Tabla de Contenidos
ในวิชาคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะเป็นหนึ่งในหัวข้อทั่วไปเมื่อเรียนจำนวนเต็ม เนื่องจากจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์ แบบฝึกหัดที่น่าสนใจในการฝึกฝนคือการค้นหาความน่าจะเป็นที่จำนวนตั้งแต่ 1 ถึง X ที่เลือกโดยการสุ่มเป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะคืออะไร
จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่หารด้วย 1 และตัวมันเองลงตัว นั่นคือ จำนวนที่เป็นปัญหา ซึ่งหมายความว่าเมื่อหารด้วยจำนวนอื่น ผลลัพธ์จะไม่แสดงจำนวนเต็ม ก็ถือว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์เช่นกัน
จำนวนประกอบแตกต่างจากจำนวนเฉพาะ คือ จำนวนที่สามารถหารด้วย 1 ด้วยตัวเอง และด้วยจำนวนอื่นๆ
เลข 1 ไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ และไม่ใช่จำนวนประกอบ
จำนวนเฉพาะและตะแกรงเอราทอสเทเนส
เพื่อที่จะค้นหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดอย่างรวดเร็ว นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Eratosthenes (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ได้สร้างวิธีที่รวดเร็วในการหาจำนวนเฉพาะทั้งหมดให้ถึงจำนวนที่กำหนด วิธีนี้เรียกว่า “Eratosthenes sieve”
Eratosthenes Sieve เป็นอัลกอริธึมที่ช่วยให้ทราบจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนธรรมชาติที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ ตารางจะถูกสร้างขึ้นด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมดระหว่าง 2 และจำนวนที่เลือก (n) ในตัวอย่างนี้ n คือ 100
จากนั้น ตัวเลขที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะจะถูกขีดฆ่า ขั้นแรก ให้เริ่มด้วย 2 และขีดฆ่าผลคูณทั้งหมด เมื่อพบจำนวนที่ไม่มีการขีดคร่อม ผลคูณทั้งหมดจะถูกขีดฆ่า และอื่นๆ ขั้นตอนนี้จะสิ้นสุดลงเมื่อได้รับกำลังสองของตัวเลขถัดไปที่ยืนยันว่าเป็นจำนวนเฉพาะซึ่งมีค่ามากกว่า “n”
การใช้ Eratosthenes Sieve เราจะได้จำนวนเฉพาะ 25 จำนวนระหว่าง 0 ถึง 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
ตัวอย่างอื่นๆ ของจำนวนเฉพาะ
ตัวอย่างอื่นๆ ของจำนวนเฉพาะระหว่าง 100 ถึง 1,000 ได้แก่ 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997
ปัญหาจำนวนเฉพาะ
เช่นเดียวกับในวิชาคณิตศาสตร์เกือบทุกครั้ง วิธีที่ดีที่สุดในการทำความเข้าใจวิธีการคำนวณจำนวนเฉพาะคือการแก้ปัญหา ทีนี้มาดูปัญหาง่ายๆ ที่ต้องรู้ด้วยความน่าจะเป็นที่เราจะเลือกจำนวนเฉพาะได้อย่างไร
ขั้นแรก เราจะเลือกจำนวนเต็มบวกซึ่งอาจเป็น 1, 2, 3 เป็นต้น จนถึงจำนวน X ที่แน่นอน จากนั้นเราต้องสุ่มเลือกหนึ่งในจำนวนเหล่านี้ ซึ่งหมายความว่าตัวเลข X ทั้งหมดมีโอกาสที่จะถูกเลือก
วิธีแก้ปัญหานี้ง่ายสำหรับตัวเลข X ที่ต่ำ ปัญหาได้รับการแก้ไขโดยทำตามขั้นตอนเหล่านี้:
- ขั้นแรก:
- นับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ X
- ขั้นตอนที่สอง:
- หารจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ X ด้วยจำนวน X นั่นเอง นั่นคือหากเราต้องการทราบความน่าจะเป็นในการเลือกจำนวนเฉพาะจาก 1 ถึง 10 เราจะต้องหารจำนวนเฉพาะด้วย 10
ตัวอย่างเช่น ในการค้นหาความน่าจะเป็นที่เลือกจำนวนเฉพาะจาก 1 ถึง 10 เราต้องหารจำนวนเฉพาะด้วย 10 เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะ 4 ตัวตั้งแต่ 1 ถึง 10: 2, 3, 5, 7 ความน่าจะเป็นในการเลือก จำนวนเฉพาะคือ: 4/10 = 0.4 นั่นคือ 40%
ในทำนองเดียวกัน หากเราต้องการทราบว่าความน่าจะเป็นที่เลือกจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง 50 นั้นเป็นอย่างไร ก็สามารถดำเนินการตามขั้นตอนก่อนหน้านี้ได้ เรานับจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 50 ซึ่งก็คือ 15:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 และ 47 และเราหารจำนวนนี้ด้วย 50: 15/50 = 0.3 นั่นคือ 30% ดังนั้นจึงมีโอกาส 30% ที่จะเลือกหมายเลขเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง 50
ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะคืออะไร
อีกวิธีหนึ่งในการทราบจำนวนเฉพาะจนถึงจำนวนที่กำหนดและคำนวณความน่าจะเป็นที่ จะเลือกหนึ่งในนั้นก็คือการใช้ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ทฤษฎีบทนี้ประกาศโดย Gauss นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันในช่วงศตวรรษที่ 18 และเกือบหนึ่งศตวรรษให้หลังโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ เช่น Jacques Hadamard ชาวฝรั่งเศส และ Charles-Jean de la Vallée Poussin ชาวเบลเยียม
ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะระบุว่ามีจำนวนเฉพาะประมาณ X / ln(X) ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ X ในข้อความนี้:
- ln(X): เป็นลอการิทึมธรรมชาติของ X
- X: คือจำนวนที่เราต้องการทราบจำนวนเฉพาะ
เมื่อค่าของ X เพิ่มขึ้น ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ระหว่างจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า X และคำสั่ง X / In(X) จะลดลง
วิธีใช้ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ
ด้วยทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ เราสามารถแก้ปัญหาที่คล้ายกับก่อนหน้านี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเราต้องการทราบจำนวนเฉพาะในจำนวนที่มากขึ้น
จากทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ เราทราบว่ามีจำนวนเฉพาะ X/ln(X) โดยประมาณที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ X นอกจากนี้ยังมีจำนวนเต็มบวก X น้อยกว่าหรือเท่ากับ X ดังนั้น ความน่าจะเป็น จำนวนที่เลือกแบบสุ่มในช่วงนี้เป็นจำนวนเฉพาะคือ: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X)
ตัวอย่างเช่น เราสามารถใช้ผลลัพธ์นั้นในการคำนวณ ความน่าจะเป็นโดยประมาณของการสุ่มเลือกจำนวนเฉพาะจากจำนวนเต็มล้านแรก
ในการทำเช่นนี้เราต้องคำนวณลอการิทึมธรรมชาติของหนึ่งล้าน ดังนั้นเราจึงมี:
P(1,000,000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1,000,000) = 1 / ลิตร(1,000,000)
เราจะได้ ln(1,000,000) = 13.8155 และ 1 / ln(1,000,000) มีค่าประมาณ 0.07238 ดังนั้นเราจึงมีโอกาสประมาณ 7.238% ที่จะสุ่มเลือกจำนวนเฉพาะจากจำนวนเต็มล้านตัวแรก
บรรณานุกรม
- López Mateos, M. คณิตศาสตร์พื้นฐาน. (2560). สเปน. สร้างสเปซ
- ดีเค หนังสือคณิตศาสตร์ (2563). สเปน. ดีเค
- Gracian, E. จำนวนเฉพาะ: ทางยาวสู่อนันต์ (2553). สเปน. หนังสืออาร์บีเอ.