Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Aynı anda meydana gelen iki olayın olasılığını bulmakla ilgilendiğimiz birçok durum vardır. Onlardan bazıları:

  • İki zar aynı anda veya birbiri ardına atıldığında çift altı atma olasılığını bulun.
  • Bir gruptan rastgele seçilen bir kişinin hem kadın hem de koyu tenli olma olasılığını bulunuz.
  • Okulun bir bölümünden karşı cinsten iki öğrenci seçme olasılığı.
  • Bir uzay roketi fırlatmasında iki yedekli kontrol sisteminin aynı anda arızalanma olasılığı.

Bu tür problemler, olasılıkların çarpımına ilişkin genel kural aracılığıyla çözülebilir. Bu kural, iki A ve B olayı için, bunların aynı anda meydana gelme olasılığının, yani kesişme olasılığının şu şekilde verildiğini belirler:

Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

Bu denklemde, P(A|B), B verildiğinde A olayının gerçekleşmesinin koşullu olasılığıdır. Yukarıdaki genel çarpma kuralıdır ve herhangi bir olay çifti için geçerlidir. Bazı durumlarda koşullu olasılık bilinmez veya belirlenmesi zordur; ancak, bağımsız olaylar söz konusu olduğunda, bu olasılık, bağımsız olaylar için çarpma kuralına yol açacak şekilde basitleştirilir.

Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

Bağımsız olaylar nedir?

A ve B olaylarından birinin gerçekleşmesi diğerinin olma olasılığını etkilemiyorsa birbirinden bağımsızdır. Matematiksel terimlerle ifade edilirse, bu, diğerinin meydana geldiğini bildiğimize göre, herhangi bir olayın meydana gelmesinin koşullu olasılığının, ilkinin meydana gelmesinin basit olasılığına eşit olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, iki olay yalnızca aşağıdaki durumlarda bağımsız olacaktır:

Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

Yukarıdakilerin yorumu, B’nin meydana gelmesine göre A’nın olma olasılığının A’nın olma olasılığına eşit olduğu şeklindedir. yol.

Yukarıdaki koşulu sağlamayan herhangi bir olay çifti, bağımlı olaylar olacaktır.

Bu durumda çarpma kuralı nasıl etkilenir?

Gördüğümüz gibi, bağımsızlık koşulunun ilk ifadesi, genel çarpma kuralını basitleştirmek için kullanılabilir, çünkü ilk faktör A’nın basit olasılığı ile değiştirilebilir, böylece aşağıdaki ifade elde edilir:

Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

Yukarıdaki ifade, bağımsız olaylar için olasılıkların çarpma kuralı olarak bilinir . Bu, iki olayın birbirinden bağımsız olduğunu biliyorsak ve olma olasılıklarını biliyorsak, o zaman bu olasılıkları çarparak her ikisinin de aynı anda olma olasılığını bulabileceğimiz anlamına gelir.

Bağımsız Olay Örnekleri

Bilgi eksikliği, iki olayın bağımsız olup olmadığını belirlemeyi zorlaştırabilir. Örneğin, kahverengi saçlı olmanın meme kanseri oluşumuyla hiçbir ilgisi olmadığını düşünebiliriz, ancak insan vücudunun fizyolojisi o kadar karmaşıktır ki, hiçbir doktor böyle bir açıklama yapmaya cesaret edemez.

Bununla birlikte, iki olayın bağımsız olup olmadığını kolayca belirleyebileceğimiz birçok basit deney vardır.

  • Aynı anda iki zar atın. İki zar atılırken, birinin sonucu diğerinde olabilecek sonucu hiçbir şekilde etkilemez, bu nedenle bir zarın belirli bir sayıya gelmesi diğer zarın başka bir sayıya gelmesi olayından bağımsızdır. veya aynı hatta.
  • Aynı kalıbı arka arkaya iki kez yuvarlamanın sonuçları da aynı nedenlerle birbirinden bağımsızdır.
  • Bir madeni parayı iki kez çevirin. İlk seferde yazı veya tura gelmesi bir sonraki atışın sonucunu etkilemeyecektir.
  • Ayrı hammadde ve işçilik kullanan bileşenler için iki bağımsız üretim hattına sahip bir buzdolabı fabrikasında , iki bileşenden birinin arızalanma olasılığının diğerinin arızalanma olasılığından bağımsız olduğunu varsaymak kabul edilebilir.
  • Bir desteden rastgele bir kart veya deste çekmek, onu değiştirmek ve ardından desteden rastgele başka bir kart çekmek ayrı olaylardır, çünkü destedeki orijinal kartı değiştirmek orijinal kartlardan herhangi birini çekme şansını sıfırlar.

Bağımsız olmayan olaylara örnekler

  • Bir desteden rastgele bir kart veya deste çekmek ve ardından aynı desteden ilkini değiştirmeden başka bir kart çekmek bağımsız olaylar değildir, çünkü ilkini çekmek destedeki toplam kart sayısını azaltır, bu da herhangi birinin olasılığını etkiler. diğer kart çıkıyor Ayrıca ilk kartı yerine koymazsak ikinci seferde o kartın çıkma olasılığı sıfır olur.
  • Çalışan bir arabada, arabanın motorunun aşırı ısınma olasılığı ve motoru soğutan su pompasının arızalanma olasılığı bağımsız olaylar değildir, çünkü su pompası arızalanırsa motorun aşırı ısınması çok daha olası hale gelir.
  • Anlaşılması daha kolay bir örnek, istatistikte iyi notlar almanın ders çalışmaktan bağımsız olmadığıdır , çünkü çalışırsak iyi notlar alma ihtimalimiz daha yüksektir.

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanan olasılık hesaplama örnekleri

Örnek 1: İki kez yazı tura atmak

Diyelim ki bir yazı tura iki kez atıldığında, sonucun her iki atışta da tura gelme olasılığını hesaplamak istiyoruz.

Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

İlk atışın tura geldiği olaya A ve ikinci atışın tura geldiği olaya B dersek, o zaman hesaplamamız istenen olasılık, A’nın B ile kesişme olasılığıdır, çünkü her iki olayın da olmasını istiyoruz. . Yani bilinmeyen P(A∩B)’dir.

Her atış için yalnızca iki olası sonuç olduğundan, her iki olayın da olma olasılığı aynıdır:

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Şimdi, olayların bağımsız olduğunu bildiğimiz için, kesişme olasılığını belirlemek için çarpma kuralını kullanabiliriz:

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Örnek 2: İki zar atmak

İki ortak altı kenarlı zar atıldığında, birinin birinin, ikincisinin çift sayı gelmesi olasılığını hesaplayalım.

Aşağıdaki olaylara A ve B diyelim:

       A = zarlardan biri 1’e gelir.

       B = zarlardan biri çift sayıya gelir.

Hesaplamak istediğimiz yine P(A∩B)’dir.

Bağımsız Olaylar için Çarpım Kuralı

Her zarın sonucu diğerini oluşturan sayıdan bağımsız olduğu için, bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanarak P(A∩B)’yi hesaplayabiliriz. Ama önce, A ve B’nin olasılıklarına ihtiyacımız var.

Zarın 1’den 6’ya kadar sayıları tekrar etmeyen 6 yüzü vardır. Bu nedenle, yalnızca bir 1 vardır ve 2, 4 ve 6 olmak üzere üç çift sayı vardır. Bu nedenle, ayrı olayların meydana gelme olasılıkları:

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Bu olasılıkları ve çarpma kuralını kullanarak istenen olasılığı elde ederiz:

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Örnek 3: Arızalı parçalar

Bilgisayar ekipmanı üreten bir fabrika, diğer bileşenlerin yanı sıra iki farklı üreticiden iki farklı çip veya entegre devre kullanır. İlk çipin üreticisine göre, normal çalışma koşullarında arızalanma olasılığı 0,00133’tür. İkinci üretici ise kurulu her 5.000 birim için yongalarından yalnızca ikisinin arızalanmasıyla övünüyor. Fabrika sahibi, her iki bileşenin de aynı anda arızalanma olasılığını bulmak istiyor. Her bir çip markasının arızası diğerinden bağımsız olarak değerlendirilebilir.

Bu durumda, ifadenin kendisi iki olayın bağımsız olduğunu belirtir, dolayısıyla yukarıdaki çarpma kuralını kullanabiliriz. Ek olarak, olay A olarak adlandıracağımız birinci çipin arızalanma olasılığı da sağlanır. İkinci çipin arızalanma olasılığı (olay B) üretici tarafından sağlanan bilgilerden hesaplanabilir:

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Dolayısıyla, her iki bileşenin de aynı anda arızalanma olasılığı:

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Bağımsız olaylar için çarpma kuralını kullanma örneği

Referanslar

Koşullu Olasılık ve Bağımsızlık . (son). Florida Sağlık Üniversitesi. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). MÜHENDİSLİK VE BİLİMLER İÇİN OLASILIK VE İSTATİSTİK . Uluslararası Thomson Yayıncıları, SA

Frost, J. (2021, 10 Mayıs). Olasılıkları Hesaplamak için Çarpma Kuralı . Jim’in İstatistikleri. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Çarpım kuralı, çözümlü alıştırmalar . (2021, 1 Ocak). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Olasılık çarpma kuralı . (son). Üniversite Öğretmenleri. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Çarpma Kuralı (Olasılık) [Örnekler] . (son). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Genel çarpma kuralı . (son). Khan Akademisi. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule

-Reklamcılık-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados