ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสามชุดขึ้นไป

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


ในทางสถิติ เป็นเรื่องปกติมากที่จะเผชิญกับสถานการณ์ที่คุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น เจ้าของร้านขนมอาจสนใจที่จะพิจารณาว่าเด็กคนต่อไปที่เข้ามาในร้านจะซื้อช็อกโกแลตแท่งหรือช็อกโกแลตนม ในกรณีนี้ เราต้องการระบุความน่าจะเป็นของหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งตามทฤษฎีเซตแล้ว คือความน่าจะเป็นแบบรวมของทั้งสองเหตุการณ์ หรือ P(AUB)

ในกรณีที่อธิบายไว้ การคำนวณความน่าจะเป็นนี้ประกอบด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นแต่ละรายการ ลบด้วยความน่าจะเป็นของจุดตัดระหว่างทั้งสองเหตุการณ์ นั่นคือ:

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสามชุดขึ้นไป

สาเหตุที่ความน่าจะเป็นของจุดตัดต้องถูกลบออก เนื่องจากการเพิ่มค่าความน่าจะเป็นของทั้งสองเหตุการณ์ จุดตัดใดๆ จะถูกนับสองครั้ง นี่เป็นกระบวนการที่ค่อนข้างง่ายในการทำความเข้าใจ อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นได้ที่เราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของสหภาพไม่ใช่สองเหตุการณ์ แต่สามเหตุการณ์ขึ้นไป ในกรณีเช่นนี้ควรทำอย่างไร? ในส่วนถัดไป เราจะดูวิธีง่ายๆ ในการกำหนดสูตรที่จะใช้ในกรณีสามเหตุการณ์และสี่เหตุการณ์ จากนั้นเราจะใช้ผลลัพธ์เหล่านี้พร้อมกับสูตรด้านบน เพื่อสรุปการกำหนดความน่าจะเป็นแบบรวม สำหรับเหตุการณ์จำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุการณ์

การทบทวนพื้นฐาน

เพื่อให้เข้าใจกระบวนการคำนวณความน่าจะเป็นของสหภาพ จำเป็นต้องระลึกถึงคำศัพท์สำคัญบางคำโดยสังเขปซึ่งจะใช้ในภายหลัง:

การทดลอง . ในความน่าจะเป็น การทดลองคือกระบวนการใดๆ ที่สามารถทำซ้ำได้หลายครั้งและให้ผลลัพธ์เสมอ การทดสอบแต่ละครั้งจะเชื่อมโยงกับชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ซึ่งจะเหมือนกันเสมอ

ผลลัพธ์ _ เราจะเรียกผลลัพธ์ของการทดลองว่า ผลลัพธ์ เช่น หน้าเฉพาะที่ออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า

พื้นที่ตัวอย่าง (S) . ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบ

เหตุการณ์ . ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้

แผนภาพเวนน์ การแสดงกราฟิกที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างชุดของเหตุการณ์และระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดสอบ

ความน่าจะเป็นของสามเหตุการณ์

สมมติว่าเราทำการทดลองและต้องการหาความน่าจะเป็นของหนึ่งใน 3**33 เหตุการณ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งอาจจะเกิดขึ้นพร้อมกันหรือไม่ก็ได้ เราจะเรียกเหตุการณ์ทั้งสามนี้ว่า A, B และ C

ในกรณีเหล่านี้ อาจเกิดสถานการณ์ที่แตกต่างกันได้หลายอย่าง ตัวอย่างเช่น อาจเกิดขึ้นที่ไม่มีเหตุการณ์ใดแบ่งปันผลลัพธ์กับเหตุการณ์อื่น ซึ่งในกรณีนี้เรากล่าวว่าเหตุการณ์นั้นไม่เกิดร่วมกัน ซึ่งแสดงให้เห็นเป็นตัวอย่างในแผนภาพเวนน์ต่อไปนี้:

ความน่าจะเป็นของการรวมตัวกันของชุดแยกสามชุดขึ้นไป

วงกลม A, B และ C แสดงถึงเหตุการณ์ทั้งสามและล้อมรอบชุดของผลลัพธ์ภายในพื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเทาที่ระบุด้วยตัวอักษร S ในกรณีเหล่านี้ ความน่าจะเป็นแบบรวมถูกกำหนดโดยผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เหตุการณ์แยกต่างหาก:

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสามชุดขึ้นไป

ในทางกลับกัน เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งอาจแบ่งปันผลลัพธ์กับหนึ่งในสองเหตุการณ์อื่นๆ หรือแม้กระทั่งกับทั้งสองเหตุการณ์ ซึ่งแสดงในแผนภาพเวนน์เป็นพื้นที่ที่ตัดกัน

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสามชุด

ในกรณีเหล่านี้ ผลรวมของความน่าจะเป็นจะพิจารณาผลลัพธ์บางอย่างมากกว่าหนึ่งครั้ง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบความน่าจะเป็นที่นับเกินเหล่านี้ นั่นคือเราต้องลบความน่าจะเป็นของจุดตัดระหว่างแต่ละคู่ของเหตุการณ์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่มีผลลัพธ์อยู่ในเหตุการณ์ทั้งสามเหตุการณ์ (เช่น เหตุการณ์ที่อยู่ตรงกลางของแผนภาพเวนน์ด้านบน) การลบจุดตัดของคู่จะลบส่วนร่วมของพื้นที่ตรงกลางที่คู่ทั้งสองตัดกัน สามเหตุการณ์ ด้วยเหตุผลนี้ เราต้องเพิ่มพื้นที่เล็กๆ ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นของจุดตัดของ A, B และ C อีกครั้ง

สุดท้าย ความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์ทั้งสามคือ:

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสามชุด

หมายเหตุ:แม้ว่านิพจน์นี้จะระบุไว้สำหรับกรณีที่เหตุการณ์ทั้งสามตัดกัน แต่นี่เป็นรูปแบบทั่วไปของกรณีสามเหตุการณ์เนื่องจากสามารถแปลงเป็นความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์สามเหตุการณ์ใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าเหตุการณ์ทั้งสองจะตัดกัน หรือไม่. ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน ความน่าจะเป็นของจุดตัดทั้งหมดเป็นศูนย์ ดังนั้นนิพจน์จึงลดลงเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นแต่ละรายการที่แสดงที่จุดเริ่มต้นของส่วนนี้

ความน่าจะเป็นแบบรวมของสี่เหตุการณ์

สมมติว่าตอนนี้เราทำการทดลองใหม่และสนใจในความน่าจะเป็นของการรวมกันระหว่างสี่เหตุการณ์: A, B, C และ D กรณีทั่วไปที่สุดคือเหตุการณ์ทั้งหมดสามารถตัดกัน ดังที่แสดงในแผนภาพต่อไปนี้:

ความน่าจะเป็นของสหภาพสี่ชุด

ในกรณีนี้ ผลรวมของความน่าจะเป็นอย่างง่ายทั้งสี่จะนับเป็นสี่เท่าของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ในพื้นที่ I สามเท่าของพื้นที่ II, III, IV และ V และสองเท่าของพื้นที่ VI, VII, VIII และ ทรงเครื่อง ในการแก้ไขปัญหานี้ ก่อนอื่นเราต้องลบความน่าจะเป็นทางแยกของทุกคู่ (A และ B, A และ C, A และ D, B และ C, B และ D และ C และ D) ในทางกลับกัน การทำเช่นนี้จะลบพื้นที่ของจุดตัดของแต่ละกลุ่มของสามกลุ่ม (ABC, ABD, ACD และ BCD) หลายครั้งเกินไป ดังนั้น จึงต้องเพิ่มพื้นที่เหล่านี้อีกครั้งและต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าจะนับพื้นที่ทั้งหมดเพียงครั้งเดียว

ผลลัพธ์สำหรับกรณีของเหตุการณ์ทั้งสี่ไม่ว่าจะเกิดขึ้นพร้อมกันหรือไม่ก็ตาม คือ:

ความน่าจะเป็นของการรวมกันของสามชุดขึ้นไป

ความน่าจะเป็นของสหภาพมากกว่าสี่เหตุการณ์

จนถึงจุดนี้ เราสามารถตรวจจับรูปแบบระหว่างสูตรสำหรับความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์สอง สาม และสี่เหตุการณ์ได้แล้ว พวกเขาทั้งหมดเริ่มต้นด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นอย่างง่าย จากนั้น ลบความน่าจะเป็นทางแยกระหว่างคู่เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากนั้น เพิ่มความน่าจะเป็นทางแยกของแต่ละกลุ่มที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์สามเหตุการณ์ และอื่น ๆ เพิ่มและลบทางแยกสลับกัน ระหว่าง more และ เหตุการณ์มากขึ้นจนกว่าจะถึงจุดตัดของเหตุการณ์ทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นเลขคู่ จุดตัดสุดท้ายนี้จะเป็นค่าลบเสมอ (ลบออก) ในขณะที่สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นค่าบวกเสมอ (บวก)

อ้างอิง

-โฆษณา-

Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados