Las reglas de suma en probabilidad y estadística se refieren a las distintas formas en las que podemos combinar probabilidades conocidas de dos o más eventos distintos para determinar la probabilidad de eventos nuevos formados por la unión de dichos eventos.
En estadística y probabilidad, muchas veces conocemos la probabilidad de que ocurran ciertos eventos (por ejemplo, los eventos A y B) de manera separada pero no la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo o de que ocurra uno o el otro. Es allí donde las reglas de la suma resultan de gran utilidad.
Por ejemplo: podemos conocer la probabilidad de obtener un seis al lanzar dos dados, llamémosla P (obtener 6), y la probabilidad de que ambos dados caigan en números pares, llamémosla P(números pares).
Esto resulta relativamente sencillo. Pero a veces nos interesa determinar la probabilidad de que, al lanzar dos dados, ambos den un número par o que sumen seis. En notación estadística y en teoría de grupos, este “o” se representa con el símbolo U que indica la unión de dos eventos y en este caso, esta probabilidad se representaría de la siguiente manera:
Este tipo de probabilidades se pueden calcular a partir de las probabilidades individuales y de algunos datos adicionales por medio de las reglas de la suma.
Cabe resaltar que cuál regla de la suma debemos utilizar en cada caso depende tanto del número de eventos que estemos considerando como de si estos eventos son o no mutuamente excluyentes. A continuación se describen las reglas de la suma para algunos casos sencillos.
Caso 1: Regla de la suma para eventos disjuntos o mutuamente excluyentes
Dos eventos se denominan mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos excluye la posibilidad de que se dé el otro. Es decir, son eventos que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, al lanzar un dado, el que el resultado en el que sale 4 excluye que haya salido cualquiera de los otros 5 posibles resultados.
Si consideramos dos o más eventos (A, B, C…) mutuamente excluyentes, la probabilidad de unión simplemente consiste en la suma de las probabilidades individuales de cada uno de estos eventos. Es decir, en este caso la probabilidad de unión viene dada por:
Esto se puede entender de forma más sencilla por medio de un diagrama de Venn. Aquí se representa el espacio muestral por medio de un área rectangular; mientras, la probabilidad de cada evento se representa por medio de sectores dentro de esta área mayor. En un diagrama de Venn, los eventos mutuamente excluyentes se ven como áreas separadas que ni se tocan ni se solapan.
En este tipo de diagramas, calcular la probabilidad de unión consiste en obtener el área total que ocupan todos los eventos cuyas probabilidades estamos considerando. En el caso de la imagen anterior, esto implica obtener el área total de los sectores A, B y C, es decir, el área de color azul en la siguiente figura.
Es fácil darse cuenta de que, si los eventos son disjuntos como en el caso de las dos imágenes anteriores, la probabilidad de unión es simplemente la suma de las tres áreas.
Ejemplo 1: Cálculo de la probabilidad de obtener un resultado par al lanzar un dado
Supongamos que lanzamos un dado y queremos saber la probabilidad de obtener un número par. Como los únicos posibles números pares en un dado de 6 caras son el 2, el 4 y el 6, entonces, lo que realmente queremos saber es la probabilidad de que el dado caiga en 2, en 4 o en 6, ya que en cualquiera de estos casos habría caído en un número par.
La probabilidad de que salga cualquiera de las 6 caras es 1/6 (siempre que sea un dado imparcial). Además, como vimos hace un instante, los tres resultados son eventos mutuamente excluyentes ya que, si sale 2, no pudo haber salido 4 o 6 y así sucesivamente. En estas condiciones, la probabilidad de unión viene dada por:
Caso 2: Regla de la suma para dos eventos que no son mutuamente excluyentes
Si A y B son eventos que comparten resultados entre sí, es decir, que pueden ocurrir al mismo tiempo, se dice que los eventos no son mutuamente excluyentes. En este caso, el diagrama de Venn se ve así:
Como se puede ver, hay una región del espacio muestral en la que ambos eventos ocurren al mismo tiempo. Si queremos determinar la probabilidad de unión, es decir, P(A U B), necesitamos hallar el área indicada en el diagrama de Venn de la derecha en la figura anterior.
Es fácil darse cuenta de que, en este caso, si tan solo sumamos las áreas de A y B, estaremos contando el área común dos veces, así que obtendremos un área (léase, una probabilidad) mayor que la que queremos. Para corregir este error por exceso, solo hace falta restar el área que comparten los eventos A y B, lo que corresponde a la probabilidad de intersección:
Esta expresión para la probabilidad de unión también se aplica para el caso anterior ya que, al ser mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo (la probabilidad de intersección) es cero.
Ejemplo 2: Cálculo de la probabilidad de obtener un resultado par u obtener un número menor que 4 al lanzar un dado
En este caso, ambos eventos comparten el resultado 2, que es tanto par como menor que 4, así que la probabilidad de unión será:
Caso 3: Regla de la suma para tres eventos que no son mutuamente excluyentes
Otro caso un poco más complejo es cuando ocurren 3 eventos que no son mutuamente excluyentes, tal como el que se muestra en el siguiente diagrama de Venn:
En este caso, la suma de las tres áreas cuenta dos veces las zonas de intersección entre A y B, entre B y C y entre C y D, y cuenta tres veces la zona de intersección de los tres eventos A, B y C. Si hacemos como antes y a la suma de las tres áreas le restamos las zonas de intersección entre cada par de eventos, estaremos restando tres veces el área del centro, así que se debe sumar en forma de la probabilidad de intersección de los tres eventos. Finalmente, la regla de la suma general para tres eventos no excluyentes viene dada por:
Al igual que antes, esta expresión es general para cualquier conjunto de tres eventos, sean estos disjuntos o no, ya que, en dicho caso, las intersecciones serán vacías y el resultado será la misma expresión del primer caso.
Ejemplo 3: Cálculo de la probabilidad de obtener un número par, un número menor que 10 o un número primo en un dado de 20 caras
En este caso, hay tres eventos que comparten resultados entre y también que contienen resultados que no son compartidos, así que la probabilidad de unión viene dada por la expresión antes mencionada.
Las probabilidades de los eventos individuales son:
Ahora, las probabilidades de intersección son:
Ahora, aplicando la ecuación para la probabilidad de unión:
Referencias
- Brilliant. (s. f.). Probability – Rule of Sum | Brilliant Math & Science Wiki. Recuperado de https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
- Lumen. (s. f.). Probability Rules | Boundless Statistics. Recuperado de https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen.
- MateMovil. (2021, 1 enero). Regla de la suma o adición de probabilidades | Matemóvil. Recuperado de https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
- Webster, A. (2001). Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economia (Spanish Edition). Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.
