¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un número primo?

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En Matemáticas, los números primos son uno de los temas comunes cuando se estudian los números enteros. Como los números primos son infinitos, un ejercicio interesante para practicar con ellos es averiguar qué probabilidad hay de que un número de 1 a X elegido al azar sea un número primo.

Qué son los números primos

Los números primos son aquellos que solo son divisibles por 1 y por sí mismos, es decir, por el número en cuestión. Esto significa, que al dividirlos por cualquier otro número, el resultado no da un número entero. También se considera que hay un número infinito de números primos.

A diferencia de los números primos, los números compuestos son los que se pueden divir por 1, por ellos mismos y por otros números.

El número 1 no se considera como número primo, ni tampoco compuesto.

Los números primos y la Criba de Eratóstenes

A fin de poder encontrar rápidamente todos los números primos, el matemático griego Eratóstenes (siglo III a.C.) creó una forma rápida de obtener todos los números primos hasta un número determinado. Este método se conoce como «Criba de Eratóstenes».

La Criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite conocer todos los números primos menores que un número natural determinado. Para ello, se crea una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 2 y el número elegido (n). En este ejemplo, n es 100.

Después, se van tachando los números que no son primos. Primero, se comienza por el 2 y se tachan todos sus múltiplos. Cuando se encuentra un número sin tachar, se procede a tachar todos sus múltiplos y así sucesivamente. Este procedimiento finaliza cuando se obtiene el cuadrado del siguiente número confirmado como primo es mayor que “n”.

Utilizando la Criba de Eratóstenes obtendremos 25 números primos entre 0 y 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Otros ejemplos de números primos

Otros ejemplos de números primeros entre 100 y 1000 son: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 y 997.

Problema de números primos

Como ocurre casi siempre en Matemáticas, la mejor manera de comprender cómo se calculan los números primos es resolver problemas. Veamos ahora un problema sencillo para saber con qué probabilidad podemos seleccionar un número primo.

Primero, elegiremos un número entero positivo, que puede ser 1, 2, 3, etcétera, hasta determinado número X. Después, debemos elegir de manera aleatoria uno de estos números. Esto significa que todos los números X tienen probabilidades de ser elegidos.

La solución a este problema es sencilla para números X que sean bajos. El problema se resuelve siguiendo estos pasos:

  • Primer paso:
    • Contar el número de primos que son menores o iguales que X.
  • Segundo paso:
    • Dividir la cantidad de números primos menores o iguales a X por el propio número X. Es decir, que si deseamos conocer la probabilidad de elegir cierto número primo del 1 al 10, debemos dividir la cantidad de números primos por 10.

Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de que un primo del 1 al 10 sea seleccionado debemos dividir el número de primos por 10. Como hay 4 números primos del 1 al 10: 2, 3, 5, 7, la probabilidad de seleccionar un número primo es: 4/10 = 0,4, es decir, un 40%.

De la misma manera, si deseamos saber qué probabilidades hay de que se seleccione un número primo del 1 al 50 se pueden realizar los pasos anteriores. Contamos los números primos menores a 50, que son 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47. Y dividimos esta cantidad por 50: 15/50 = 0,3, es decir, 30%. Por tanto, hay un 30% de probabilidad de elegir un número primo del 1 al 50.

Qué es el teorema de los números primos

Otra forma de conocer los números primos hasta determinado número y calcular la probabilidad de elegir uno de ellos, es utilizar el Teorema de los números primos. Este teorema fue enunciado por el matemático alemán Gauss durante el siglo XVIII, y demostrado casi un siglo después por otros matemáticos, como el francés Jacques Hadamard y el belga Charles-Jean de la Vallée Poussin.

El Teorema de los números primos establece que existen, aproximadamente, una cantidad X / ln(X) de números primos que son menores o iguales que X. En este enunciado:

  • ln(X): es el logaritmo natural de X.
  • X: es el número hasta el cual deseamos saber los números primos.

A medida que aumenta el valor de X, disminuye el error relativo entre el número de primos menores que X y el enunciado X / In(X).

Cómo aplicar el Teorema de los números primos

Con el Teorema de los números primos podemos resolver problemas similares al anterior, especialmente si deseamos saber los números primos entre mayores cantidades de números.

Según el Teorema de los números primos, sabemos que hay aproximadamente X/ln(X) números primos que son menores o iguales que X. Además, hay un total de X números enteros positivos menores o iguales a X. Por lo tanto, la probabilidad de que un número seleccionado al azar en este rango sea primo es: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X )  = 1 / ln(X).

Por ejemplo, podemos utilizar ese resultado para calcular, aproximadamente, la probabilidad de seleccionar al azar un número primo entre el primer millón de números enteros.

Para ello, debemos calcular el logaritmo natural de un millón. Por lo tanto, tenemos:

P(1.000.000) = (X/ln (X) / X = 1 / ln (X)

P(1.000.000) = 1 / ln(1.000.000)

Por lo tanto, obtenemos ln(1.000.000) = 13,8155 y 1 / ln(1.000.000) es, aproximadamente, 0,07238. Por lo tanto, tenemos, aproximadamente, un 7,238% de probabilidad de elegir aleatoriamente un número primo entre el primer millón de enteros.

Bibliografía

  • López Mateos, M. Matemáticas Básicas. (2017). España. CreateSpace.
  • DK. El libro de las matemáticas. (2020). España. DK.
  • Gracián, E. Los números primos: un largo camino al infinito. (2010). España. RBA Libros.
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Cecilia Martinez (B.S.)
Cecilia Martinez (Licenciada en Humanidades) - AUTORA. Redactora. Divulgadora cultural y científica.
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