Tabla de Contenidos
Mô men quán tính quay hay đơn giản là quán tính quay, là một đại lượng vật lý vô hướng đặc trưng cho bất kỳ vật thể nào có khối lượng và đo mức độ khó khăn của việc làm cho nó quay quanh một trục quay nhất định. Nó là đương lượng quay của quán tính tuyến tính và do đó, nó là đại lượng biểu thị độ khó thay đổi tốc độ của một vật, cho dù vật đó đứng yên hay chuyển động, với sự khác biệt, trong trường hợp này, là về góc vận tốc.
Đại lượng này có tầm quan trọng lớn trong việc mô tả chuyển động quay vì nó cho phép chúng ta hiểu được sự khác biệt trong hành vi của các vật thể, mặc dù có hình dạng và khối lượng bên ngoài giống nhau, nhưng hành xử khác nhau khi chịu tác dụng của các lực mô-men xoắn có xu hướng tạo ra chúng quay. Sự khác biệt này phát sinh từ sự khác biệt trong sự phân bố khối lượng của cơ thể xung quanh trục quay. Điều trên ngụ ý rằng cùng một vật thể có thể có các mômen quán tính quay khác nhau tùy thuộc vào vị trí của nó so với trục quay, do đó dẫn đến các công thức khác nhau để tính mômen quán tính.
Như đã nói ở trên, rõ ràng là có bao nhiêu công thức để tìm mômen quán tính cũng như hình dạng có thể có của các vật thể và trục quay hiện có. Tuy nhiên, có một số trường hợp cá biệt các dạng hình học đều quay quanh các trục phát sinh một cách tự nhiên trong thực tế. Trong các phần tiếp theo, chúng ta sẽ thấy các công thức quan trọng nhất để xác định mômen quán tính quay của các vật thể này.
Công thức tính momen quán tính của chất điểm
Mô men quán tính của một hạt điểm tương ứng với định nghĩa ban đầu của đại lượng vật lý này. Biểu thức này bắt nguồn từ biểu thức cho động năng quay khi nó được viết dưới dạng vận tốc góc, w.
Giả sử chúng ta có một hạt khối lượng m quay quanh trục trung tâm như sau:
Động năng của hạt này, giống như động năng của bất kỳ hạt chuyển động nào khác, được xác định bằng một nửa tích giữa khối lượng và tốc độ của nó (độ lớn của tốc độ của nó) được nâng lên bình phương, nghĩa là 1/2 mv 2 . Tuy nhiên, nếu chuyển động duy nhất mà hạt này mô tả là chuyển động quay quanh trục (không có sự tịnh tiến), thì chúng ta có thể biểu thị tốc độ tuyến tính của hạt dưới dạng một hàm của tốc độ góc của nó, viết v = rω. Bằng cách này, động năng, trong trường hợp này chỉ là động năng quay, được biểu thị như sau:
Trong đó momen quán tính I của hạt được định nghĩa là:
Trong biểu thức này, m là khối lượng của hạt điểm và r là bán kính quay hay tương tự là khoảng cách từ trục quay đến hạt.
Công thức tính momen quán tính của tập hợp các hạt điểm
Bây giờ giả sử rằng chúng ta không có một hạt đơn lẻ quay quanh một trục, mà chúng ta có một hệ gồm n hạt, mỗi hạt có một khối lượng cụ thể, m i , và mỗi hạt quay một khoảng cách r i so với trục quay , chẳng hạn như hệ thống ba hạt được hiển thị bên dưới.
Nếu muốn tính tổng động năng của hệ thống này, chúng ta chỉ cần cộng động năng của từng hạt trong số ba hạt. Nếu chúng ta mở rộng ý tưởng này cho trường hợp chung của n hạt và giả sử rằng tất cả chúng đều chuyển động với cùng vận tốc góc (vì chúng quay cùng nhau), thì tổng động năng quay của hệ sẽ được cho bởi:
Từ đó suy ra rằng tổng mômen quán tính của một hệ gồm n hạt quay cùng nhau quanh một trục, mỗi hạt có khối lượng riêng và bán kính quay riêng, được cho bởi:
Công thức này áp dụng cho cả các hạt điểm và các hạt hình cầu có kích thước bất kỳ, miễn là trục quay nằm bên ngoài hình cầu. Nếu điều kiện này được đáp ứng, thì bán kính tương ứng với khoảng cách giữa trục và tâm của quả cầu và khối lượng tương ứng với khối lượng toàn phần của quả cầu.
Công thức tích phân momen quán tính của vật rắn
Công thức tính momen quán tính trên đây áp dụng cho các hệ được hình thành bởi các hạt điểm và rời rạc. Tuy nhiên, nó có thể được mở rộng cho các vật thể rắn có khối lượng phân bố liên tục, giống như nó xảy ra gần đúng với các vật thể vĩ mô.
Trong những trường hợp này, việc tính toán mômen quán tính bao gồm việc chia cơ thể thành các phần tử khối lượng nhỏ (Δm i ), mỗi phần tử nằm cách trục quay một khoảng r i , sau đó áp dụng phương trình trước đó. Tuy nhiên, nếu chúng ta đẩy kích thước của phần tử khối lượng đến giới hạn ở đó nó trở thành phần tử vô cùng nhỏ hoặc vi phân khối lượng (dm), thì tổng trở thành tích phân, như hình dưới đây:
Đây là biểu thức chung để tìm mômen quán tính của bất kỳ vật rắn nào, bất kể hình dạng hay sự phân bố khối lượng của nó. Trong hầu hết các trường hợp, để thực hiện phép tích phân, phần tử khối lượng dm được thay thế bằng tích của mật độ vật thể nhân với độ chênh lệch thể tích dV . Điều này cho phép thực hiện tích phân trên toàn bộ thể tích của vật cứng, ngay cả khi phân bố khối lượng không đồng đều (miễn là biết nó thay đổi như thế nào tùy thuộc vào vị trí).
Trong trường hợp này, biểu thức tích phân của mômen quán tính trở thành:
Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày kết quả của việc tích phân biểu thức trước đó cho các vật rắn khác nhau có hình dạng thông thường như nhẫn, hình trụ và hình cầu, trong số những vật thể khác. Trong tất cả các trường hợp được mô tả dưới đây, kích thước và khối lượng của các vật thể được xem xét được biểu thị bằng chữ in hoa, để phân biệt chúng với các biến tích hợp.
Công thức tính momen quán tính của một vòng mỏng đồng chất bán kính R đối với trục tâm của nó
Một trong những trường hợp đơn giản nhất khi tích phân phương trình trước đó là trường hợp của một vòng đồng chất quay quanh tâm đối xứng của nó. Hình dưới đây cho thấy trường hợp này.
Trong trường hợp cụ thể, trong đó độ dày của vòng không đáng kể so với bán kính của nó, chúng ta có thể coi nó là một khối lượng phân bố dọc theo một chu vi không có độ dày, do đó tất cả các phần tử khối lượng về cơ bản đều có cùng bán kính, trong trường hợp này, R. Với những điều kiện này, bán kính rời khỏi tích phân, chỉ còn lại tích phân của khối lượng vi sai, dm, đơn giản là khối lượng của vòng, M. Kết quả là:
Trong biểu thức này, CM chỉ ra rằng đó là mômen quán tính đối với khối tâm của nó.
Công thức tính momen quán tính của quả cầu đặc bán kính R quay quanh tâm của nó
Trong trường hợp một quả cầu đặc có bán kính R và mật độ đồng đều, quay quanh bất kỳ đường kính nào của nó (một trục đi qua tâm của nó) như hình bên dưới, tích phân trước đó có thể được giải theo nhiều cách khác nhau , trong số đó là sử dụng hệ tọa độ cầu.
Kết quả của phép tích phân trong trường hợp này là:
Công thức tính momen quán tính của vỏ hình cầu bán kính trong R 1 và bán kính ngoài R 2 đối với tâm của nó
Nếu thay vì một quả cầu rắn, nó là một quả cầu rỗng hoặc vỏ hình cầu có thành dày, chúng ta phải xem xét hai bán kính, bên ngoài và bên trong. Chúng được thể hiện trong hình dưới đây.
Trong trường hợp này, giải pháp là coi vỏ hình cầu là một quả cầu có bán kính R2 mà từ đó một quả cầu cùng chất liệu đã bị loại bỏ khỏi tâm của nó có bán kính là R1. Sau khi xác định khối lượng của quả cầu lớn và khối lượng của quả cầu nhỏ bị rút ra thông qua khối lượng riêng của vỏ ban đầu, quán tính của cả hai quả cầu được trừ đi để thu được:
Công thức tính momen quán tính của vỏ hình cầu mỏng bán kính R đối với tâm của nó
Trong trường hợp độ dày của vỏ hình cầu không đáng kể so với bán kính của nó hoặc tương tự như vậy, R 1 thực tế bằng R 2 , chúng ta có thể tính mômen quán tính như thể đó là sự phân bố khối lượng trên bề mặt, tất cả đều nằm cách tâm một khoảng R.
Trong trường hợp này, chúng tôi có hai lựa chọn. Đầu tiên là giải tích phân từ đầu. Thứ hai là lấy kết quả trước đó, kết quả của lớp vỏ hình cầu dày và thu được giới hạn khi R1 có xu hướng đến R2. Kết quả là như sau:
Công thức tính momen quán tính của một thanh mỏng có chiều dài L đối với một trục vuông góc đi qua khối tâm của nó
Về bản chất, khi chúng ta có một thanh mỏng, chúng ta có thể coi nó như một khối lượng phân bố tuyến tính, bất kể hình dạng của mặt cắt của nó (tức là, bất kể đó là thanh hình trụ, hình vuông hay bất kỳ hình dạng nào khác). Trong những trường hợp này, điều quan trọng duy nhất là bột được phân bổ đều dọc theo chiều dài của thanh.
Trong trường hợp này, mômen quán tính được biểu thị như sau:
Công thức tính momen quán tính của một thanh mỏng chiều dài L đối với một trục vuông góc với một đầu
Đây là trường hợp tương tự như trên, nhưng với toàn bộ thanh quay quanh một trục vuông góc từ một đầu:
Vì khối lượng của thanh trung bình ở khoảng cách lớn hơn so với trục quay, nên mômen quán tính sẽ lớn hơn. Trên thực tế, nó lớn hơn bốn lần so với trường hợp trước, như được biểu thị bằng biểu thức sau:
Lưu ý rằng trong trường hợp này, trục không đi qua khối tâm, vì vậy chỉ số CM của ký hiệu mômen quán tính đã bị bỏ qua.
Công thức tính momen quán tính của một thanh hình trụ đặc bán kính R đối với trục chính của nó
Trường hợp này được giải quyết một cách rất đơn giản bằng cách sử dụng hệ tọa độ trụ và coi hình trụ như thể nó được tạo bởi các vỏ hình trụ đồng tâm có chiều dài bằng nhau, nhưng có bán kính khác nhau. Khi đó bán kính được tích phân từ r = 0 đến r = R.
Kết quả của quá trình này là công thức quán tính của một thanh hình trụ, đó là:
Cần lưu ý rằng, vì kết quả này không phụ thuộc vào chiều dài của hình trụ nên có thể sử dụng biểu thức tương tự cho trường hợp đĩa tròn.
Công thức tính momen quán tính của một hình trụ rỗng bán kính trong R 1 và bán kính ngoài R 2 đối với trục chính của nó
Trường hợp này tương tự như trường hợp vỏ cầu dày. Nó được áp dụng khi độ dày của vỏ, hoặc sự khác biệt giữa bán kính bên ngoài và bên trong của nó có cùng độ lớn với bán kính và do đó, chúng ta không thể coi rằng khối lượng tập trung trên một bề mặt. Ngược lại, chúng ta phải xem xét rằng đó là sự phân bố khối lượng ba chiều dọc theo độ dày của vỏ.
Như trong trường hợp vỏ hình cầu dày, mô men quán tính của một hình trụ rỗng có bán kính trong là R 1 và bán kính ngoài là R 2 có thể tìm được bằng tích phân trực tiếp hoặc bằng cách trừ mô men quán tính của hình trụ đó. được rút ra khi mở lỗ trung tâm, của mômen quán tính của một hình trụ đặc có cùng mật độ với vỏ, sử dụng công thức của phần trước cho mỗi hai quán tính này.
Kết quả của một trong hai chiến lược này là như nhau và được trình bày dưới đây:
Như trong trường hợp trước, vì kết quả này không phụ thuộc vào chiều dài của hình trụ, nên chúng ta có thể sử dụng nó để tính mômen quán tính của một đĩa tròn có lỗ ở tâm, chẳng hạn như vòng đệm hoặc đĩa đệm. Đĩa Blu-ray.
Công thức tính momen quán tính của một vỏ hình trụ mỏng bán kính R đối với trục chính của nó
Trong trường hợp ta có một hình trụ rỗng như hình dưới đây, trong đó bề dày của vỏ hình trụ rất nhỏ so với bán kính của hình trụ, ta có thể giả sử rằng khối lượng chỉ phân bố trên bề mặt có bán kính R .
Như trong các trường hợp khác, chúng ta có thể thực hiện tích phân trực tiếp bằng cách sử dụng mật độ khối lượng diện tích hoặc chúng ta có thể đánh giá kết quả của lớp vỏ hình trụ dày trong giới hạn mà R1 có xu hướng nghiêng về R2. Kết quả là:
Một lần nữa, chúng tôi lưu ý rằng kết quả này không phụ thuộc vào độ dài. Điều này có nghĩa là nó áp dụng như nhau cho một cái vòng mỏng. Trên thực tế, chúng ta có thể xác minh rằng đó là kết quả tương tự thu được trong phần tương ứng với một chiếc nhẫn mỏng.
Công thức tính momen quán tính của một tấm chữ nhật đều đối với một trục vuông góc đi qua tâm của nó
Cuối cùng, hãy xem xét trường hợp của một tấm hình chữ nhật quay quanh một trục vuông góc với bất kỳ bề mặt nào của nó, đi qua khối tâm của nó, giống như hình dưới đây.
Kết quả của tích hợp trực tiếp là:
Như trong các trường hợp trước, kết quả này không phụ thuộc vào chiều cao hoặc độ dày của tấm, do đó, nó áp dụng như nhau cho một tờ giấy cũng như cho một khối xi măng đặc.
Người giới thiệu
Học viện Khan. (nd). Quán tính quay (bài báo) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
Một lớp. (2020, ngày 6 tháng 10). OneClass: Bắt đầu với công thức tính mô men quán tính của một thanh . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Vật lý cho các nhà khoa học và kỹ sư với Vật lý hiện đại: 2: Quyển I (Tái bản lần thứ năm). Đồi McGraw.
Giải quyết nhanh. (nd). Momen quán tính của vỏ hình cầu dày rỗng . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
