Tabla de Contenidos
ในทางสถิติ เป็นเรื่องปกติมากที่จะเผชิญกับสถานการณ์ที่คุณต้องการคำนวณความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์ต่างๆ ตัวอย่างเช่น เจ้าของร้านขนมอาจสนใจที่จะพิจารณาว่าเด็กคนต่อไปที่เข้ามาในร้านจะซื้อช็อกโกแลตแท่งหรือช็อกโกแลตนม ในกรณีนี้ เราต้องการระบุความน่าจะเป็นของหนึ่งในสองเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ ซึ่งตามทฤษฎีเซตแล้ว คือความน่าจะเป็นแบบรวมของทั้งสองเหตุการณ์ หรือ P(AUB)
ในกรณีที่อธิบายไว้ การคำนวณความน่าจะเป็นนี้ประกอบด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นแต่ละรายการ ลบด้วยความน่าจะเป็นของจุดตัดระหว่างทั้งสองเหตุการณ์ นั่นคือ:
สาเหตุที่ความน่าจะเป็นของจุดตัดต้องถูกลบออก เนื่องจากการเพิ่มค่าความน่าจะเป็นของทั้งสองเหตุการณ์ จุดตัดใดๆ จะถูกนับสองครั้ง นี่เป็นกระบวนการที่ค่อนข้างง่ายในการทำความเข้าใจ อย่างไรก็ตาม อาจเกิดขึ้นได้ที่เราต้องการกำหนดความน่าจะเป็นของสหภาพไม่ใช่สองเหตุการณ์ แต่สามเหตุการณ์ขึ้นไป ในกรณีเช่นนี้ควรทำอย่างไร? ในส่วนถัดไป เราจะดูวิธีง่ายๆ ในการกำหนดสูตรที่จะใช้ในกรณีสามเหตุการณ์และสี่เหตุการณ์ จากนั้นเราจะใช้ผลลัพธ์เหล่านี้พร้อมกับสูตรด้านบน เพื่อสรุปการกำหนดความน่าจะเป็นแบบรวม สำหรับเหตุการณ์จำนวนเท่าใดก็ได้ เหตุการณ์
การทบทวนพื้นฐาน
เพื่อให้เข้าใจกระบวนการคำนวณความน่าจะเป็นของสหภาพ จำเป็นต้องระลึกถึงคำศัพท์สำคัญบางคำโดยสังเขปซึ่งจะใช้ในภายหลัง:
การทดลอง . ในความน่าจะเป็น การทดลองคือกระบวนการใดๆ ที่สามารถทำซ้ำได้หลายครั้งและให้ผลลัพธ์เสมอ การทดสอบแต่ละครั้งจะเชื่อมโยงกับชุดผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ซึ่งจะเหมือนกันเสมอ
ผลลัพธ์ _ เราจะเรียกผลลัพธ์ของการทดลองว่า ผลลัพธ์ เช่น หน้าเฉพาะที่ออกมาเมื่อโยนลูกเต๋า
พื้นที่ตัวอย่าง (S) . ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดสอบ
เหตุการณ์ . ชุดของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้
แผนภาพเวนน์ การแสดงกราฟิกที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างชุดของเหตุการณ์และระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในการทดสอบ
ความน่าจะเป็นของสามเหตุการณ์
สมมติว่าเราทำการทดลองและต้องการหาความน่าจะเป็นของหนึ่งใน 3**33 เหตุการณ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งอาจจะเกิดขึ้นพร้อมกันหรือไม่ก็ได้ เราจะเรียกเหตุการณ์ทั้งสามนี้ว่า A, B และ C
ในกรณีเหล่านี้ อาจเกิดสถานการณ์ที่แตกต่างกันได้หลายอย่าง ตัวอย่างเช่น อาจเกิดขึ้นที่ไม่มีเหตุการณ์ใดแบ่งปันผลลัพธ์กับเหตุการณ์อื่น ซึ่งในกรณีนี้เรากล่าวว่าเหตุการณ์นั้นไม่เกิดร่วมกัน ซึ่งแสดงให้เห็นเป็นตัวอย่างในแผนภาพเวนน์ต่อไปนี้:
