Tabla de Contenidos
มีหลายสถานการณ์ที่เราสนใจที่จะค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน บางส่วนของพวกเขาคือ:
- ค้นหาความน่าจะเป็นของการทอยลูกเต๋าสองลูกเมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกพร้อมกันหรือออกลูกติดกัน
- ค้นหาความน่าจะเป็นที่บุคคลที่ถูกสุ่มเลือกจากกลุ่มเป็นทั้งผู้หญิงและผิวคล้ำ
- ความน่าจะเป็นที่จะเลือกคู่ของนักเรียนที่เป็นเพศตรงข้ามจากส่วนใดส่วนหนึ่งของโรงเรียน
- ความน่าจะเป็นที่ระบบควบคุมสำรองสองระบบล้มเหลวพร้อมกันในการปล่อยจรวดอวกาศ
ปัญหาระดับนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎทั่วไปของการคูณความน่าจะเป็น กฎนี้กำหนดว่า สำหรับสองเหตุการณ์ A และ B ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นพร้อมกัน นั่นคือ ความน่าจะเป็นของการตัดกัน ถูกกำหนดโดย:
ในสมการนี้ P(A|B) คือความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นเมื่อได้รับ B ข้างต้นเป็นกฎการคูณทั่วไปและใช้กับคู่ของเหตุการณ์ใดๆ ในบางกรณี ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขไม่เป็นที่รู้จักหรือยากต่อการระบุ อย่างไรก็ตาม ในกรณีของเหตุการณ์อิสระ ความน่าจะเป็นนี้จะถูกทำให้ง่ายขึ้นเพื่อทำให้เกิดกฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ
กฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ
เหตุการณ์อิสระคืออะไร?
สองเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระจากกันหากการเกิดขึ้นของหนึ่งในนั้นไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นที่อีกเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้น ในแง่คณิตศาสตร์ นี่แสดงว่าความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้น โดยที่เรารู้ว่าอีกเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นแล้ว เท่ากับความน่าจะเป็นอย่างง่ายของเหตุการณ์แรก กล่าวอีกนัยหนึ่ง สองเหตุการณ์จะเป็นอิสระต่อกันก็ต่อเมื่อ:
การตีความข้างต้นคือความน่าจะเป็นของ A ที่เกิดขึ้นเนื่องจาก B เกิดขึ้นเท่ากับความน่าจะเป็นของ A ที่เกิดขึ้น นี่หมายความว่าการเกิดขึ้นของ B ไม่ส่งผลกระทบต่อความน่าจะเป็นของ A ที่เกิดขึ้น ดังนั้นทั้งสองเหตุการณ์จึงเกิดขึ้นอย่างอิสระ ทาง.
เหตุการณ์คู่ใดก็ตามที่ไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นจะเป็นเหตุการณ์ที่ขึ้นอยู่กับ
กฎการคูณมีผลอย่างไรในกรณีนี้?
อย่างที่เราเห็น นิพจน์แรกของเงื่อนไขความเป็นอิสระสามารถใช้เพื่อทำให้กฎการคูณทั่วไปง่ายขึ้น เนื่องจากปัจจัยแรกสามารถถูกแทนที่ด้วยความน่าจะเป็นอย่างง่ายของ A ดังนั้นจึงได้นิพจน์ต่อไปนี้:
นิพจน์ข้างต้นเรียกว่ากฎการคูณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์อิสระ เป็นนัยว่าถ้าเรารู้ว่าสองเหตุการณ์เป็นอิสระจากกันและเรารู้ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น เราก็สามารถหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองเหตุการณ์จะเกิดขึ้นพร้อมกันได้โดยการคูณความน่าจะเป็นเหล่านี้
ตัวอย่างของเหตุการณ์อิสระ
การขาดข้อมูลอาจทำให้ยากต่อการระบุว่าสองเหตุการณ์นั้นเป็นอิสระต่อกันหรือไม่ ตัวอย่างเช่น เราอาจคิดว่าการมีผมสีน้ำตาลไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับการเกิดมะเร็งเต้านม แต่สรีรวิทยาของร่างกายมนุษย์นั้นซับซ้อนมากจนไม่มีแพทย์คนไหนกล้าออกคำสั่งเช่นนั้น
อย่างไรก็ตาม มีการทดลองง่ายๆ มากมายที่เราสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์นั้นเป็นอิสระต่อกันหรือไม่
- โยนลูกเต๋าสองลูกในเวลาเดียวกัน เมื่อทอยลูกเต๋า 2 ลูก ผลของลูกเต๋าหนึ่งลูกจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นกับอีกลูกหนึ่ง แต่อย่างใด ดังนั้นเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าลูกหนึ่งออกเลขใดหมายเลขหนึ่งจึงไม่ขึ้นกับเหตุการณ์ที่ลูกเต๋าอีกลูกออกเลขอื่น หรือ เหมือนกันด้วยซ้ำ
- ผลลัพธ์ของการทอยแม่พิมพ์เดียวกันสองครั้งติดต่อกันนั้นไม่ขึ้นต่อกันด้วยเหตุผลเดียวกัน
- พลิกเหรียญสองครั้ง ข้อเท็จจริงที่ว่ามันออกหัวหรือก้อยในครั้งแรกจะไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ของการโยนครั้งต่อไป
- ในโรงงานตู้เย็นที่มีสายการผลิตอิสระสองสายสำหรับส่วนประกอบที่ใช้วัตถุดิบและแรงงานแยกกัน เป็นที่ยอมรับได้หากสันนิษฐานว่าความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบหนึ่งในสองชิ้นจะล้มเหลวนั้นไม่ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่อีกส่วนประกอบหนึ่งจะล้มเหลว
- การจั่วการ์ดหรือเด็คแบบสุ่มจากเด็ค การแทนที่ และการสุ่มจั่วการ์ดอีกใบจากเด็คเป็นเหตุการณ์ที่แยกจากกัน เนื่องจากการแทนที่การ์ดเดิมในเด็คจะรีเซ็ตโอกาสในการจั่วการ์ดดั้งเดิมใดๆ
ตัวอย่างเหตุการณ์ที่ไม่เป็นอิสระ
- การสุ่มจั่วไพ่หนึ่งใบหรือสำรับจากสำรับ แล้วจั่วไพ่อีกใบจากสำรับเดียวกันโดยไม่เปลี่ยนไพ่ใบแรกนั้นไม่ถือเป็นเหตุการณ์อิสระ เนื่องจากการจั่วไพ่ใบแรกจะลดจำนวนไพ่ทั้งหมดที่มีอยู่ในสำรับ ซึ่งส่งผลต่อความน่าจะเป็นของไพ่ใบใดใบหนึ่ง การ์ดใบอื่นออกมา นอกจากนี้ หากเราไม่เปลี่ยนไพ่ใบแรก ความน่าจะเป็นที่ไพ่ใบนั้นจะออกในครั้งที่สองจะกลายเป็นศูนย์
- ในรถวิ่งความน่าจะเป็นที่เครื่องยนต์ของรถจะร้อนมากเกินไปและความน่าจะเป็นที่ปั๊มน้ำที่ทำให้เครื่องยนต์เย็นลงจะล้มเหลวนั้นไม่ใช่เหตุการณ์อิสระเนื่องจากหากปั๊มน้ำล้มเหลว เครื่องยนต์ร้อนจัด
- ตัวอย่างที่เข้าใจง่ายยิ่งขึ้นคือการได้เกรดดีในวิชาสถิติไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเรียนเนื่องจากถ้าเราเรียน เราก็มักจะได้เกรดดี
ตัวอย่างการคำนวณความน่าจะเป็นโดยใช้กฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ
ตัวอย่างที่ 1: โยนเหรียญสองครั้ง
สมมติว่าเราต้องการคำนวณความน่าจะเป็นที่เมื่อโยนเหรียญสองครั้ง ผลที่ได้คือออกหัวทั้งสองการโยน
ถ้าเราเรียก A ว่าเหตุการณ์ที่การโยนครั้งแรกออกหัว และ B เป็นเหตุการณ์ที่การโยนครั้งที่สองออกหัว ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เราถูกขอให้คำนวณคือความน่าจะเป็นของจุดตัดของ A กับ B เนื่องจากเราต้องการให้ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้น . นั่นคือ สิ่งที่ไม่รู้คือ P(A∩B)
เนื่องจากมีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สำหรับการโยนแต่ละครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งจะเกิดขึ้นจึงเท่ากัน:
ตอนนี้ เนื่องจากเรารู้ว่าเหตุการณ์นั้นเป็นอิสระต่อกัน เราจึงสามารถใช้กฎการคูณเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นของการตัดกัน:
ตัวอย่างที่ 2: โยนลูกเต๋าสองลูก
ลองคำนวณความน่าจะเป็นที่เมื่อทอยลูกเต๋าหกด้านทั่วไปสองลูก ลูกหนึ่งจะออกบนหนึ่งและลูกที่สองจะออกเป็นเลขคู่
เรียกเหตุการณ์ต่อไปนี้ว่า A และ B:
A =ลูกเต๋าหนึ่งลูกออกที่ 1
B =ลูกเต๋าลูกหนึ่งออกเลขคู่
สิ่งที่เราต้องการคำนวณคือ P(A∩B) อีกครั้ง
เนื่องจากผลลัพธ์ของการตายแต่ละครั้งไม่ขึ้นกับจำนวนที่ส่งผลให้เกิดอีก เราสามารถคำนวณ P(A∩B) โดยใช้กฎการคูณสำหรับเหตุการณ์อิสระ แต่ก่อนอื่น เราต้องหาความน่าจะเป็นของ A และ B
ลูกเต๋ามี 6 หน้าพร้อมตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 6 ซึ่งไม่ซ้ำกัน ดังนั้นจึงมีเพียง 1 เดียวเท่านั้นและมีเลขคู่สามตัว ได้แก่ 2, 4 และ 6 ดังนั้นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่แยกจากกันคือ:
เมื่อใช้ความน่าจะเป็นเหล่านี้และกฎการคูณ เราได้รับความน่าจะเป็นที่ต้องการ:
ตัวอย่างที่ 3: ชิ้นส่วนที่ล้มเหลว
โรงงานที่สร้างอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ใช้ชิปหรือวงจรรวมที่แตกต่างกันสองรายการจากผู้ผลิตสองราย ผู้ผลิตชิปตัวแรกระบุว่าความน่าจะเป็นที่จะล้มเหลวภายใต้สภาวะการทำงานปกติคือ 0.00133 ในส่วนของผู้ผลิตรายที่สองอวดว่ามีชิปเพียงสองตัวเท่านั้นที่ล้มเหลวสำหรับทุกๆ 5,000 หน่วยที่ติดตั้ง เจ้าของโรงงานต้องการหาความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบทั้งสองจะล้มเหลวพร้อมกัน ความล้มเหลวของชิปแต่ละยี่ห้อสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นอิสระจากกัน
ในกรณีนี้ ข้อความระบุว่าทั้งสองเหตุการณ์เป็นอิสระจากกัน ดังนั้นเราสามารถใช้กฎการคูณข้างต้นได้ นอกจากนี้ยังระบุความน่าจะเป็นของชิปตัวแรกเสีย ซึ่งเราจะเรียกว่าเหตุการณ์ A ความน่าจะเป็นของชิปตัวที่สองเสีย (เหตุการณ์ B) สามารถคำนวณได้จากข้อมูลที่ผู้ผลิตให้มา:
ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ส่วนประกอบทั้งสองจะล้มเหลวพร้อมกันคือ:
อ้างอิง
ความน่าจะเป็นแบบมี เงื่อนไขและความเป็นอิสระ (น). สุขภาพมหาวิทยาลัยฟลอริดา https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/
เดวอร์, JL (1998). ความน่า จะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์ International Thomson Publishers, SA
Frost, J. (2021, 10 พฤษภาคม). กฎการคูณสำหรับการคำนวณความน่าจะเป็น สถิติโดยจิม https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/
กฎการ คูณแบบฝึกหัด (2021, 1 มกราคม). เมทโมบายล์. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/
กฎการคูณความน่าจะเป็น (น). ตัวแทนติวเตอร์. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability
กฎการคูณ (ความน่าจะเป็น) [ตัวอย่าง] . (น). ไฟบี https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html
กฎการคูณทั่วไป (น). ข่าน อคาเดมี่. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule