Cómo calcular el valor esperado o esperanza matemática

En matemáticas, el valor esperado, también conocido como la esperanza matemática, consiste en el promedio a largo plazo del valor de una variable aleatoria. En cierto modo, corresponde al valor de la variable aleatoria que esperaríamos obtener, en promedio, tras repetir un experimento aleatorio muchas veces (de allí el nombre de «valor esperado»).

Existen dos formas diferentes de calcular el valor esperado dependiendo del tipo de variable aleatoria de que se trate. Esta variable generalmente se representa con la letra mayúscula X, y puede ser tanto continua como discreta. En cada uno de los casos la forma de calcular la esperanza de X (denotando por E[X]) cambia, como se verá a continuación.

Cálculo del valor esperado de una variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria es cualquier función que asigne un número o un valor numérico a cada resultado de un experimento aleatorio, sea este resultado cuantitativo o cualitativo. En el caso de las variables aleatorias discretas, estas se refieren a aquellas variables aleatorias que tienen un número finito de posibles resultados, o cuyos resultados se pueden ordenar como primero, segundo, tercero, etc.

Un ejemplo de una variable aleatoria discreta podría ser la cantidad de números pares que salen al lanzar dos dados de 6 caras. En este caso, los únicos posibles valores de la variable aleatoria serían 0, 1 y 2.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta se calcula sumando el producto de cada valor de la variable y la probabilidad de dicho valor. Esto se puede escribir matemáticamente por medio de la siguiente fórmula:

En esta ecuación, E[X] es la esperanza de X (el valor que queremos determinar), x_i corresponde al iésimo valor de la variable aleatoria, y P(x_i) corresponde a la probabilidad de que el resultado del experimento sea x_i.

Ejemplo de cálculo del valor esperado de una variable aleatoria discreta

Una forma práctica y sencilla para entender el concepto de valor esperado es por medio de los juegos del azar. Imaginemos un juego de la ruleta de la suerte, como el programa que, con variaciones locales, se transmite por la televisión de muchos países. En esta ruleta, en ciertos casos hay 4 gajos que contienen como resultado perder $400, hay 5 gajos que contienen 0, 6 que contienen $1,000 y 1 gajo con el bote de $6,000. La pregunta es, ¿cuál es el valor esperado de la cantidad de dinero que obtendrán a largo plazo los concursantes de la ruleta?

Al enfrentarnos a un problema así, lo primero que debemos hacer es determinar todos los posibles resultados del experimento que consiste en lanzar la ruleta. Además, se debe poder determinar la probabilidad de obtener cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria.

En el presente caso, solo hay 4 posibles resultados que son –$400, $0, $1,000 y $6,000. En total, hay 4 + 5 + 6 + 1 = 16 gajos, por lo tanto, las probabilidades de cada resultado de la variable aleatoria son 1/4, 5/16.  3/8 y 1/16.

Ahora, ya tenemos lo que necesitamos para llevar a cabo la sumatoria determinar el valor esperado:

Esto quiere decir que, a la larga, la ruleta les paga a sus participantes $650.

Cálculo del valor esperado de una variable aleatoria continua

Cuando una variable aleatoria es continua, significa que el conjunto de sus posibles valores consiste en un intervalo de números reales, sea este intervalo finito o infinito. En el caso de las variables aleatorias continuas, la probabilidad se reemplaza por la función de densidad de probabilidad y la sumatoria se reemplaza por la integral:

En esta ecuación, x es la variable aleatoria continua, y f(x) corresponde a la función de distribución de probabilidad de x. Como se puede observar aquí, la integral se debe hacer sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria, X-

Ejemplo de cálculo del valore esperado de una variable aleatoria continua

Considere una variable aleatoria continua cuya función de distribución viene dada por:

Se pide determinar cuál es la media o valor esperado de esta variable aleatoria continua.

Al resolver este problema, se debe considerar que la función está definida por partes, dividiendo la recta real en 3 intervalos, que son (-∞; -2 ), [-2 ; 2] y (2 ; + ∞). De esta manera, al momento de aplicar la fórmula de la esperanza de X, la integral se divide en la suma de tres integrales:

Pero, como la variable aleatoria, x, vale cero en el primer y último intervalo, entonces ambas integrales valen cero, lo que solo dela la integral del centro, evaluada entre -2 y +2:

Referencias

Calculadora de Valor Esperado. (s. f.). Recuperado de http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php

del Rio, A. Q. (2019, 4 septiembre). 5.4 Esperanza Matemática de una variable aleatoria | Estadística Básica Edulcorada. Recuperado de https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html

López, J. F. (2021, 15 febrero). Esperanza matemática. Recuperado de https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html

MateMovil. (2021, 1 enero). Media o valor esperado, varianza y desviación estándar de una variable aleatoria continua | Matemóvil. Recuperado de https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/

Webster, A. (2001). Estadistica Aplicada a Los Negocios y La Economia (Spanish Edition). Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.