จำนวนจริงคืออะไร?

ตัวเลขมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันและสามารถจำแนกออกเป็นกลุ่มต่างๆ หนึ่งในกลุ่มเหล่านี้ซึ่งมีการใช้งานอย่างกว้างขวางในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์คือจำนวนจริง เพื่อให้เข้าใจได้ดีขึ้น เรามาดูกันก่อนว่าตัวเลขประเภทต่างๆ คืออะไร

ตัวเลข

สิ่งแรกที่เราเรียนรู้เกี่ยวกับตัวเลขคือวิธีใช้มันเพื่อนับ เราเริ่มต้นด้วยการจับคู่นิ้วของเราเพื่อดำเนินการง่ายๆ ดังนั้นนิ้วทั้งสิบของเราจึงเป็นฐานของระบบทศนิยม จากนั้นเราจะนับปริมาณมากที่สุดเท่าที่เราจะทำได้ และสังเกตว่าจำนวนนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้น การบวกศูนย์ (0) เมื่อเราไม่มีอะไรจะนับ จำนวนธรรมชาติจึงเกิดขึ้น

ด้วยจำนวนธรรมชาติ เราทำการคำนวณทางคณิตศาสตร์ และเมื่อเราลบจำนวนอื่นออกจากจำนวน เราจะต้องนำจำนวนลบเข้ามา ดังนั้น เมื่อบวกจำนวนลบเข้ากับจำนวนธรรมชาติ เราจะได้ชุดของจำนวนเต็ม

ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เราดำเนินการกับตัวเลขคือการหาร และเราพบว่ามีบางกรณีที่เมื่อนำจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ผลลัพธ์จะไม่ใช่จำนวนเต็ม ในหลายกรณี ผลการหารนี้สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำด้วยนิพจน์การหารเท่านั้น ซึ่งก็คือเศษส่วน นี่คือวิธีการสร้างเซตของจำนวนตรรกยะ ซึ่งตัวเลขทั้งหมดเขียนเป็นเศษส่วนและจำนวนเต็มมีเลข 1 เป็นตัวส่วน

เป็นอารยธรรมโบราณที่สังเกตเห็นว่ามีตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ เมื่อทำงานกับรูปทรงเรขาคณิต พวกเขาพบจำนวนพาย ความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีและความยาวของวงกลม ซึ่งเป็นตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นผลหารระหว่างจำนวนเต็มสองจำนวนได้ นอกจากนี้ยังเป็นกรณีของรากที่สองของเลข 2 (นั่นคือ จำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองจะให้ผลลัพธ์เป็นเลข 2) และมีตัวเลขมากมายที่ปรากฏในสาขาความรู้ต่างๆ ที่ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเซตของจำนวนตรรกยะ จำนวนเหล่านี้ซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวนได้ทั้งหมด เรียกว่า จำนวนอตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะประกอบกันเป็นเซตของจำนวนจริง

จำนวนจริงเป็นส่วนหนึ่งของชุดตัวเลขที่ใหญ่กว่า นั่นคือ จำนวนเชิงซ้อน ส่วนขยายของชุดจำนวนจริงนี้เกิดขึ้นเมื่อเราต้องการคำนวณรากที่สองของจำนวนลบ เนื่องจากผลคูณของจำนวนลบสองตัวเป็นค่าบวกเสมอ จึงไม่มีจำนวนจริงใดที่คูณด้วยตัวมันเองแล้วมีค่าเป็นลบ จากนั้นกำหนดจำนวนจินตภาพiซึ่งแทนรากที่สองของ -1 และชุดของจำนวนเชิงซ้อนก็เกิดขึ้น

การแสดงทศนิยม

ตัวเลขทั้งหมดสามารถแสดงในรูปแบบทศนิยม ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะ 1/2 สามารถแสดงในรูปแบบทศนิยมเป็น 0.5 ซึ่งแตกต่างจากจำนวนตรรกยะ 1/2 ซึ่งสามารถแสดงด้วยทศนิยมตำแหน่งเดียว จำนวนตรรกยะอื่นๆ มีจำนวนทศนิยมเป็นจำนวนไม่จำกัดและไม่มีพวกเขาสามารถแสดงด้วยการแสดงทศนิยม นี่คือกรณีของหมายเลข 1/3; การแสดงทศนิยมของมันคือ 0.33333… โดยมีจำนวนทศนิยมไม่สิ้นสุด จำนวนตรรกยะเหล่านี้เรียกว่าเลขทศนิยมเป็นระยะ เนื่องจากในทุกกรณีมีลำดับของตัวเลขที่ซ้ำกันหลายครั้งไม่รู้จบ ในกรณีของเลข 1/3 ลำดับนั้นคือ 3; ในกรณีของเลข 1/7 รูปแบบทศนิยมคือ 0.1428571428571… และลำดับที่ซ้ำไปเรื่อยๆ คือ 142857 จำนวนอตรรกยะไม่ใช่เลขทศนิยมตามคาบ ไม่มีลำดับใดที่ทำซ้ำหลายครั้งอย่างไม่สิ้นสุดในการแสดงทศนิยม

การแสดงภาพ

จำนวนจริงสามารถมองเห็นได้โดยเชื่อมโยงแต่ละจำนวนเข้ากับจุดหนึ่งในจำนวนนับไม่ถ้วนบนเส้นตรงดังแสดงในรูป ในการแสดงกราฟิกนี้ ตัวเลข pi ซึ่งมีค่าประมาณ 3.1416, จำนวนeซึ่งมีค่าประมาณ 2.7183 และรากที่สองของตัวเลข 2 ซึ่งมีค่าประมาณ 1.4142 จากเลข 0 ทางขวา จำนวนจริงบวกจะอยู่ในรูปแบบที่เพิ่มขึ้น และทางซ้ายคือจำนวนจริงที่เป็นลบซึ่งจะเพิ่มค่าสัมบูรณ์ในทิศทางนั้น

คุณสมบัติบางประการของจำนวนจริง

จำนวนจริงทำตัวเหมือนจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะที่เราคุ้นเคยมากกว่า เราสามารถบวกลบคูณหารได้ด้วยวิธีเดียวกัน ข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือการหารด้วยเลข 0 ซึ่งเป็นการดำเนินการที่ไม่สามารถทำได้ ลำดับของการบวกและการคูณไม่สำคัญ เนื่องจากคุณสมบัติการสลับที่ยังคงมีอยู่ และคุณสมบัติการแจกแจงก็ใช้ในลักษณะเดียวกัน ในทำนองเดียวกัน จำนวนจริงสองตัวxและyจะถูกเรียงลำดับในลักษณะเฉพาะ และมีเพียงหนึ่งในความสัมพันธ์ต่อไปนี้เท่านั้นที่ถูกต้อง:

x = y , x < yหรือx > y

จำนวนจริงนั้นไม่มีที่สิ้นสุดเช่นเดียวกับจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะ โดยหลักการแล้ว สิ่งนี้ชัดเจนเนื่องจากทั้งจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะเป็นส่วนย่อยของจำนวนจริง แต่มีความแตกต่าง: ในกรณีของจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะ ว่ากันว่าเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน แทนที่จะเป็นจำนวนจริงนับไม่ถ้วน

เซตสามารถนับได้หรือนับได้เมื่อแต่ละส่วนประกอบสามารถเชื่อมโยงกับจำนวนธรรมชาติได้ ความสัมพันธ์นั้นชัดเจนในกรณีของจำนวนเต็ม ในกรณีของจำนวนตรรกยะ มันสามารถมองได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ของคู่ของจำนวนธรรมชาติ ตัวเศษและตัวส่วน แต่การเชื่อมโยงนี้เป็นไปไม่ได้ในกรณีของจำนวนจริง

แหล่งที่มา

• อาเรียส คาเบซาส, โฆเซ มาเรีย, มาซา ซาเอซ, อิลเดฟอนโซ เลขคณิตและพีชคณิต . ใน Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. คณิตศาสตร์ 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
• คาร์ลอส อิวอร์ร่า. ทฤษฎีตรรกศาสตร์และเซต . 2554.