สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


สัจพจน์คือชุดของถ้อยแถลงที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นความจริงโดยไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ และอิงตามทฤษฎีและทฤษฎีบทวิทยาศาสตร์ทั้งหมด ดังนั้นสัจพจน์ของความน่าจะเป็น จึงเป็นข้อความพื้นฐานที่มีพื้นฐานมาจากทฤษฎีความน่าจะเป็น พวกเขาเป็นตัวแทนของกรอบอ้างอิงขั้นสุดท้ายที่ทฤษฎีบทที่มีอยู่ทั้งหมดในทฤษฎีความน่าจะเป็นควรอ้างอิงอย่างมีเหตุผล พวกเขาตั้งสมมุติฐานโดยนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Andrey Nikolaevich Kolmogorov ในปี 1933 และมาจากสามัญสำนึกเท่านั้น

จุดประสงค์ของสัจพจน์ของความน่าจะเป็นคือการทำให้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นเป็นทางการเพื่อให้แน่ใจว่าค่าตัวเลขที่เรากำหนดให้กับความน่าจะเป็นของสิ่งที่เกิดขึ้นนั้นสอดคล้องกับแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นของเรา

คำจำกัดความเบื้องต้น

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีพื้นฐานอยู่บนสัจพจน์เพียงสามข้อแต่ก่อนที่จะลงรายละเอียด จำเป็นต้องสร้างคำจำกัดความพื้นฐานบางอย่าง รวมถึงข้อตกลงบางประการเกี่ยวกับสัญลักษณ์ที่ใช้ในความน่าจะเป็น:

  • การทดลอง. เป็นการกระทำหรือกระบวนการใด ๆ ที่ก่อให้เกิดผลลัพธ์หรือการสังเกต ตัวอย่างเช่น การโยนเหรียญเป็นการทดลอง (กระบวนการหรือการกระทำ) ที่สามารถออกหัวหรือออกก้อยได้
  • พื้นที่ตัวอย่าง ( S ) หมายถึงชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองและแสดงด้วยสัญลักษณ์S ในตัวอย่างการโยนเหรียญด้านบน พื้นที่ตัวอย่างประกอบด้วยชุดของผลลัพธ์เพียงสองชุด: S ={heads, tails}
  • เหตุการณ์ ( อี ) เหตุการณ์เป็นส่วนย่อยของพื้นที่ตัวอย่าง นั่นคือ จำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของการทดสอบ โดยปกติแล้วเหตุการณ์จะถูกระบุด้วยอักษรตัวใหญ่และตัวห้อย (เช่น E 1 , E 2 , E 3เป็นต้น) หรือด้วยตัวอักษรอื่น (A, B, C, …) ตัวอย่างเช่น การโผล่หัวขึ้นมาเมื่อโยนเหรียญเป็นเหตุการณ์หนึ่ง ก้อยขึ้นมาเป็นเหตุการณ์ที่แตกต่างกัน
  • ความน่าจะเป็น ( P ):เป็นค่าตัวเลขที่กำหนดให้กับเหตุการณ์หนึ่งๆ และบ่งชี้ถึงระดับความเชื่อมั่นที่มีเกี่ยวกับการเกิดขึ้น ตามกฎทั่วไป ยิ่งคุณแน่ใจว่าเหตุการณ์ (เช่น E 1 ) จะเกิดขึ้นมากเท่าใด ค่าความน่าจะเป็นที่คุณกำหนดให้กับเหตุการณ์นั้นก็ยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น

ชุด

นอกเหนือจากคำจำกัดความเหล่านี้ ยังมีประโยชน์ในการจดจำการดำเนินการบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับเซต การตัดกันระหว่างสองชุดทำให้เกิดชุดใหม่ที่มีองค์ประกอบเหมือนกันทั้งสองชุด ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์และอ่านว่า “และ” ในทางกลับกัน การรวมกันระหว่างสองชุดคือชุดใหม่ที่มีองค์ประกอบร่วมและไม่ธรรมดาของทั้งสองชุด มันถูกแทนด้วยสัญลักษณ์และอ่านว่า “หรือ”

ตัวอย่าง:

  • นิพจน์P(E 1 E 2 )อ่านว่า “ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์E 1 และเหตุการณ์E 2 เกิดขึ้น พร้อมกัน”
  • นิพจน์P(E 1E 2 )อ่านว่า “ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์E 1 หรือเหตุการณ์E 2

สัจพจน์ที่ 1 ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นข้อแรกกล่าวว่า จากการทดลอง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ ที่เกิดขึ้น (E) ต้องเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ สิ่งนี้แสดงอย่างเป็นทางการเป็น:

สัจพจน์แรกของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ที่ 1 แสดงถึงแนวคิดโดยสัญชาตญาณว่าการพูดถึงความน่าจะเป็นเชิงลบนั้นไม่มีความหมาย นอกจากนี้ยังกำหนดความน่าจะเป็นเป็นศูนย์เป็นขอบเขตล่าง ซึ่งกำหนดให้กับเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ ส่วนหลังถูกกำหนดอย่างเป็นทางการว่าเป็นผลใด ๆ (หรือชุดของผลลัพธ์) ที่ไม่มีอยู่ในพื้นที่ตัวอย่างของการทดลอง

ตัวอย่าง:

เมื่อทอยลูกเต๋าเพียงครั้งเดียว พื้นที่สุ่มตัวอย่างจะเกิดขึ้นจากชุด S={1, 2, 3, 4, 5, 6} เท่านั้น สัจพจน์ข้อแรกระบุว่าความน่าจะเป็นที่จะได้ผลลัพธ์ใดๆ (เช่น 4) ต้องเป็นตัวเลขที่มากกว่าศูนย์ ( P(4)>0 ) ในทางกลับกัน ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์คือ 7 ซึ่งไม่ใช่ส่วนหนึ่งของแซมเปิลสเปซ จะเป็นศูนย์ ( P(7)=0 )

โปรดทราบว่าสัจพจน์ข้อแรกไม่ได้ระบุขนาดของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ นั่นคือ ไม่ได้ระบุว่าความน่าจะเป็นที่การม้วนของแม่พิมพ์จะส่งผลให้เกิดเช่น 4 นั้นระบุเพียงว่าต้องเป็น จำนวนบวก . .

สัจพจน์ 2 ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ความน่าจะเป็นข้อที่สองกล่าวว่า สำหรับการทดลองทุกครั้งความน่าจะเป็นของพื้นที่ตัวอย่างคือ 1หรืออย่างเป็นทางการ:

สัจพจน์ที่สองของความน่าจะเป็น

วิธีง่ายๆ ในการทำความเข้าใจสัจพจน์ 2 คือ ความน่าจะเป็นที่ผลลัพธ์บางอย่าง ไม่ว่าจะเป็นอะไรก็ตาม จะได้รับในการทดลองคือ 1

ตัวอย่าง:

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น เมื่อโยนเหรียญ มีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: ออกหัวหรือก้อย ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหรียญจะออกหัวหรือก้อยตามสัจพจน์ 2 คือ 1

ถ้าสัจพจน์แรกกำหนดขอบเขตล่างของความน่าจะเป็นเป็นศูนย์ สัจพจน์ที่สองจะกำหนดขอบเขตบนเป็น 1 ทั้งนี้เนื่องจากพื้นที่ตัวอย่างเป็นเหตุการณ์บางอย่าง และความน่าจะเป็นจึงต้องเป็นความน่าจะเป็นสูงสุดที่เป็นไปได้

สัจพจน์ 3 ของความน่าจะเป็น

ถ้าเหตุการณ์ E 1 , E 2 , …, E nไม่มีผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (จุดตัดของพวกมันคือเซตว่าง) จะถือว่าเหตุการณ์นั้นไม่เกิดร่วมกัน เนื่องจากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์หนึ่งไม่รวมการเกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง สัจพจน์ข้อที่สามระบุว่าความ น่าจะเป็นแบบ ยูเนี่ยนของเหตุการณ์พิเศษร่วมกันจะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง:

สัจพจน์ที่สามของความน่าจะเป็น

สำหรับกรณีที่ง่ายที่สุดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันเพียงสองเหตุการณ์เท่านั้น (เช่น ในกรณีของการโยนเหรียญ) สัจพจน์ 3 มีสูตรดังต่อไปนี้:

สัจพจน์ที่สามของความน่าจะเป็นลดความซับซ้อนลง

สัจพจน์นี้ทำให้แนวคิดที่ว่ายิ่งมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากเท่าไรต่อเหตุการณ์หนึ่งๆ ก็ยิ่งมีความเป็นไปได้มากขึ้นเท่านั้น สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการรวมตัวกันของสองเหตุการณ์ที่พิเศษร่วมกันต้องประกอบด้วยผลรวมของผลลัพธ์ทั้งหมดในทั้งสองเหตุการณ์

การประยุกต์ใช้สัจพจน์

นอกจากตัวอย่างข้างต้นแล้ว สัจพจน์ทั้งสามยังสามารถใช้ในการสร้างและพิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีประโยชน์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ตัวอย่างง่ายๆ คือ การกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ และส่วนประกอบของเหตุการณ์นั้น

ถ้าEเป็นเหตุการณ์ใดๆ ส่วนเติมเต็มของมัน (แสดงโดยE c ) ถูกกำหนดให้เป็นเหตุการณ์ที่มีสิ่งใดเกิดขึ้นนอกจากE หรือสิ่งที่มาจากสิ่งเดียวกันนั้นE จะไม่เกิดขึ้น คำจำกัดความนี้มีผลสองประการ:

  • EและEcนั้นไม่เกิดร่วมกัน
  • การรวมกันระหว่างE และE cส่งผลให้แซมเปิลสเปซS ( EE c = S )

เนื่องจากพวกมันไม่เกิดร่วมกัน ตามสัจพจน์ที่สามเราจึงมีสิ่งนั้น

การประยุกต์ใช้สัจพจน์ความน่าจะเป็นข้อที่สาม

แต่เนื่องจากการรวมกันนี้ส่งผลให้Sแล้ว

การประยุกต์ใช้สัจพจน์ความน่าจะเป็นข้อที่สาม

ตอนนี้ใช้สัจพจน์ที่สองสิ่งนี้จะกลายเป็น

การประยุกต์ใช้สัจพจน์ความน่าจะเป็นข้อที่สอง

ซึ่งจัดเรียงใหม่เป็น

ข้อสรุปของการประยุกต์ใช้สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ในที่สุด เนื่องจากเราทราบจากสัจพจน์แรกว่าP(E c )ต้องเป็นปริมาณที่ไม่ติดลบ เราจึงสรุปว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ใดๆ จะเกิดขึ้นจะเท่ากับ 1 ลบความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์จะไม่เกิดขึ้นเสมอ และ ความน่าจะเป็นใด ๆ ในสองค่านั้นจะต้องมีค่าอยู่ในช่วง [0, 1]

แหล่งที่มา

เดโวน, JL (1998) ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์ (ฉบับที่ 4) สำนักพิมพ์ทอมสันนานาชาติ

-โฆษณา-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados