De Morgan’ın yasaları nelerdir?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Mantık, matematiğin bir dalıdır ve bunun bir kısmı küme teorisidir. De Morgan yasaları, kümeler arasındaki etkileşimle ilgili iki varsayımdır. Bu yasalar, Aristoteles ve Ockham’lı William’daki öncülleri kaydeder. Augustus De Morgan 1806 ile 1871 yılları arasında yaşadı ve öne sürdüğü yasaları matematiksel mantığın biçimsel yapısına dahil eden ilk kişi oldu.

Küme teorisinde operatörler

De Morgan’ın varsayımlarına geçmeden önce, küme teorisinin bazı tanımlarına bakalım.

A ve B olarak adlandıracağımız herhangi iki eleman kümesi varsa, bu iki kümenin kesişimi , her iki kümede ortak olan elemanlar kümesidir. İki kümenin kesişimi ∩ sembolü ile gösterilir ve C diyebileceğimiz başka bir kümedir; C = A∩B ve C, hem A hem de B grubunda görünen elemanlar kümesidir. Benzer şekilde, iki A ve B kümesinin birleşimi , A ve B’nin tüm öğelerini içeren yeni bir kümedir ve şu şekilde not edilir: U sembolü. C kümesi, A ve B’nin birleşimi, C = AUB, A ve B’nin tüm elemanları ile tümleşik bir kümedir. Hatırlamamız gereken üçüncü tanım, bir kümenin tümleyenidir . : Belirli bir elementler evrenimiz ve bu evrenin bir A kümesine sahipsek, A’nın tümleyeni, o evrenin A kümesine ait olmayan öğelerinin kümesidir. A’nın tümleyen kümesi AC olarak gösterilir .

Kümeler arasındaki bu üç operatör, birkaç küme arasındaki işleme, yani birkaç kümenin kesişimine, birleşimine ve tümleyenine genelleştirilebilir. Basit bir örneğe bakalım. Aşağıdaki şekil, üç kümenin Venn diyagramını göstermektedir: papağan, devekuşu, ördek ve penguen tarafından temsil edilen kuşlar; papağan, ördek, kelebek ve uçan balıkla temsil edilen uçan canlılar; ördek, penguen, uçan balık ve balina ile temsil edilen yüzen canlılar. Ördek, üç kümenin kesişme kümesidir: kuşların ve uçan canlıların birleşimi devekuşu, papağan, kelebek, ördek, penguen ve uçan balıktan oluşur. Uçan canlılar ile yüzen canlıların tamamlayıcısı da devekuşunun içinde bulunduğu takımdır.

Üç kümenin Venn diyagramı.
Üç kümenin Venn diyagramı.

De Morgan Kanunları

Şimdi De Morgan yasalarının varsayımlarını görebiliriz. İlk varsayım, iki A ve B kümesinin küme kesişiminin tümleyeninin, A’nın tümleyeninin ve B’nin tümleyeninin küme birliğine eşit olduğunu söyler. Önceki paragrafta tanımlanan operatörleri kullanarak, De Morgan’ın birinci yasası yazılabilir. aşağıdaki şekilde:

(A∩B) C = A C UB C

De Morgan’ın ikinci yasası, A ve B’nin birleşim kümesinin tümleyeninin, A’nın tümleyen kümesinin B’nin tümleyen kümesiyle kesişmesine eşit olduğunu varsayar ve aşağıdaki gibi not edilir:

(AUB) C = A C ∩ B C

Bir örnek görelim. 0’dan 5’e kadar tamsayılar kümesini ele alalım. Bu, [0,1,2,3,4,5] olarak gösterilir. Bu evrende A ve B olmak üzere iki küme tanımlarız. A, 1, 2 ve 3 sayıları kümesidir; bir = [1,2,3]. YB, 2, 3 ve 4 sayıları kümesidir; B = [2,3,4]. De Morgan’ın birinci yasası aşağıdaki gibi uygulanacaktır.

bir = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morgan’ın birinci yasası: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A C UB C

AC = [1,2,3] C = [0,4,5]

BC = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Eşitliğin her iki tarafındaki operatörlerin uygulanmasının sonucu, De Morgan’ın birinci yasasının doğrulandığını göstermektedir. Örneğin ikinci varsayıma uygulanmasını görelim.

De Morgan’ın ikinci yasası: (AUB) C = AC B C

(AUB) Ç

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

AC = [1,2,3] C = [0,4,5]

BC = [2,3,4] C = [0,1,5]

AC ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [ 0,5]

Birinci varsayımda olduğu gibi, verilen örnekte De Morgan’ın ikinci yasası da geçerlidir.

kaynaklar

AG Hamilton. Matematikçiler için Mantık. Editoryal Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Mantık ve küme teorisi . Kasım 2021’de erişildi

-Reklamcılık-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados