Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Độ lệch chuẩn tổng thể là một trong những tham số dân số quan trọng nhất để đo lường tính biến thiên hoặc phân tán của dữ liệu trong tổng thể. Giống như bất kỳ tham số nào trong thống kê, nó được biểu thị bằng một chữ cái Hy Lạp, trong trường hợp này là chữ σ (sigma). Điều này cho phép dễ dàng phân biệt nó với độ lệch chuẩn của (các) mẫu, mặc dù tương tự nhưng không giống nhau và cũng không được tính bằng các công thức giống nhau.

Tiếp theo, chúng ta sẽ thấy, thông qua một ví dụ, các cách khác nhau để tính độ lệch chuẩn của tổng thể. Cần lưu ý rằng, để tính toán độ lệch chuẩn của dân số , điều cần thiết là phải biết tất cả dữ liệu về dân số. Điều này hiếm khi xảy ra trong ngữ cảnh thực tế, nhưng điều quan trọng là phải hiểu cách nó được tính toán, vì điều này giúp hiểu được một số đặc điểm toán học của tham số quan trọng này.

Công thức độ lệch chuẩn dân số

Tùy thuộc vào dữ liệu có sẵn, độ lệch chuẩn tổng thể có thể được xác định bằng ba công thức khác nhau.

Định nghĩa toán học của độ lệch chuẩn dân số

Độ lệch chuẩn được định nghĩa là căn bậc hai của phương sai, σ 2 . Nghĩa là, nếu chúng ta biết phương sai của tổng thể, chúng ta có thể tính độ lệch chuẩn bằng phương trình sau:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Trường hợp này hiếm khi xảy ra, nhưng nó là tốt để ghi nhớ.

Các công thức độ lệch chuẩn dân số khác

Nếu thay vì biết phương sai của tổng thể, chúng ta biết tất cả N mục dữ liệu bao gồm nó, thì chúng ta có thể tính độ lệch chuẩn của tổng thể dưới dạng căn bậc hai của trung bình cộng bình phương độ lệch so với giá trị trung bình. Điều đó có nghĩa là:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Trong phương trình này, x i đại diện cho giá trị của từng mục dữ liệu trong tổng thể, N đại diện cho số lượng mục dữ liệu trong tổng thể (hoặc kích thước của tổng thể, giống nhau) và μ là trung bình tổng thể. Lưu ý rằng giá trị trung bình của tổng thể cũng được biểu thị bằng một chữ cái Hy Lạp vì đây là một tham số dân số khác và kích thước của tổng thể được biểu thị bằng N (chữ in hoa) để phân biệt với n thường được liên kết với kích thước của mẫu .

Giá trị trung bình của dân số, μ, được cho bởi:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Phương trình 2 có thể được mở rộng, sắp xếp lại và đơn giản hóa để có được:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Trong trường hợp không có dữ liệu cá nhân của dân số nhưng dữ liệu được nhóm trong bảng tần số, các công thức trước đó được sửa đổi một chút để đưa ra:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Trong các phương trình trên, đại lượng nằm trong gốc không gì khác hơn là phương sai dân số. Phương trình 4 có lợi thế là được thiết lập độc quyền về mặt dữ liệu dân số chứ không phải một số tham số dân số như trong trường hợp phương trình 2 và 5.

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Giả sử chúng ta muốn xác định sự thay đổi về trọng lượng của một mẫu ô tô cụ thể chỉ có 20 mẫu được biết là tồn tại trên toàn thế giới. Số liệu về trọng lượng tính bằng kilogam của 20 chiếc xe này được trình bày trong bảng sau:

410 408 408 405 391 390 402 397 397 395
390 404 397 394 399 397 405 408 410 400

Vì chúng tôi biết rằng chỉ có 20 chiếc xe thuộc mẫu này, những chiếc này đại diện cho toàn bộ dân số, vì vậy chúng tôi có tất cả dữ liệu cần thiết để xác định độ lệch chuẩn của dân số. Hãy xem ba cách khác nhau để xác định độ lệch chuẩn này.

Cách 1: Tính toán dựa vào định nghĩa phương sai

Phương pháp này dựa trên việc sử dụng phương trình 2 đã trình bày ở trên. Như chúng ta có thể thấy, phương trình yêu cầu sử dụng giá trị trung bình của tổng thể và một loạt phép tính khác được trình bày chi tiết bên dưới:

Bước 1: Xác định trung bình dân số

Giá trị trung bình của tổng thể hay μ được tính bằng phương trình 3, cộng tất cả dữ liệu và chia cho tổng số dữ liệu, trong trường hợp này là 20.

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Bước 2: Tính độ lệch so với giá trị trung bình

Bước này liên quan đến việc tính toán các phép trừ (x i – μ). Ví dụ:

x 1 – μ = 410 – 400,35kg = 9,65kg

x 2 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg

x 3 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg

X 20 – μ = 400kg – 400,35kg = – 0,35

Kết quả được trình bày trong bảng sau:

x tôi x tôi – μ
410 9,65
408 7,65
408 7,65
405 4,65
391 -9h35
390 -10.35
402 1,65
397 -3,35
397 -3,35
395 -5,35
390 -10.35
404 3,65
397 -3,35
394 -6,35
399 -1,35
397 -3,35
405 4,65
408 7,65
410 9,65
400 -0,35

Bước 3: Bình phương tất cả các độ lệch so với giá trị trung bình

(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2

(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2

Kết quả được trình bày trong bảng sau:

x tôi / kg (x i – μ)/ kg (x i – μ ) 2 / kg 2
410 9,65 93.1225
408 7,65 58.5225
408 7,65 58.5225
405 4,65 21.6225
391 -9h35 87.4225
390 -10.35 107.1225
402 1,65 2,7225
397 -3,35 11.2225
397 -3,35 11.2225
395 -5,35 28.6225
390 -10.35 107.1225
404 3,65 13.3225
397 -3,35 11.2225
394 -6,35 40.3225
399 -1,35 1.8225
397 -3,35 11.2225
405 4,65 21.6225
408 7,65 58.5225
410 9,65 93.1225
400 -0,35 0,1225

Bước 4: Cộng tất cả các độ lệch bình phương

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Bước 5: Áp dụng công thức của phương trình 2

Bây giờ chúng ta có tổng này, tất cả những gì còn lại là thay thế giá trị này, cũng như số lượng dữ liệu, là 20, trong phương trình 2:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Do đó, chúng tôi nhận được rằng độ lệch chuẩn của trọng lượng của dân số gồm 20 ô tô là xấp xỉ. 6,5kg.

Cách 2: Sử dụng phương trình sắp xếp lại

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện phép tính tương tự, nhưng sử dụng phương trình 4, tương đương với phương trình chúng ta vừa sử dụng, nhưng thực tế hơn, đặc biệt nếu bạn đang làm việc với số lượng dữ liệu lớn hơn. Lợi ích chính là không cần thiết phải tính toán một tham số bổ sung (trung bình dân số) để có thể tính toán độ lệch, nhưng mọi thứ đều được tính toán dựa trên dữ liệu cá nhân ban đầu. Ngoài ra, bạn không cần phải làm việc với các số âm, đây là nguồn gốc gây ra lỗi chính của học sinh.

Bước 1: Tính bình phương của từng dữ liệu riêng lẻ

Đó là, các tính toán sau đây được thực hiện:

(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168.100 kg 2

(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2

(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2

(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160.000 kg 2

Kết quả được trình bày trong bảng sau:

x tôi tôi 2 _
410 168.100
408 166,464
408 166,464
405 164,025
391 152,881
390 152.100
402 161,604
397 157,609
397 157,609
395 156,025
390 152.100
404 163,216
397 157,609
394 155,236
399 159,201
397 157,609
405 164,025
408 166,464
410 168.100
400 160.000

Bước 2: Cộng tất cả các dữ liệu riêng lẻ

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Bước 3: Thêm tất cả các ô vuông

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Bước 4: Áp dụng công thức của phương trình 4

Bước cuối cùng là giới thiệu hai giá trị này và số lượng dữ liệu trong phương trình 4 để thu được độ lệch chuẩn tổng thể:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Cách 3: Sử dụng bảng tính

Các bảng tính như Microsoft Excel, Apple Numbers hoặc Google Sheets bao gồm một trong số các chức năng cơ bản của chúng là tính toán trực tiếp độ lệch chuẩn (cả mẫu và tổng thể). Các hàm này lấy một tập dữ liệu làm đối số và thực hiện tất cả các phép tính được hiển thị trong phương pháp trước đó để trả về trực tiếp độ lệch chuẩn trong ô nơi công thức được nhập.

Thủ tục là tiếp theo:

Bước 1: Nhập dữ liệu vào bảng tính

Chúng ta có thể nhập dữ liệu ở dạng cột, hàng hoặc ma trận ở bất kỳ vị trí nào trong bảng tính. Ảnh chụp màn hình sau đây hiển thị dữ liệu cho sự cố này trông như thế nào trong Excel 2016.

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Bước 2: Sử dụng công thức tính độ lệch chuẩn

Khi dữ liệu đã được thêm vào, chúng tôi sử dụng hàm độ lệch chuẩn, đặt các ô nơi dữ liệu được tìm thấy làm đối số.

Để gọi một hàm trong bảng tính, chúng ta thường bắt đầu bằng cách nhập dấu bằng (=), sau đó là tên của hàm mà chúng ta muốn sử dụng. Tên thay đổi một chút từ ứng dụng này sang ứng dụng khác và trong một số trường hợp cũng thay đổi tùy thuộc vào ngôn ngữ mà bạn đang làm việc.

Trong trường hợp của Excel (phiên bản tiếng Tây Ban Nha), hàm tính độ lệch chuẩn dân số được gọi là STDEV.P, trong khi trong Google Trang tính, nó là STDEVP (không có điểm). Sau đó, bạn phải nhập (các) đối số của hàm giữa các dấu ngoặc đơn. Trong ví dụ của chúng ta, chúng ta chuyển phạm vi ô chứa dữ liệu (từ ô A3 đến J4) làm đối số.

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Bằng cách nhấn ENTER, chương trình sẽ chạy hàm và tính toán độ lệch chuẩn của dân số, hiển thị kết quả trong ô tương ứng, như hình bên dưới:

Ví dụ tính toán độ lệch chuẩn dân số

Như chúng ta có thể thấy, bất kỳ phương pháp nào trong ba phương pháp được thực hành ở đây đều tạo ra kết quả như nhau. Đó chỉ là những cách khác nhau để làm điều tương tự.

Các phương pháp khác

Ngoài 3 phương pháp kể trên, máy tính khoa học và tài chính cũng thường có chức năng xác định độ lệch chuẩn của một tập dữ liệu, có thể là mẫu hoặc tổng thể. Cách nhập dữ liệu và kết quả thu được khác nhau giữa các nhà sản xuất và thậm chí từ kiểu máy tính này sang kiểu máy tính khác, vì vậy sẽ không thực tế khi trình bày các bước cụ thể để thực hiện điều đó ở đây.

Thay vào đó, chúng tôi sẽ thảo luận về các bước chung quan trọng nhất mà không đi sâu vào chúng. Bất kỳ ai muốn sử dụng chức năng này trên máy tính khoa học của mình nên tham khảo hướng dẫn sử dụng đi kèm với máy tính hoặc tìm kiếm trực tuyến để xác định tổ hợp phím cụ thể trong từng trường hợp.

Bước 1: Xóa bộ nhớ

Trên nhiều máy tính, dữ liệu được lưu trữ trước đó không hiển thị. Nếu chúng ta nhập dữ liệu về những người khác đã được lưu trữ mà không nhận ra, máy tính sẽ cho kết quả sai. Để đảm bảo rằng điều này không xảy ra, bạn nên xóa tất cả bộ nhớ của máy tính (hoặc ít nhất là chế độ phân tích thống kê) trước khi bắt đầu nhập dữ liệu mới.

Bước 2: Truy cập chế độ thống kê

Các hàm tính độ lệch chuẩn là một phần của chế độ “Thống kê”, “Thống kê” hoặc đơn giản là “S” trên hầu hết các máy tính, vì vậy chúng ta phải bắt đầu bằng cách vào chế độ hoạt động này.

Bước 3: Nhập dữ liệu

Điều này thay đổi từ máy tính này sang máy tính khác. Trong một số trường hợp, dữ liệu có thể được thêm vào ở dạng bảng, trong khi ở những trường hợp khác, dữ liệu được nhập lần lượt sau khi nhấn phím DT (hoặc DAT). Điều quan trọng là phải kiểm tra số lượng dữ liệu đã nhập ở cuối bước này để đảm bảo rằng không có dữ liệu nào bị thiếu.

Bước 4: Tính độ lệch chuẩn tổng thể

Sau khi dữ liệu được nhập, tất cả những gì còn lại là yêu cầu máy tính cung cấp kết quả mà chúng tôi đang tìm kiếm. Trên nhiều máy tính, cả độ lệch chuẩn của mẫu và tổng thể đều được biểu thị bằng ký hiệu σ (mặc dù đây là lỗi trong trường hợp độ lệch mẫu). Tuy nhiên, chúng ta có thể phân biệt độ lệch mẫu với độ lệch tổng thể vì độ lệch mẫu đi kèm với n-1 (nghĩa là nó xuất hiện dưới dạng σ n-1 ) trong khi độ lệch tổng thể xuất hiện dưới dạng s n . Điều này đề cập đến thực tế là trong tính toán độ lệch chuẩn của mẫu được chia cho n-1 thay vì n như trong dân số.

Người giới thiệu

Devore, JL (2019). Xác suất và Thống kê ( tái bản lần thứ nhất .). Học Cengage.

MateMobile. (2021, ngày 1 tháng 1). Phương sai và độ lệch chuẩn cho dữ liệu binned | di động . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Hỗ trợ kỹ thuật của Google. (nd). STDEV (STDEV) – Trợ giúp Trình chỉnh sửa Google Tài liệu . Google – Trợ giúp Trình chỉnh sửa Google Tài liệu. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=vi-419

siêu giáo sư (nd). Độ lệch chuẩn . Từ Điển Toán Học | siêu giáo sư https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.kỹ thuật số. (nd). Độ lệch chuẩn cho dữ liệu được nhóm . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo

-Quảng cáo-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados