¿Cuáles son los resultados posibles de lanzar tres dados simultáneamente?

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Lanzar monedas y dados al aire o retirar bolas a ciegas de una caja son algunos de los experimentos más sencillos que podemos llevar a cabo para poner a prueba nuestra comprensión de los distintos conceptos relacionados con la estadística. Son experimentos fáciles de realizar, que cualquiera puede hacer en el hogar, dan resultados claros e inequívocos y estos pueden convertirse fácilmente en datos numéricos.

En el caso del lanzamiento de dados, existe también la clara relación entre estos y los juegos de azar, lo que hace más palpable la aplicación de la estadística en algo que forma parte del día a día de bastantes personas o, como mínimo, algo con lo que casi todos nos hemos topado por lo menos una vez en la vida.

Lanzar tres dados de manera simultánea puede producir distintos tipos de resultados que podemos interpretar de distintas maneras. Podemos interesarnos por los resultados individuales en sí, o nos podemos interesar por el valor de la suma o por el número de resultados pares o impares que salen entre los dados, etc. De los tres, el más común es interesarse por el resultado de la suma de los valores de los tres dados. En las siguientes secciones, exploraremos cómo calcular la probabilidad de ocurrencia de cada una de las sumas al lanzar tres dados al mismo tiempo.

El espacio muestral del lanzamiento de tres dados

El lanzamiento de un solo dado cúbico es un experimento simple que tiene solo seis resultados posibles. Es decir, es un experimento cuyo espacio muestral está formado por los resultados S1 dado = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Al lanzar dos dados de manera simultánea, se puede suponer que el resultado de cada dado es independiente del otro, por lo que cada uno podrá resultar en cualquiera de los seis resultados anteriores. Esto trae como consecuencia que se puedan dar 62 = 36 posibles resultados correspondientes a todas las posibles combinaciones entre los 6 valores de un dado y los 6 valores del otro.

En este caso, tendremos un espacio muestral de S2 dados = {11; 12; 13; 14; 15; 16; 21; 22; 23; 24; 25; 26; …; 61; 62; 63; 64; 65; 66}. De estos 36 resultados, el número de combinaciones únicas (sin considerar el orden) se puede calcular por medio de una combinatoria con repetición en la que se toman grupos de n = 2 (los dos dados que se lanzan) con m = 6 posibles resultados:

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

Estos 21 resultados corresponden a {11; 12; 13; 14; 15; 16; 22; 23; 24; 25; 26; 33; 34; 35; 36; 44; 45; 46; 55; 56; 66}. La probabilidad de cada uno de estos resultados corresponde a 1/36 multiplicado por el número de permutaciones diferentes que se pueden crear con las cifras de cada número (1 si el número se repite, como en 11, 22, etc., y 2 si el número no se repite, ya que podemos tener 12 o 21, 13 o 31, etc.)

En el caso del lanzamiento de 3 dados, el número total de resultados posibles del espacio muestral viene dado por 63 = 216. Esto resultados son S3 dados = {111; 112; 113; 114; 115; 116; 121; …; 126; 131; …; 136; …; 166; 211; 212; …; 656; 666}. En este caso, la probabilidad de cualquiera de los resultados individuales debe ser 1/216.

Probabilidad de resultados individuales al lanzar tres dados

Ahora que tenemos bien definido el espacio muestral de todos los posibles resultados del lanzamiento de 3 dados, veamos cómo calcular la probabilidad de cada uno de los resultados diferentes que se puede obtener.

En el caso del lanzamiento de tres dados, considerando que el orden en el que salen los resultados es irrelevante, muchos de los 216 resultados en realidad se repetirán. El número total de resultados únicos lo podemos calcular nuevamente como un combinatorio de grupos de 3 con 6 opciones cada uno y con la posibilidad de repeticiones, es decir:

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

Entre estos 56 resultados, los que consisten en tres cifras iguales (llamémoslas AAA) solo se repiten una vez. En cambio, los que poseen dos cifras iguales y una diferente (AAB) se repiten 3 veces cada uno (correspondiente a las permutaciones AAB, ABA y BAA). Finalmente, los que poseen tres cifras diferentes (ABC) aparecerán 3! = 6 veces (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA).

A partir de esta información y del número total de resultados posibles (216), podemos calcular la probabilidad de cada resultado como

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

Según el resultado tenga 1, 2 o 3 cifras diferentes. Los 56 resultados posibles y sus probabilidades se muestran en la siguiente tabla:

ResultadoProbabilidadResultadoProbabilidadResultadoProbabilidadResultadoProbabilidad
1111/2161361/362351/363461/36
1121/721441/722361/363551/72
1131/721451/362441/723561/36
1141/721461/362451/363661/72
1151/721551/722461/364441/216
1161/721561/362551/724451/72
1221/721661/722561/364461/72
1231/362221/2162661/724551/72
1241/362231/723331/2164561/36
1251/362241/723341/724661/72
1261/362251/723351/725551/216
1331/722261/723361/725561/72
1341/362331/723441/725661/72
1351/362341/363451/366661/216

Probabilidad de la suma al lanzar tres dados

Como se mencionó antes, al lanzar los dados, un resultado más importante que el número particular en el que cae cada cara es la suma de los dados. En el experimento en el que se lanzan tres dados y se obtiene la suma, el espacio muestral está conformado por todas las posibles sumas entre tres números del 1 al 6.

El valor más pequeño que puede resultar de esta suma es el que se obtiene cuando los tres dados caen en 1, obteniéndose una suma de 1+1+1 = 3, mientras que el valor máximo corresponde a 6+6+6 = 18, con la posibilidad de obtener cualquiera de las sumas intermedias. Por lo tanto, el espacio muestral de este experimento corresponde a:

S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18}

Suma de tres dadosNúmero de resultados únicosResultados únicos particularesNúmero total de posibles resultados
311111
411123
52113; 1226
63114; 123; 22210
74115; 124; 133; 22315
85116; 125; 134; 224; 23321
96126; 135; 144; 225; 234; 33325
106136; 145; 226; 235; 244; 33427
116146; 155; 236; 245; 335; 34427
126156; 246; 255; 336; 345; 44425
135166; 256; 346; 355; 44521
144266; 356; 446; 45515
153366; 456; 55510
162466; 5566
1715663
1816661

La última columna de la tabla muestra el número total de resultados que da cada suma, incluyendo los resultados equivalentes (provenientes de todas las permutaciones de cada combinación única). Por ejemplo, para que la suma de 15, el resultado de los dados debe ser 366, 356 o 555. Pero existen 3 permutaciones de 366 (366, 636 y 663) y 6 permutaciones de 356 (356, 365, 536, 563, 635 y 653) y una sola de 555, por lo que el número total de posibles resultados que dan 15 es 10.

Con la tabla anterior podemos practicar el cálculo de la probabilidad de cada suma para el lanzamiento de tres dados de dos formas distintas. Estas se detallan a continuación.

Estrategia 1: Utilizando la probabilidad de cada resultado único

La primera estrategia consiste en sumar la probabilidad de todos los resultados únicos que pueden dar cada suma. Esto implica utilizar los resultados únicos de la tercera columna y la respectiva probabilidad de cada resultado presentada anteriormente.

Ejemplo

Supongamos que deseamos calcular la probabilidad de que la sumatoria de los tres dados sea 11 (es decir, P(11)). En este caso, existen 6 combinaciones únicas (sin tomar en cuenta el orden) que dan una suma de 11. Estos resultados son (según la tercera columna de la tabla anterior): {146; 155; 236; 245; 335; 344}.

La probabilidad de cada resultado la determinamos en función del número total de posibles permutaciones en cada caso, como se explicó en el apartado anterior. En este caso:

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados
Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

Por lo tanto, la probabilidad de que el resultado de la suma sea 11, será:

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados
Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

De igual manera, si quisiéramos la probabilidad de que la suma sea 16, el resultado sería la suma de las probabilidades de que salga 466 y 556, que son ambas iguales a 1/72, por lo que la probabilidad sería:

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

Estrategia 2: Utilizando el número total de resultados correspondientes a cada suma

En este caso, se toma un camino más simple, siempre y cuando se cuente con la lista de todos los posibles resultados para cada sumatoria, incluyendo las permutaciones. Luego, la probabilidad de cada suma es simplemente el número total de resultados para la suma dividido entre el número total de posibles resultados (216).

Ejemplo

En el caso de la sumatoria = 11, el número total de posibles resultados que dan dicha suma es 27 (ver la tercera columna de la tabla anterior), así que la probabilidad de que la suma de 11 será:

Cuáles son los resultados probables de lanzar tres dados

Como se puede ver, el resultado es el mismo que antes y es muy sencillo si tenemos una tabla como la anterior ya construida. Sin embargo, para casos más complejos en los que hay más posibles resultados (como lanzar 4, 5 o 4 dados), esta estrategia puede resultar menos conveniente y la anterior más práctica.

Referencias

Graffe, S. (2021, 21 septiembre). ¿Qué probabilidad hay que al lanzar tres dados, salga una sumatoria de 7? Quora. https://es.quora.com/Qu%C3%A9-probabilidad-hay-que-al-lanzar-tres-dados-salga-una-sumatoria-de-7

Montagud Rubio, N. (2022, 17 marzo). Técnicas de conteo: tipos, cómo utilizarlas y ejemplos. Psicología y Mente. https://psicologiaymente.com/miscelanea/tecnicas-de-conteo

Naps. (2017, 16 noviembre). Técnicas de conteo en Probabilidad y Estadística. Naps Tecnología y educación. https://naps.com.mx/blog/tecnicas-de-conteo-en-probabilidad-y-estadistica/

Valdés Gómez, J. (2016, 23 noviembre). Combinaciones con repetición. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=WqHZx64RW-Q

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Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

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