Popülasyon standart sapmasını hesaplama örneği

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Popülasyon standart sapması, popülasyon içindeki verilerin değişkenliğini veya dağılımını ölçmek için en önemli popülasyon parametrelerinden biridir. İstatistikteki herhangi bir parametre gibi, bir Yunan harfiyle, bu durumda σ (sigma) harfiyle temsil edilir. Bu, benzer olmasına rağmen aynı olmayan veya aynı formüllerle hesaplanmayan numune(ler)in standart sapmasından kolayca ayırt edilmesini sağlar.

Daha sonra, bir örnek aracılığıyla, bir popülasyonun standart sapmasını hesaplamanın farklı yollarını göreceğiz . Nüfus standart sapmasını hesaplamak için , tüm nüfus verilerini bilmek esastır. Bu, gerçek bağlamlarda nadiren olur, ancak bu önemli parametrenin bazı matematiksel özelliklerini anlamaya yardımcı olduğu için nasıl hesaplandığını anlamak yine de önemlidir.

Nüfus Standart Sapma Formülleri

Mevcut verilere bağlı olarak, popülasyon standart sapması üç farklı formül kullanılarak belirlenebilir.

Nüfus standart sapmasının matematiksel tanımı

Standart sapma, varyansın karekökü olan σ2 olarak tanımlanır . Yani, popülasyonun varyansını biliyorsak, aşağıdaki denklemi kullanarak standart sapmayı hesaplayabiliriz:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Bu durum nadiren meydana gelir, ancak akılda tutulması iyidir.

Diğer popülasyon standart sapma formülleri

Bir popülasyonun varyansını bilmek yerine , onu oluşturan tüm N veri öğesini biliyorsak, o zaman popülasyon standart sapmasını, ortalamadan sapmaların karelerinin ortalamasının karekökü olarak hesaplayabiliriz. Demek ki:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Bu denklemde x i , popülasyondaki her bir veri öğesinin değerini temsil eder, N, popülasyondaki veri öğelerinin sayısını (veya aynı olan popülasyonun büyüklüğünü) temsil eder ve μ popülasyon ortalamasıdır. Nüfus ortalamasının da bir Yunan harfiyle temsil edildiğini unutmayın, çünkü başka bir nüfus parametresidir ve popülasyonun büyüklüğü, onu genellikle bir örneklemin boyutuyla ilişkilendirilen n’den ayırmak için N (büyük harf) ile temsil edilir .

Nüfus ortalaması, μ, şu şekilde verilir:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Denklem 2, aşağıdakileri elde etmek için genişletilebilir, yeniden düzenlenebilir ve basitleştirilebilir:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Nüfusun bireysel verilerinin olmaması, ancak verilerin bir sıklık tablosunda gruplandırılması durumunda, önceki formüller aşağıdakileri verecek şekilde biraz değiştirilir:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Yukarıdaki denklemlerde, kök içinde yer alan miktar popülasyon varyansından başka bir şey değildir. Denklem 4’ün avantajı, denklem 2 ve 5’te olduğu gibi bazı popülasyon parametreleri değil, yalnızca popülasyon verileri açısından oluşturulma avantajına sahiptir.

Popülasyon standart sapmasını hesaplama örneği

Dünya çapında sadece 20 örneği olduğu bilinen belirli bir araba modelinin ağırlığındaki değişkenliği belirlemek istediğimizi varsayalım. Bu 20 arabanın kilogram cinsinden ağırlık verileri aşağıdaki tabloda sunulmaktadır:

410 408 408 405 391 390 402 397 397 395
390 404 397 394 399 397 405 408 410 400

Bu modelden sadece 20 araba olduğunu bildiğimiz için bunlar tüm popülasyonu temsil ediyor, dolayısıyla popülasyon standart sapmasını belirlemek için gereken tüm verilere sahibiz . Bu standart sapmayı belirlemenin üç farklı yoluna bakalım .

Yöntem 1: Varyansın tanımına dayalı hesaplama

Bu yöntem, yukarıda sunulan denklem 2’nin kullanımına dayanmaktadır. Gördüğümüz gibi, denklem popülasyon ortalamasının ve aşağıda ayrıntıları verilen başka bir dizi hesaplamanın kullanılmasını gerektirir:

1. Adım: Nüfus ortalamasını belirleyin

Nüfus ortalaması veya μ, tüm verileri toplayan ve bu durumda 20 olan toplam veri sayısına bölen denklem 3 aracılığıyla hesaplanır.

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Adım 2: Ortalamadan sapmaları hesaplayın

Bu adım, çıkarmaların (x i – μ) hesaplanmasını içerir. Örneğin:

x 1 – μ = 410 – 400,35kg = 9,65kg

x 2 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg

x 3 – μ = 408 – 400,35kg = 7,65kg

X 20 – μ = 400kg – 400,35kg = – 0,35

Sonuçlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

x ben x ben – μ
410 9.65
408 7.65
408 7.65
405 4.65
391 -9.35
390 -10.35
402 1.65
397 -3.35
397 -3.35
395 -5.35
390 -10.35
404 3,65
397 -3.35
394 -6.35
399 -1.35
397 -3.35
405 4.65
408 7.65
410 9.65
400 -0.35

3. Adım: Ortalamadan tüm sapmaların karesini alın

(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2

(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2

Sonuçlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

x ben / kg (x ben – μ)/ kg (x ben – μ ) 2 / kg 2
410 9.65 93.1225
408 7.65 58.5225
408 7.65 58.5225
405 4.65 21.6225
391 -9.35 87.4225
390 -10.35 107.1225
402 1.65 2.7225
397 -3.35 11.2225
397 -3.35 11.2225
395 -5.35 28.6225
390 -10.35 107.1225
404 3,65 13.3225
397 -3.35 11.2225
394 -6.35 40.3225
399 -1.35 1.8225
397 -3.35 11.2225
405 4.65 21.6225
408 7.65 58.5225
410 9.65 93.1225
400 -0.35 0,1225

Adım 4: Tüm kareli sapmaları toplayın

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Adım 5: Denklem 2’nin formülünü uygulayın

Artık bu toplama sahip olduğumuza göre, geriye kalan tek şey bu değeri ve 20 olan veri sayısını denklem 2’de değiştirmek:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Böylece, 20 arabalık popülasyonun ağırlığının standart sapması yaklaşık olarak elde edilir. 6.5kg.

Yöntem 2: Yeniden düzenlenmiş denklemi kullanma

Şimdi aynı hesaplamayı yapacağız, ancak az önce kullandığımız denkleme eşdeğer olan ancak özellikle daha fazla sayıda veriyle çalışıyorsanız daha pratik olan denklem 4’ü kullanarak yapacağız. Ana fayda, sapmaları hesaplayabilmek için ek bir parametre (popülasyon ortalaması) hesaplamak gerekli değildir, ancak her şey orijinal bireysel verilere göre hesaplanır. Ayrıca, öğrenciler arasında önemli bir hata kaynağı olan negatif sayılarla hiçbir zaman çalışmanıza gerek yoktur.

Adım 1: Her bir verinin karesini hesaplayın

Yani, aşağıdaki hesaplamalar yapılır:

(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168.100 kg 2

(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166.464 kg 2

(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166.464 kg 2

(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160.000 kg 2

Sonuçlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

x ben x ben 2
410 168.100
408 166.464
408 166.464
405 164.025
391 152.881
390 152.100
402 161.604
397 157.609
397 157.609
395 156.025
390 152.100
404 163.216
397 157.609
394 155.236
399 159.201
397 157.609
405 164.025
408 166.464
410 168.100
400 160.000

2. Adım: Tüm bireysel verileri toplayın

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

3. Adım: Tüm kareleri toplayın

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Adım 4: Denklem 4’ün formülünü uygulayın

Son adım, popülasyon standart sapmasını elde etmek için bu iki değeri ve denklem 4’teki veri sayısını tanıtmaktır:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Yöntem 3: Elektronik tabloları kullanma

Microsoft Excel, Apple Numbers veya Google Sheets gibi elektronik tablolar, temel işlevleri arasında standart sapmanın (hem örneklem hem de popülasyon) doğrudan hesaplanmasını içerir. Bu işlevler, bir veri kümesini argüman olarak alır ve formülün girildiği hücredeki standart sapmayı doğrudan döndürmek için önceki yöntemde gösterilen tüm hesaplamaları gerçekleştirir.

Prosedür aşağıdaki gibidir:

1. Adım: Verileri elektronik tabloya girin

Verileri tablonun herhangi bir yerine sütun, satır veya matris biçiminde girebiliriz. Aşağıdaki ekran görüntüsü, Excel 2016’da bu sorunun verilerinin nasıl göründüğünü gösterir.

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Adım 2: Standart sapmayı hesaplamak için formülü kullanın

Veriler eklendikten sonra, standart sapma fonksiyonunu kullanırız ve hücreleri argüman olarak verilerin bulunduğu yere yerleştiririz.

Bir elektronik tabloda bir işlevi çağırmak için, genellikle eşittir işaretini (=) ve ardından kullanmak istediğimiz işlevin adını yazarak başlarız. Adlar bir uygulamadan diğerine biraz değişir ve bazı durumlarda çalıştığınız dile bağlı olarak da değişir.

Excel (İspanyolca versiyonu) söz konusu olduğunda, nüfus standart sapmasını hesaplama işlevi STDEV.P olarak adlandırılırken, Google E-Tablolar’da STDEVP’dir (nokta olmadan). Ardından, işlevin bağımsız değişkenlerini parantezler arasında girmelisiniz. Örneğimizde, verilerin bulunduğu hücre aralığını (A3 hücresinden J4 hücresine kadar) argüman olarak iletiyoruz.

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

ENTER tuşuna basıldığında, program işlevi çalıştırır ve popülasyonun standart sapmasını hesaplar ve sonucu aşağıda gösterildiği gibi ilgili hücrede sunar:

Popülasyon Standart Sapma Hesaplama Örneği

Gördüğümüz gibi, burada uygulanan üç yöntemden herhangi biri aynı sonucu veriyor. Sadece aynı şeyi yapmanın farklı yolları.

diğer yöntemler

Yukarıda belirtilen üç yönteme ek olarak, bilimsel ve finansal hesaplayıcıların, ister örneklem ister popülasyon olsun, bir veri setinin standart sapmasını belirleme işlevi de vardır. Verilerin girilme ve sonuçların elde edilme şekli üreticiden üreticiye ve hatta bir hesap makinesi modelinden diğerine değişir, bu nedenle burada bunu yapmak için belirli adımları göstermek pratik değildir.

Bunun yerine, en önemli genel adımları derinlemesine ele almadan tartışacağız. Bilimsel hesap makinesinde bu işlevi kullanmak isteyen herkes, her durumda özel tuş kombinasyonunu belirlemek için hesap makinesiyle birlikte gelen kullanım kılavuzuna bakmalı veya çevrimiçi arama yapmalıdır.

1. Adım: Belleği temizleyin

Birçok hesap makinesinde önceden depolanan veriler görünmez. Farkında olmadan önceden kaydedilmiş başkaları hakkında veri girersek, hesap makinesi yanlış bir sonuç verecektir. Bunun olmamasını sağlamak için, yeni verileri girmeye başlamadan önce hesap makinesinin tüm belleğini (veya en azından istatistiksel analiz modunu) temizlemeniz önerilir.

2. Adım: İstatistik moduna erişin

Standart sapmayı hesaplama işlevleri, çoğu hesap makinesinde “İstatistik”, “İstatistik” veya basitçe “S” modunun bir parçasıdır, bu nedenle bu çalışma moduna girerek başlamalıyız.

3. Adım: Verileri girin

Bu, bir hesap makinesinden diğerine değişir. Bazı durumlarda veriler tablo şeklinde eklenebilirken bazı durumlarda veriler DT (veya DAT) tuşuna basıldıktan sonra tek tek girilir. Hiçbirinin eksik olmadığından emin olmak için bu adımın sonunda girilen veri sayısını kontrol etmek önemlidir.

Adım 4: Nüfus standart sapmasını hesaplayın

Veriler girildikten sonra geriye kalan tek şey hesap makinesinden aradığımız sonucu istemektir. Birçok hesap makinesinde, hem örneklem hem de popülasyon standart sapmaları σ sembolü ile temsil edilir (bu, numune sapması durumunda bir hata olmasına rağmen). Ancak örneklem sapmasını popülasyon sapmasından ayırt edebiliriz çünkü örneklem sapmasına n-1 (yani σ n-1 olarak görünür ) eşlik ederken, popülasyon sapması s n olarak görünür . Bu, örneklem standart sapmasının hesaplanmasında popülasyondaki gibi n yerine n-1’e bölünmesini ifade eder.

Referanslar

Devore, JL (2019). Olasılık ve İstatistik (1. baskı ). Öğrenmeyi Etkileyin.

MateMobile. (2021, 1 Ocak). Gruplandırılmış veriler için varyans ve standart sapma | matermobil . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Google teknik destek. (son). STDEV (STDEV) – Google Doküman Düzenleyicileri Yardımı . Google – Google Doküman Düzenleyicileri Yardımı. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=tr-419

Süper Prof. (son). standart sapma Matematik Sözlüğü | Süper Prof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.digital. (son). Gruplanmış veriler için Standart Sapma . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo

-Reklamcılık-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados