เหตุใดแฟกทอเรียลของศูนย์จึงเท่ากับหนึ่ง

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


แฟกทอเรียลของจำนวนเต็มบวกคือผลคูณของจำนวนเต็มทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับนั้น และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์!. ตัวอย่างเช่น แฟกทอเรียลของเลข 4 จะแสดงเป็น 4! และเท่ากับ 24:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แฟกทอเรียลของจำนวน 0 (นั่นคือ 0!) ถูกกำหนดให้มีค่าเท่ากับ 1 แม้ว่าค่านี้จะไม่ได้เกิดจากนิยามของแฟกทอเรียล ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเต็มที่ใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1 เท่านั้น เหตุใดแฟกทอเรียลของเลข 0 จึงกำหนดให้เป็น 1 หากมีกฎทางคณิตศาสตร์ที่ระบุว่าเลขใดๆ คูณด้วยศูนย์แล้วมีค่าเท่ากับศูนย์

นอกเหนือจากความสับสนที่อาจเกิดขึ้นในสถานการณ์นี้ ควรสังเกตว่าค่าของแฟกทอเรียลของจำนวน 0 เป็นคำจำกัดความ ; นั่นคือ ในทางคณิตศาสตร์นิยามว่า 0! = 1. มาดูพื้นฐานของคำนิยามนี้ด้านล่าง

คำจำกัดความของแฟกทอเรียลของจำนวน 0

อย่างที่เราได้กล่าวไปแล้ว สิ่งแรกที่ควรทราบคือการกำหนดค่า 1 ให้กับแฟกทอเรียลของจำนวน 0 (0! = 1) เป็นคำจำกัดความ แม้ว่าโดยหลักการแล้วสิ่งนี้จะไม่นำไปสู่คำอธิบายที่น่าพอใจหากเรามองเพียง ที่นิยามของแฟกทอเรียล

จำได้ว่าคำจำกัดความของแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มบวกคือผลคูณของจำนวนเต็มทั้งหมดที่เท่ากับหรือน้อยกว่า โปรดทราบว่าคำจำกัดความนี้ยังบอกเป็นนัยว่าแฟกทอเรียลเกี่ยวข้องกับชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขที่น้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนที่เรากำลังพิจารณา

เลข 0 ไม่มีจำนวนเต็มบวกใดน้อยกว่าจำนวนเต็ม แต่ก็ยังเป็นตัวเลขอยู่ และมีเพียงชุดเดียวที่เป็นไปได้ของชุดตัวเลขนี้ที่ประกอบขึ้นจากเลข 0 เท่านั้น ชุดค่าผสมนั้นเป็นหนึ่ง เช่นเดียวกับในกรณีของจำนวน 1.

เพื่อให้เข้าใจความหมายทางคณิตศาสตร์ของคำนิยามนี้ได้ดีขึ้น จะต้องคำนึงถึงว่าแนวคิดแฟกทอเรียลยังเกี่ยวข้องกับข้อมูลอื่นๆ ที่มีอยู่ในตัวเลข โดยเฉพาะอย่างยิ่งการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ของปัจจัยต่างๆ แม้แต่ในเซตว่างที่แทนด้วยเลข 0 ก็คิดได้ว่ามีวิธีสั่งเซตนี้

การเรียงสับเปลี่ยนและแฟกทอเรียล

แนวคิดของแฟกทอเรียลใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า combinatorics ซึ่งเป็นระเบียบวินัยที่นิยามแนวคิดของการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบ การเรียงสับเปลี่ยนคือลำดับที่เฉพาะเจาะจงและไม่ซ้ำกันขององค์ประกอบที่ประกอบกันเป็นชุดหนึ่งๆ ตัวอย่างเช่น มีวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้หกแบบของเซต {1, 2, 3} ซึ่งมีองค์ประกอบ 3 รายการ เนื่องจากเราสามารถเขียนองค์ประกอบเหล่านี้ได้ 6 วิธีต่อไปนี้:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

เรายังสามารถแสดงแนวคิดนี้ผ่านนิพจน์แฟคทอเรียลของสาม, 3! = 6 ซึ่งทำให้เราสามารถคำนวณชุดการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดของกลุ่ม 3 องค์ประกอบได้ ในทำนองเดียวกัน มีการเรียงสับเปลี่ยน 24 แบบ (4!=24) ของเซตที่มีสี่องค์ประกอบ และ 120 วิธีที่เป็นไปได้ที่จะเรียงสับเปลี่ยน (5!=120) ของเซตที่มี 5 องค์ประกอบ ดังนั้น อีกทางเลือกหนึ่งในการคิดเกี่ยวกับแนวคิดของแฟกทอเรียลคือการละทิ้งความคิดที่ว่าเกี่ยวข้องกับจำนวนธรรมชาติn  และคิดว่า  n ! คือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของเซตที่ประกอบด้วย   สมาชิกn ตัว

มาดูตัวอย่างการพิจารณาแนวคิดใหม่ของแฟกทอเรียลของจำนวน เซตที่ประกอบด้วยสองอิลิเมนต์มีการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้สองแบบ: {a, b} สามารถเรียงลำดับเป็น (a, b) หรือเป็น (b, a) สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับคำจำกัดความของแฟกทอเรียลของจำนวน 2; 2! = 2. เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกตัวเดียว {a} มีวิธีเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียว และเชื่อมโยงกับนิยามของแฟกทอเรียลของจำนวน 1 1! = 1.

ให้เรากลับมาที่กรณีของแฟกทอเรียลของ 0 เซตที่อินทิเกรตด้วยองค์ประกอบที่เป็นศูนย์เรียกว่าเซตว่าง ในการหาค่าของแฟกทอเรียลของ 0 เราสามารถถามตัวเองว่า เราสามารถเรียงลำดับเซตที่ไม่มีสมาชิกได้กี่วิธี และในขณะที่คำตอบหนึ่งอาจเป็นเซตว่างที่ไม่มีอะไรจะสั่ง เรายังมีทางเลือกอื่นที่แม้จะว่างเปล่าก็คือเซต ดังนั้นคำตอบอาจเป็น 1 และ 0 ก็ได้! = 1.

การประยุกต์ใช้แฟกทอเรียลอื่นๆ

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้ว แนวคิดแฟกทอเรียลใช้ในโปรแกรมเชิงผสม และเครื่องมือทางคณิตศาสตร์นี้ใช้ในการคำนวณในสูตรที่แสดงการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกลุ่มองค์ประกอบต่างๆ แม้ว่าแอ็พพลิเคชันเหล่านี้ไม่ได้ให้เหตุผลโดยตรงสำหรับการกำหนด 1 ให้กับแฟกทอเรียลของเลข 0 แต่ก็สามารถเข้าใจได้ว่าเหตุใดจึงมีการกำหนดในลักษณะนี้

แนวคิดของการรวมกันของกลุ่มองค์ประกอบหมายถึงจำนวนของกลุ่มย่อยที่สามารถรับได้โดยไม่คำนึงถึงลำดับที่พิจารณา ตัวอย่างเช่น ชุด {1, 2, 3} มีการรวมเพียงครั้งเดียวหากใช้สามองค์ประกอบ โดยไม่คำนึงถึงลำดับ แต่ถ้าเราหาค่าเหล่านี้ด้วยสององค์ประกอบ เราจะได้ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้สามชุด ได้แก่ {1, 3}, {2, 3} และ {1, 2} เช่นเดียวกับที่เราหาค่าเหล่านี้ด้วยองค์ประกอบเดียว {1}, {2} และ {3} สูตรทั่วไปในการคำนวณจำนวนของชุดค่าผสมที่ไม่มีชุดค่า ผสม n ซ้ำ ในกลุ่มย่อยของ องค์ประกอบ pคือC  ( n , p ) = n !/ p !( n– พี) !.

หากเราใช้สูตรนี้เพื่อกำหนดจำนวนรวมขององค์ประกอบสามตัวที่ได้สาม เราจะเห็นว่าผลลัพธ์ต้องเป็น 1 ซึ่งแสดงด้วย  C  (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0! ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนด 0! = 1 สำหรับนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม

ในทำนองเดียวกัน มีสถานการณ์อื่นที่ทำให้จำเป็นต้องกำหนดแฟกทอเรียลของจำนวน 0 เป็น 1, 0! = 1 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของแนวคิดทั่วไปในการพัฒนาคณิตศาสตร์ที่บ่งชี้ว่าเมื่อมีการสร้างแนวคิดใหม่และนิยามใหม่เข้าด้วยกัน จะต้องเข้ากันได้กับโครงสร้างที่มีอยู่ก่อน

บรรณานุกรม

ศูนย์แฟคทอเรียลหรือ 0!. คาน อคาเดมี

มีแฟคทอเรียลของ 0 หรือไม่? ช่องYouTube Drifting

-โฆษณา-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados