Tabla de Contenidos
โมเมนต์ความเฉื่อยในการหมุน หรือเรียกง่ายๆ ว่า ความเฉื่อยในการหมุน เป็นปริมาณเชิงกายภาพเชิงสเกลาร์โดยทั่วไปของวัตถุใดๆ ที่มีมวล และเป็นตัววัดว่ายากเพียงใดที่จะทำให้มันหมุนรอบแกนหมุนที่กำหนด เป็นค่าสมมูลการหมุนของความเฉื่อยเชิงเส้น และเป็นปริมาณที่แสดงถึงความยากลำบากในการเปลี่ยนความเร็วของวัตถุ ไม่ว่าจะเป็นขณะหยุดนิ่งหรือขณะเคลื่อนที่ โดยความแตกต่างที่ในกรณีนี้ มันเกี่ยวกับเชิงมุม ความเร็ว.
ปริมาณนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในการอธิบายการเคลื่อนที่แบบหมุนเนื่องจากช่วยให้เราเข้าใจความแตกต่างในพฤติกรรมของวัตถุที่แม้จะมีรูปร่างและมวลภายนอกเหมือนกันแต่จะทำงานแตกต่างกันเมื่ออยู่ภายใต้แรงบิดซึ่งมีแนวโน้มที่จะทำให้พวกมัน ปั่น. ความแตกต่างนี้เกิดจากความแตกต่างในการกระจายมวลของร่างกายรอบแกนหมุน ข้างต้นบอกเป็นนัยว่าวัตถุเดียวกันสามารถมีโมเมนต์ความเฉื่อยในการหมุนต่างกันได้ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่สัมพันธ์กับแกนของการหมุน จึงทำให้เกิดสูตรต่างๆ ในการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย
จากที่กล่าวไว้ข้างต้น เป็นที่ชัดเจนว่ามีหลายสูตรในการหาโมเมนต์ความเฉื่อยตามรูปร่างที่เป็นไปได้ของวัตถุและแกนการหมุนที่มีอยู่ อย่างไรก็ตาม มีบางกรณีเฉพาะของรูปทรงเรขาคณิตปกติที่หมุนรอบแกนซึ่งเกิดขึ้นตามธรรมชาติในทางปฏิบัติ ในส่วนต่อไปนี้ เราจะเห็นสูตรที่สำคัญที่สุดในการกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อยในการหมุนของวัตถุเหล่านี้
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคแบบจุด
โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคจุดสอดคล้องกับคำจำกัดความดั้งเดิมของปริมาณทางกายภาพนี้ นิพจน์นี้มาจากนิพจน์สำหรับพลังงานจลน์ในการหมุนเมื่อเขียนในรูปของความเร็วเชิงมุม w
สมมติว่าเรามีอนุภาคมวลmหมุนรอบแกนกลางดังนี้
พลังงานจลน์ของอนุภาคนี้ เช่นเดียวกับอนุภาคเคลื่อนที่อื่นๆ ถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์ระหว่างมวลและความเร็ว (ขนาดของความเร็ว) ยกกำลังสอง นั่นคือ 1/2 mv 2 . อย่างไรก็ตาม หากการเคลื่อนที่เพียงอย่างเดียวที่อนุภาคนี้อธิบายคือการหมุนรอบแกน (ไม่มีคำแปล) เราสามารถแสดงความเร็วเชิงเส้นของอนุภาคเป็นฟังก์ชันของความเร็วเชิงมุม โดยเขียน v = rω เมื่อทำสิ่งนี้ พลังงานจลน์ซึ่งในกรณีนี้คือพลังงานจลน์แบบหมุนเท่านั้น แสดงเป็น:
โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยIของอนุภาคถูกกำหนดเป็น:
ในนิพจน์นี้mคือมวลของอนุภาคแบบจุด และrคือรัศมีของการหมุน หรือระยะทางจากแกนการหมุนถึงอนุภาคก็เหมือนกัน
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของกลุ่มอนุภาคจุด
สมมติว่าตอนนี้เราไม่มีอนุภาคเดียวที่หมุนรอบแกน แต่เรามีระบบที่ประกอบด้วยอนุภาค n ตัว แต่ละอนุภาคมีมวลเฉพาะ m i และแต่ละอนุภาคหมุนด้วยระยะทาง r iจากแกนหมุน เช่น ระบบสามอนุภาคที่แสดงด้านล่าง
หากเราต้องการคำนวณพลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบนี้ เราจะต้องเพิ่มพลังงานจลน์ของแต่ละอนุภาคจากสามอนุภาคเท่านั้น หากเราขยายแนวคิดนี้ไปยังกรณีทั่วไปของอนุภาค n และสมมติว่าพวกมันทั้งหมดเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมเท่ากัน (เพราะพวกมันหมุนพร้อมกัน) ดังนั้นพลังงานจลน์ในการหมุนทั้งหมดของระบบจะได้รับจาก:
จากจุดต่อไปนี้ โมเมนต์ความเฉื่อยทั้งหมดของระบบอนุภาคnอนุภาคที่หมุนรอบแกนเดียวกัน ซึ่งแต่ละอนุภาคมีมวลและรัศมีการหมุนของมันเอง กำหนดโดย:
สูตรนี้ใช้ได้กับทั้งอนุภาคแบบจุดและอนุภาคทรงกลมทุกขนาด ตราบใดที่แกนหมุนอยู่นอกทรงกลม หากเป็นไปตามเงื่อนไขนี้ รัศมีจะสอดคล้องกับระยะห่างระหว่างแกนกับจุดศูนย์กลางของทรงกลม และมวลจะสอดคล้องกับมวลรวมของทรงกลม
สูตรอินทิเกรตของโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็ง
สูตรข้างต้นสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยใช้กับระบบที่เกิดจากจุดและอนุภาคที่ไม่ต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม สามารถขยายไปถึงวัตถุที่แข็งซึ่งมีการกระจายมวลอย่างต่อเนื่อง เช่นเดียวกับที่เกิดขึ้นกับวัตถุที่มองด้วยตาเปล่า
ในกรณีเหล่านี้ การคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยประกอบด้วยการแบ่งวัตถุออกเป็นองค์ประกอบที่มีมวลขนาดเล็ก (Δm ผม ) ซึ่งแต่ละองค์ประกอบจะอยู่ที่ระยะทาง r iจากแกนหมุน จากนั้นใช้สมการก่อนหน้า อย่างไรก็ตาม หากเราผลักดันขนาดขององค์ประกอบมวลจนถึงขีดจำกัด ซึ่งมันจะกลายเป็นองค์ประกอบที่น้อยมากหรือผลต่างมวล (dm) ผลรวมจะกลายเป็นอินทิกรัล ดังที่แสดงด้านล่าง:
นี่คือนิพจน์ทั่วไปในการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุแข็งใดๆ ไม่ว่ารูปร่างหรือการกระจายมวลของวัตถุนั้นจะเป็นอย่างไร ในกรณีส่วนใหญ่ เพื่อดำเนินการรวม องค์ประกอบมวลdm จะถูกแทนที่ด้วยผลคูณของความหนาแน่นของร่างกายคูณด้วยส่วนต่างของปริมาตรdV สิ่งนี้ทำให้สามารถรวมเข้าด้วยกันในปริมาตรทั้งหมดของวัตถุแข็ง แม้ว่าการกระจายมวลจะไม่สม่ำเสมอ (ตราบเท่าที่รู้ว่ามันแปรผันอย่างไรขึ้นอยู่กับตำแหน่ง)
ในกรณีนี้ นิพจน์อินทิกรัลของโมเมนต์ความเฉื่อยจะกลายเป็น:
ต่อไป เราจะนำเสนอผลลัพธ์ของการรวมนิพจน์ก่อนหน้าสำหรับวัตถุแข็งต่างๆ ที่มีรูปร่างปกติ เช่น วงแหวน ทรงกระบอก และทรงกลม และอื่น ๆ ในทุกกรณีที่อธิบายไว้ด้านล่าง ขนาดและมวลของเนื้อหาที่พิจารณาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ เพื่อแยกความแตกต่างจากตัวแปรการรวม
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของวงแหวนบางสม่ำเสมอรัศมี R รอบแกนกลาง
หนึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดเมื่อรวมสมการก่อนหน้านี้คือกรณีของวงแหวนที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางของสมมาตร รูปต่อไปนี้แสดงกรณีนี้
ในกรณีเฉพาะที่ความหนาของวงแหวนเล็กน้อยเมื่อเทียบกับรัศมี เราสามารถพิจารณาว่าเป็นมวลที่กระจายไปตามเส้นรอบวงโดยไม่มีความหนา เพื่อให้องค์ประกอบมวลทั้งหมดอยู่ในรัศมีเดียวกันเป็นหลัก ในกรณีนี้ R. จากเงื่อนไขเหล่านี้ รัศมีจะออกจากอินทิกรัล เหลือเพียงอินทิกรัลของมวลดิฟเฟอเรนเชียล dm ซึ่งก็คือมวลของวงแหวนเท่านั้น M ผลลัพธ์คือ:
ในนิพจน์นี้ CM บ่งชี้ว่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดศูนย์กลางมวล
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมทึบรัศมี R ที่หมุนรอบจุดศูนย์กลาง
ในกรณีของทรงกลมทึบรัศมี R และความหนาแน่นสม่ำเสมอ ซึ่งหมุนรอบเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ (แกนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง) เช่นที่แสดงด้านล่าง อินทิกรัลก่อนหน้าสามารถแก้ไขได้หลายวิธี ซึ่งได้แก่ ใช้ระบบพิกัดทรงกลม
ผลลัพธ์ของการรวมในกรณีนี้คือ:
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมรัศมีภายใน R 1และรัศมีภายนอก R 2รอบศูนย์กลาง
หากแทนที่จะเป็นทรงกลมตัน จะเป็นทรงกลมกลวงหรือทรงกลมที่มีผนังหนา เราต้องพิจารณารัศมีสองด้าน คือ รัศมีภายนอกและรัศมีภายใน สิ่งเหล่านี้แสดงในรูปต่อไปนี้
ในกรณีนี้ วิธีแก้ไขคือพิจารณาทรงกลมทรงกลมเป็นทรงกลมรัศมี R2 ซึ่งทรงกลมของวัสดุชนิดเดียวกันถูกนำออกจากจุดศูนย์กลางซึ่งมีรัศมีเป็น R1 หลังจากกำหนดมวลที่ทรงกลมขนาดใหญ่จะมีและมวลของทรงกลมขนาดเล็กที่ดึงออกมาผ่านความหนาแน่นของเปลือกเดิม ความเฉื่อยของทรงกลมทั้งสองจะถูกลบออกเพื่อให้ได้:
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของเปลือกทรงกลมบางที่มีรัศมี R รอบศูนย์กลาง
ในกรณีที่ความหนาของเปลือกทรงกลมนั้นเล็กน้อยเมื่อเทียบกับรัศมีของมัน หรือสิ่งที่เท่ากันคือ R 1เท่ากับ R 2เราสามารถคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยได้ราวกับว่ามันเป็นการกระจายพื้นผิวของมวล ทั้งหมดตั้งอยู่ที่ระยะ R จากจุดศูนย์กลาง
ในกรณีนี้ เรามีสองทางเลือก อย่างแรกคือการแก้อินทิกรัลตั้งแต่เริ่มต้น อย่างที่สองคือใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้าของเปลือกทรงกลมหนา และได้รับขีดจำกัดเมื่อ R1 มีแนวโน้มเป็น R2 ผลลัพธ์จะเป็นดังนี้:
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางๆ ยาว L รอบแกนตั้งฉากผ่านจุดศูนย์กลางมวล
โดยพื้นฐานแล้ว เมื่อเรามีแท่งบางๆ เราสามารถคิดว่ามันเป็นการกระจายเชิงเส้นของมวล โดยไม่คำนึงถึงรูปร่างของโปรไฟล์นั้น (กล่าวคือ ไม่ว่าจะเป็นแท่งทรงกระบอก สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปทรงอื่นๆ) ในกรณีเหล่านี้ สิ่งเดียวที่สำคัญคือแป้งจะกระจายอย่างสม่ำเสมอตลอดความยาวของแท่ง
ในกรณีนี้ โมเมนต์ความเฉื่อยแสดงเป็น:
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งบางๆ ยาว L รอบแกนตั้งฉากผ่านปลายด้านหนึ่ง
นี่เป็นกรณีเดียวกับด้านบน แต่ทั้งแท่งหมุนรอบแกนที่ตั้งฉากกับปลายด้านหนึ่ง:
เนื่องจากมวลของแท่งเหล็กโดยเฉลี่ยอยู่ห่างจากแกนการหมุนมากกว่า โมเมนต์ความเฉื่อยจึงมากกว่า อันที่จริงแล้ว มันมากกว่ากรณีก่อนหน้านี้ถึงสี่เท่า ดังที่แสดงโดยนิพจน์ต่อไปนี้:
โปรดทราบว่าในกรณีนี้ แกนไม่ได้ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ดังนั้นตัวห้อย CM ของสัญลักษณ์โมเมนต์ความเฉื่อยจึงถูกละไว้
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งทรงกระบอกทึบรัศมี R รอบแกนกลาง
กรณีนี้แก้ไขได้ด้วยวิธีง่ายๆ โดยใช้ระบบพิกัดทรงกระบอก และพิจารณาทรงกระบอกราวกับว่ามันถูกสร้างขึ้นจากเปลือกทรงกระบอกศูนย์กลางที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีรัศมีต่างกัน จากนั้นรัศมีจะถูกรวมเข้าด้วยกันจาก r = 0 ถึง r = R
ผลลัพธ์ของกระบวนการนี้คือสูตรสำหรับความเฉื่อยของแท่งทรงกระบอก ซึ่งก็คือ:
ควรสังเกตว่า เนื่องจากผลลัพธ์นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของทรงกระบอก จึงสามารถใช้นิพจน์เดียวกันนี้กับกรณีของดิสก์ทรงกลมได้
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมีภายใน R 1และรัศมีภายนอก R 2รอบแกนกลาง
กรณีนี้จะคล้ายกับของเปลือกทรงกลมหนา มันถูกนำไปใช้เมื่อความหนาของเปลือกหรือความแตกต่างระหว่างรัศมีภายนอกและภายในอยู่ในลำดับความสำคัญเดียวกันกับรัศมี ดังนั้นเราจึงไม่สามารถพิจารณาว่ามวลนั้นกระจุกตัวอยู่บนพื้นผิว ในทางตรงกันข้ามเราต้องพิจารณาว่าเป็นการกระจายมวลแบบสามมิติตามความหนาของเปลือก
ในกรณีของทรงกระบอกทรงกลมหนา โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมีวงในเท่ากับ R 1และรัศมีวงนอกเท่ากับ R 2สามารถหาได้โดยอินทิเกรตโดยตรง หรือโดยการลบโมเมนต์ความเฉื่อยออกจากทรงกระบอก โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตันที่มีความหนาแน่นเท่ากันกับเปลือกถูกถอนออกเมื่อเปิดรูตรงกลาง โดยใช้สูตรของส่วนก่อนหน้าสำหรับแต่ละความเฉื่อยทั้งสองนี้
ผลลัพธ์ของทั้งสองกลยุทธ์นี้เหมือนกันและแสดงไว้ด้านล่าง:
ในกรณีก่อนหน้านี้ เนื่องจากผลลัพธ์นี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของทรงกระบอก เราจึงสามารถใช้มันเพื่อคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของจานกลมที่มีรูตรงกลาง เช่น แหวนรองหรือ แผ่นบลูเรย์.
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของเปลือกทรงกระบอกบางที่มีรัศมี R รอบแกนกลาง
ในกรณีที่เรามีทรงกระบอกกลวงดังที่แสดงในรูปต่อไปนี้ ซึ่งความหนาของเปลือกทรงกระบอกมีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับรัศมีของทรงกระบอก เราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามวลจะกระจายอยู่บนพื้นผิวของรัศมี R เท่านั้น .
ในกรณีอื่นๆ เราสามารถทำการรวมโดยตรงโดยใช้ความหนาแน่นมวลของพื้นที่ หรือเราสามารถประเมินผลลัพธ์ของเปลือกทรงกระบอกหนาในขีดจำกัดที่ R1 มีแนวโน้มที่จะเป็น R2 ผลลัพธ์คือ:
เราทราบอีกครั้งว่าผลลัพธ์นี้ไม่ขึ้นกับความยาว ซึ่งหมายความว่าใช้กับห่วงแบบบางเท่าๆ กัน ในความเป็นจริง เราสามารถตรวจสอบได้ว่าเป็นผลเดียวกันกับที่ได้รับในส่วนที่เกี่ยวข้องกับวงแหวนบาง
สูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของแผ่นสี่เหลี่ยมปกติที่มีแกนตั้งฉากผ่านจุดศูนย์กลาง
สุดท้าย ให้พิจารณากรณีของแผ่นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่หมุนรอบแกนที่ตั้งฉากกับพื้นผิวใดๆ ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ดังที่แสดงด้านล่าง
ผลลัพธ์ของการรวมโดยตรงคือ:
ในกรณีก่อนหน้านี้ ผลลัพธ์นี้ไม่ขึ้นกับความสูงหรือความหนาของแผ่นเพลต ดังนั้นจึงใช้กับแผ่นกระดาษเท่าๆ กันกับบล็อกซีเมนต์ทึบ
อ้างอิง
ข่าน อคาเดมี่. (น). ความเฉื่อยในการหมุน (บทความ) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
วันคลาส (2563, 6 ตุลาคม). OneClass : เริ่มต้นด้วยสูตรสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของแท่ง https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
เซอร์เวย์, RA, Beichner, RJ และ Jewett, JW (1999) ฟิสิกส์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรด้วยฟิสิกส์สมัยใหม่: 2: ฉบับ เล่มที่ 1 (ฉบับที่ห้า) แมคกรอว์ ฮิลล์
แก้ไข (น). โมเมนต์ความเฉื่อยของเปลือกทรงกลมหนากลวง https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
