inercia de un cilindro hueco con un radio interior de R1 y uno exterior de R2 lo podemos hallar por medio de la integración directa, o restando el momento de inercia del cilindro que se retiró al abrir el hueco central, del momento de inercia de un cilindro sólido que posee la misma densidad que la concha, utilizando para cada una de estas dos inercias la fórmula del apartado anterior.

El resultado de cualquiera de estas dos estrategias es el mismo y se presenta a continuación:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco

Al igual que en el caso anterior, dado que este resultado no depende de la longitud del cilindro, lo podemos utilizar para calcular el momento de inercia de un disco circular con un hueco en el centro, tal como, por ejemplo, una arandela o un disco Blu-ray.

Fórmula del momento de inercia de una concha cilíndrica delgada de radio R en torno a su eje central

En caso de que tengamos un cilindro hueco como el mostrado en la siguiente figura, en el que el espesor de la concha cilíndrica es muy pequeño en comparación con el radio del cilindro, podemos asumir que la masa está distribuida solo en la superficie de radio R.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco

Al igual que en los otros casos, podemos llevar a cabo la integración directa utilizando la densidad superficial de masa, o podemos evaluar el resultado de la concha cilíndrica gruesa en el límite en el que R1 tiende a R2. El resultado es:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de un cilindro hueco

Nuevamente notamos que este resultado es independiente de la longitud. Esto significa que se aplica de igual manera a un aro delgado. De hecho, podemos verificar que es el mismo resultado obtenido en el apartado correspondiente a un aro delgado.

Fórmula del momento de inercia de una placa rectangular regular en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro

En último lugar, consideremos el caso de una placa rectangular que gira en torno a un eje perpendicular a cualquiera de sus superficies, pasando por su centro de masa, como el que se muestra a continuación.

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una placa rectangular

El resultado de la integración directa es:

Fórmula para encontrar el momento de inercia de una placa rectangular

Como en los casos anteriores, este resultado es independiente de la altura o el espesor de la placa, por lo que aplica de igual forma a una hoja de papel que a un bloque de cemento sólido.

Referencias

Khan Academy. (s. f.). Inercia rotacional (artículo). https://es.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia

OneClass. (2020, 6 octubre). OneClass: Starting with the formula for the moment of inertia of a rod. https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html

Serway, R. A., Beichner, R. J., & Jewett, J. W. (1999). Physics for Scientists and Engineers With Modern Physics: 2: Vol. Tomo I (Quinta edición). McGraw Hill.

Snapsolve. (s. f.). The moment of inertia of a hollow thick spherical shell. https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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