ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.

Tabla de Contenidos


ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็นหนึ่งในพารามิเตอร์ประชากรที่สำคัญที่สุดสำหรับการวัดความแปรปรวนหรือการกระจายของข้อมูลภายในประชากร เช่นเดียวกับพารามิเตอร์ใดๆ ในสถิติ มันถูกแทนด้วยตัวอักษรกรีก ในกรณีนี้คือตัวอักษร σ (ซิกมา) ซึ่งช่วยให้แยกแยะได้ง่ายจากส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ซึ่งแม้ว่าจะคล้ายกัน แต่ก็ไม่เหมือนกันและไม่ได้คำนวณด้วยสูตรเดียวกัน

ต่อไป เราจะเห็นวิธีต่างๆ ในการ คำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรโดยใช้ตัวอย่าง ควรสังเกตว่า ในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของประชากร จำเป็นต้องทราบข้อมูลประชากรทั้งหมด สิ่งนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้นในบริบทจริง แต่ก็ยังมีความสำคัญที่จะต้องเข้าใจวิธีการคำนวณ เนื่องจากจะช่วยให้เข้าใจคุณลักษณะทางคณิตศาสตร์บางประการของพารามิเตอร์ที่สำคัญนี้

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขึ้นอยู่กับข้อมูลที่มีอยู่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรที่แตกต่างกันสามสูตร

ความหมายทางคณิตศาสตร์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของความแปรปรวนσ 2 นั่นคือ ถ้าเราทราบความแปรปรวนของประชากร เราจะสามารถคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้สมการต่อไปนี้

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

กรณีนี้ไม่ค่อยเกิดขึ้น แต่ควรระลึกไว้เสมอ

สูตรค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรอื่นๆ

ถ้าแทนที่จะรู้ความแปรปรวนของประชากรเรารู้รายการข้อมูล N ทั้งหมดที่ประกอบกัน จากนั้นเราจะสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเป็นรากที่สองของค่าเฉลี่ยของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองจากค่าเฉลี่ย กล่าวคือ:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในสมการนี้ x iแทนค่าของแต่ละรายการข้อมูลในประชากร N แทนจำนวนรายการข้อมูลในประชากร (หรือขนาดของประชากร ซึ่งเท่ากัน) และ μ คือค่าเฉลี่ยประชากร โปรดทราบว่าค่าเฉลี่ยของประชากรยังแสดงด้วยตัวอักษรกรีกเนื่องจากเป็นพารามิเตอร์ของประชากรอีกตัวหนึ่ง และขนาดของประชากรจะแสดงด้วย N (อักษรตัวใหญ่) เพื่อแยกความแตกต่างจาก n ที่มักจะเกี่ยวข้องกับขนาดของตัวอย่าง

ค่าเฉลี่ยประชากร μ กำหนดโดย:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

สมการ 2 สามารถขยาย จัดเรียงใหม่ และทำให้ง่ายขึ้นเพื่อให้ได้:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในกรณีที่ไม่มีข้อมูลรายบุคคลของประชากร แต่ข้อมูลถูกจัดกลุ่มในตารางความถี่ สูตรก่อนหน้านี้จะแก้ไขเล็กน้อยเพื่อให้:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในสมการข้างต้น ปริมาณที่อยู่ในรากนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าความแปรปรวนของประชากร สมการที่ 4 มีข้อดีตรงที่ถูกกำหนดขึ้นเฉพาะในแง่ของข้อมูลประชากรเท่านั้น และไม่ใช่พารามิเตอร์ประชากรบางตัวเช่นในกรณีของสมการที่ 2 และ 5

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

สมมติว่าเราต้องการกำหนดความแปรปรวนของน้ำหนักของรถยนต์รุ่นใดรุ่นหนึ่ง ซึ่งมีเพียง 20 ตัวอย่างเท่านั้นที่ทราบทั่วโลก ข้อมูลของน้ำหนักเป็นกิโลกรัมของรถยนต์ทั้ง 20 คันนี้แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

410 408 408 405 391 390 402 397 397 395
390 404 397 394 399 397 405 408 410 400

เนื่องจากเราทราบดีว่ามีรถรุ่นนี้เพียง 20 คัน ซึ่งรถเหล่านี้เป็นตัวแทนของประชากรทั้งหมด ดังนั้นเราจึงมีข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็นในการระบุค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ลองดูสามวิธีที่แตกต่างกันในการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน นี้

วิธีที่ 1: การคำนวณตามนิยามของความแปรปรวน

วิธีนี้ขึ้นอยู่กับการใช้สมการ 2 ที่นำเสนอข้างต้น อย่างที่เราเห็น สมการนี้ต้องใช้ค่าเฉลี่ยประชากรและชุดการคำนวณอื่นที่มีรายละเอียดด้านล่าง:

ขั้นตอนที่ 1: กำหนดค่าเฉลี่ยของประชากร

ค่าเฉลี่ยประชากรหรือ μ คำนวณโดยใช้สมการ 3 โดยบวกข้อมูลทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด ซึ่งในกรณีนี้คือ 20

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณส่วนเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย

ขั้นตอนนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณการลบ (x i – μ) ตัวอย่างเช่น:

x 1 – μ = 410 – 400.35กก. = 9.65กก

x 2 – μ = 408 – 400.35กก. = 7.65กก

x 3 – μ = 408 – 400.35กก. = 7.65กก

X 20 – μ = 400 กก. – 400.35 กก. = – 0.35

ผลลัพธ์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

x ฉัน x ผม – μ
410 9.65 น
408 7.65
408 7.65
405 4.65
391 -9.35 น
390 -10.35 น
402 1.65
397 -3.35
397 -3.35
395 -5.35 น
390 -10.35 น
404 3.65
397 -3.35
394 -6.35 น
399 -1.35 น
397 -3.35
405 4.65
408 7.65
410 9.65 น
400 -0.35

ขั้นตอนที่ 3: ยกกำลังสองส่วนเบี่ยงเบนทั้งหมดจากค่าเฉลี่ย

(x 1 – μ) 2 = (9.65) 2 = 93.1225 กก. 2

(x 2 – μ) 2 = (7.65) 2 = 58.5225 กก. 2

(x 3 – μ) 2 = (7.65) 2 = 58.5225 กก. 2

(x 20 – μ) 2 = (– 0.35) 2 = 0.1225 กก. 2

ผลลัพธ์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

xi /กก (x i – μ)/ กก (x i – μ ) 2 / กก. 2
410 9.65 น 93.1225
408 7.65 58.5225
408 7.65 58.5225
405 4.65 21.6225
391 -9.35 น 87.4225
390 -10.35 น 107.1225
402 1.65 2.7225
397 -3.35 11.2225
397 -3.35 11.2225
395 -5.35 น 28.6225
390 -10.35 น 107.1225
404 3.65 13.3225
397 -3.35 11.2225
394 -6.35 น 40.3225
399 -1.35 น 1.8225
397 -3.35 11.2225
405 4.65 21.6225
408 7.65 58.5225
410 9.65 น 93.1225
400 -0.35 0.1225

ขั้นตอนที่ 4: รวมส่วนเบี่ยงเบนกำลังสองทั้งหมด

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขั้นตอนที่ 5: ใช้สูตรสมการ 2

ตอนนี้เรามีผลรวมนี้แล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการแทนที่ค่านี้ เช่นเดียวกับจำนวนข้อมูล ซึ่งก็คือ 20 ในสมการ 2:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ดังนั้นเราจึงได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ำหนักของประชากร 20 คันโดยประมาณ 6.5กก.

วิธีที่ 2: การใช้สมการที่จัดเรียงใหม่

ตอนนี้เราจะทำการคำนวณแบบเดียวกัน แต่ใช้สมการ 4 ซึ่งเทียบเท่ากับสมการที่เราเพิ่งใช้ไป แต่ใช้งานได้จริงมากกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณทำงานกับข้อมูลจำนวนมากขึ้น ประโยชน์หลักคือไม่จำเป็นต้องคำนวณพารามิเตอร์เพิ่มเติม (ค่าเฉลี่ยของประชากร) เพื่อให้สามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนได้ แต่ทุกอย่างจะคำนวณตามข้อมูลต้นฉบับของแต่ละคน นอกจากนี้ คุณไม่จำเป็นต้องทำงานกับจำนวนลบซึ่งเป็นสาเหตุสำคัญของข้อผิดพลาดในหมู่นักเรียน

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณกำลังสองของข้อมูลแต่ละตัว

นั่นคือมีการคำนวณต่อไปนี้:

(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168,100 กก. 2

(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166.464 กก. 2

(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166.464 กก. 2

(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160,000 กก. 2

ผลลัพธ์แสดงไว้ในตารางต่อไปนี้:

x ฉัน x ฉัน2
410 168,100
408 166,464
408 166,464
405 164,025
391 152,881
390 152,100
402 161,604
397 157,609
397 157,609
395 156,025
390 152,100
404 163,216
397 157,609
394 155,236
399 159,201
397 157,609
405 164,025
408 166,464
410 168,100
400 160,000

ขั้นตอนที่ 2: เพิ่มข้อมูลส่วนตัวทั้งหมด

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขั้นตอนที่ 3: เพิ่มสี่เหลี่ยมทั้งหมด

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขั้นตอนที่ 4: ใช้สูตรสมการ 4

ขั้นตอนสุดท้ายคือการแนะนำค่าทั้งสองนี้และจำนวนข้อมูลในสมการ 4 เพื่อให้ได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

วิธีที่ 3: การใช้สเปรดชีต

สเปรดชีต เช่น Microsoft Excel, Apple Numbers หรือ Google ชีต รวมถึงฟังก์ชันพื้นฐานในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยตรง (ทั้งกลุ่มตัวอย่างและประชากร) ฟังก์ชันเหล่านี้ใช้ชุดข้อมูลเป็นอาร์กิวเมนต์และดำเนินการคำนวณทั้งหมดที่แสดงในวิธีก่อนหน้าเพื่อส่งคืนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยตรงในเซลล์ที่ป้อนสูตร

ขั้นตอนต่อไป:

ขั้นตอนที่ 1: ป้อนข้อมูลในสเปรดชีต

เราสามารถป้อนข้อมูลในรูปแบบของคอลัมน์ แถว หรือเมทริกซ์ที่ใดก็ได้ในสเปรดชีต ภาพหน้าจอต่อไปนี้แสดงลักษณะของข้อมูลสำหรับปัญหานี้ใน Excel 2016

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ขั้นตอนที่ 2: ใช้สูตรเพื่อคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เมื่อเพิ่มข้อมูลแล้ว เราจะใช้ฟังก์ชันส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน วางเซลล์ที่พบข้อมูลเป็นอาร์กิวเมนต์

ในการเรียกใช้ฟังก์ชันในสเปรดชีต เรามักจะเริ่มต้นด้วยการพิมพ์เครื่องหมายเท่ากับ (=) ตามด้วยชื่อฟังก์ชันที่เราต้องการใช้ ชื่อจะเปลี่ยนไปเล็กน้อยจากแอปพลิเคชันหนึ่งไปยังอีกแอปพลิเคชันหนึ่ง และในบางกรณีก็เปลี่ยนไปตามภาษาที่คุณใช้งานด้วย

ในกรณีของ Excel (เวอร์ชันภาษาสเปน) ฟังก์ชันที่ใช้คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเรียกว่า STDEV.P ในขณะที่ Google ชีตจะเป็น STDEVP (ไม่มีจุด) จากนั้นคุณต้องป้อนอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันระหว่างวงเล็บ ในตัวอย่างของเรา เราส่งผ่านช่วงของเซลล์ที่มีข้อมูลอยู่เป็นอาร์กิวเมนต์ (ตั้งแต่เซลล์ A3 ถึง J4)

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

เมื่อกด ENTER โปรแกรมจะเรียกใช้ฟังก์ชันและคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร โดยแสดงผลในเซลล์ที่เกี่ยวข้อง ดังที่แสดงด้านล่าง:

ตัวอย่างการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ดังที่เราเห็น วิธีใดวิธีหนึ่งในสามวิธีที่ปฏิบัติในที่นี้ให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน ต่างกันแค่วิธีทำสิ่งเดียวกัน

วิธีการอื่นๆ

นอกจากสามวิธีที่กล่าวข้างต้นแล้ว เครื่องคำนวณทางวิทยาศาสตร์และการเงินมักมีฟังก์ชันในการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล ไม่ว่าจะเป็นกลุ่มตัวอย่างหรือประชากร วิธีการป้อนข้อมูลและผลลัพธ์ที่ได้จะแตกต่างกันไปตามผู้ผลิตแต่ละราย และแม้กระทั่งจากเครื่องคิดเลขรุ่นหนึ่งไปยังอีกรุ่นหนึ่ง ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงขั้นตอนเฉพาะสำหรับการดำเนินการดังกล่าวที่นี่

แต่เราจะพูดถึงขั้นตอนทั่วไปที่สำคัญที่สุดโดยไม่เจาะลึกลงไป ใครก็ตามที่ต้องการใช้ฟังก์ชันนี้กับเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ควรดูคู่มือผู้ใช้ที่มาพร้อมกับเครื่องคิดเลขหรือค้นหาทางออนไลน์เพื่อกำหนดคีย์ผสมเฉพาะในแต่ละกรณี

ขั้นตอนที่ 1: ล้างหน่วยความจำ

ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง ข้อมูลที่เก็บไว้ก่อนหน้านี้ไม่สามารถมองเห็นได้ หากเราป้อนข้อมูลเกี่ยวกับผู้อื่นที่เก็บไว้โดยไม่รู้ตัว เครื่องคิดเลขจะให้ผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้อง เพื่อให้แน่ใจว่าสิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้น ขอแนะนำให้ล้างหน่วยความจำของเครื่องคิดเลขทั้งหมด (หรืออย่างน้อยโหมดการวิเคราะห์ทางสถิติ) ก่อนที่จะเริ่มป้อนข้อมูลใหม่

ขั้นตอนที่ 2: เข้าถึงโหมดสถิติ

ฟังก์ชันในการคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นส่วนหนึ่งของโหมด “สถิติ” “สถิติ” หรือเรียกง่ายๆ ว่า “S” ในเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่ ดังนั้นเราต้องเริ่มต้นด้วยการเข้าสู่โหมดการทำงานนี้

ขั้นตอนที่ 3: ป้อนข้อมูล

ซึ่งแตกต่างจากเครื่องคิดเลขเครื่องหนึ่งไปยังอีกเครื่องหนึ่ง ในบางกรณี สามารถเพิ่มข้อมูลในรูปแบบตารางได้ ในขณะที่ข้อมูลอื่นๆ จะถูกป้อนทีละรายการหลังจากกดปุ่ม DT (หรือ DAT) สิ่งสำคัญคือต้องตรวจสอบจำนวนข้อมูลที่ป้อนเมื่อสิ้นสุดขั้นตอนนี้เพื่อให้แน่ใจว่าไม่มีข้อมูลใดหายไป

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

เมื่อป้อนข้อมูลแล้ว สิ่งที่เหลืออยู่คือการถามเครื่องคิดเลขถึงผลลัพธ์ที่เราต้องการ ในเครื่องคิดเลขหลายเครื่อง ทั้งตัวอย่างและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ σ (แม้ว่านี่จะเป็นข้อผิดพลาดในกรณีของการเบี่ยงเบนตัวอย่าง) อย่างไรก็ตาม เราสามารถแยกความแตกต่างของค่าเบี่ยงเบนตัวอย่างออกจากค่าเบี่ยงเบนของประชากรได้ เนื่องจากค่าเบี่ยงเบนของตัวอย่างมาพร้อมกับ n-1 (นั่นคือ จะปรากฏเป็น σ n -1 ) ในขณะที่ค่าเบี่ยงเบนของประชากรปรากฏเป็น s n นี่หมายถึงความจริงที่ว่าในการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างนั้นหารด้วย n-1 แทนที่จะเป็น n เช่นเดียวกับในประชากร

อ้างอิง

เดเวอร์, JL (2019). ความน่าจะเป็นและสถิติ ( ฉบับ ที่ 1 ) การเรียนรู้ Cengage

เมทโมบายล์. (2021, 1 มกราคม). ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสำหรับข้อมูลที่ซ้อนกัน | มือถือ . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

การสนับสนุนด้านเทคนิคของ Google (น). STDEV (STDEV) – ความช่วยเหลือของ Google Docs Editor Google – ความช่วยเหลือของ Google Docs Editor https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=th-419

ซุปเปอร์โปร (น). ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน . พจนานุกรมคณิตศาสตร์ | ซุปเปอร์โปร https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.ดิจิตอล. (น). ส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐานสำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo

-โฆษณา-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados