La importancia del teorema central del límite

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El teorema central del límite es un teorema básico en la teoría de probabilidades. El término «central» equivale a fundamental, o de importancia central, y fue acuñado por George Polyá en 1920, significando la relevancia del teorema en la teoría de probabilidades. El teorema del límite tiene varias versiones propuestas por diferentes matemáticos. Básicamente, el teorema central del límite dice que bajo ciertas hipótesis la distribución de la suma de un número muy grande de variables aleatorias se aproxima a una distribución normal.

El teorema central del límite

El enunciado del teorema central del límite es abstracto, pero veamos una forma de entenderlo paso a paso. Supongamos que tenemos una muestra aleatoria simple de n elementos de una población de interés. En esta muestra se puede calcular la media muestral, que representa la media de la población de interés. Se puede generar una distribución de la media muestral seleccionando repetidamente muestras aleatorias simples de la misma población que tengan el mismo tamaño, calculando luego la media de cada una de estas muestras. Cada una de las muestras aleatorias simples debe ser independiente de las restantes.

El teorema central del límite se refiere a la distribución de las medias muestrales, y dice que esta distribución se aproxima a una distribución normal. Cuanto más grandes son las muestras aleatorias simples, mejor será la aproximación a una distribución normal de la distribución de las medias muestrales. Cabe remarcar que el teorema central del límite establece que en estas condiciones la distribución de la media muestral es normal, independientemente de su distribución inicial. Incluso aunque la población tenga una distribución sesgada, situación frecuente al estudiar parámetros como los ingresos de las personas o su peso, la distribución de la media muestral será normal si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande.

Y es en este punto en el que radica la importancia del teorema central del límite, dado que permite simplificar los problemas de estadística al trabajar con una distribución que se puede considerar normal. Son muchas y muy relevantes las aplicaciones en las que es fundamental poder considerar que la población tiene una distribución normal, como son las pruebas de hipótesis o la determinación de intervalos de confianza.

No es difícil encontrar conjuntos de datos del mundo real que muestren distribuciones atípicas, con asimetrías o picos múltiples. Pero aplicando el teorema central del límite, si se selecciona un tamaño de muestra apropiado se pueden abordar problemas en los que las poblaciones no presentan una distribución normal. Por lo tanto, aunque no se sepa la distribución de la población que se quiere estudiar, el teorema central de límite asegura que, si tomamos muestras lo suficientemente grandes, la distribución real puede aproximarse por una distribución normal. En situaciones concretas, un análisis exploratorio de los datos puede ayudar a dimensionar el tamaño de la muestra para que el teorema central del límite tenga validez.

Fuente

Jimena Blaiotta, Pablo Delieutraz. Teorema Central del Límite.  Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina, 2004.

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Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

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