วงกลม A, B และ C แสดงถึงเหตุการณ์ทั้งสามและล้อมรอบชุดของผลลัพธ์ภายในพื้นที่ตัวอย่าง ซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีเทาที่ระบุด้วยตัวอักษร S ในกรณีเหล่านี้ ความน่าจะเป็นแบบรวมถูกกำหนดโดยผลรวมของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เหตุการณ์แยกต่างหาก:
ในทางกลับกัน เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งอาจแบ่งปันผลลัพธ์กับหนึ่งในสองเหตุการณ์อื่นๆ หรือแม้กระทั่งกับทั้งสองเหตุการณ์ ซึ่งแสดงในแผนภาพเวนน์เป็นพื้นที่ที่ตัดกัน
ในกรณีเหล่านี้ ผลรวมของความน่าจะเป็นจะพิจารณาผลลัพธ์บางอย่างมากกว่าหนึ่งครั้ง ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลบความน่าจะเป็นที่นับเกินเหล่านี้ นั่นคือเราต้องลบความน่าจะเป็นของจุดตัดระหว่างแต่ละคู่ของเหตุการณ์ อย่างไรก็ตาม ในกรณีที่มีผลลัพธ์อยู่ในเหตุการณ์ทั้งสามเหตุการณ์ (เช่น เหตุการณ์ที่อยู่ตรงกลางของแผนภาพเวนน์ด้านบน) การลบจุดตัดของคู่จะลบส่วนร่วมของพื้นที่ตรงกลางที่คู่ทั้งสองตัดกัน สามเหตุการณ์ ด้วยเหตุผลนี้ เราต้องเพิ่มพื้นที่เล็กๆ ที่สอดคล้องกับความน่าจะเป็นของจุดตัดของ A, B และ C อีกครั้ง
สุดท้าย ความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์ทั้งสามคือ:
หมายเหตุ:แม้ว่านิพจน์นี้จะระบุไว้สำหรับกรณีที่เหตุการณ์ทั้งสามตัดกัน แต่นี่เป็นรูปแบบทั่วไปของกรณีสามเหตุการณ์เนื่องจากสามารถแปลงเป็นความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์สามเหตุการณ์ใดๆ ก็ได้ ไม่ว่าเหตุการณ์ทั้งสองจะตัดกัน หรือไม่. ตัวอย่างเช่น ในกรณีของเหตุการณ์ที่เกิดร่วมกัน ความน่าจะเป็นของจุดตัดทั้งหมดเป็นศูนย์ ดังนั้นนิพจน์จึงลดลงเป็นผลรวมของความน่าจะเป็นแต่ละรายการที่แสดงที่จุดเริ่มต้นของส่วนนี้
ความน่าจะเป็นแบบรวมของสี่เหตุการณ์
สมมติว่าตอนนี้เราทำการทดลองใหม่และสนใจในความน่าจะเป็นของการรวมกันระหว่างสี่เหตุการณ์: A, B, C และ D กรณีทั่วไปที่สุดคือเหตุการณ์ทั้งหมดสามารถตัดกัน ดังที่แสดงในแผนภาพต่อไปนี้:
ในกรณีนี้ ผลรวมของความน่าจะเป็นอย่างง่ายทั้งสี่จะนับเป็นสี่เท่าของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ในพื้นที่ I สามเท่าของพื้นที่ II, III, IV และ V และสองเท่าของพื้นที่ VI, VII, VIII และ ทรงเครื่อง ในการแก้ไขปัญหานี้ ก่อนอื่นเราต้องลบความน่าจะเป็นทางแยกของทุกคู่ (A และ B, A และ C, A และ D, B และ C, B และ D และ C และ D) ในทางกลับกัน การทำเช่นนี้จะลบพื้นที่ของจุดตัดของแต่ละกลุ่มของสามกลุ่ม (ABC, ABD, ACD และ BCD) หลายครั้งเกินไป ดังนั้น จึงต้องเพิ่มพื้นที่เหล่านี้อีกครั้งและต่อไปเรื่อยๆ จนกว่าจะนับพื้นที่ทั้งหมดเพียงครั้งเดียว
ผลลัพธ์สำหรับกรณีของเหตุการณ์ทั้งสี่ไม่ว่าจะเกิดขึ้นพร้อมกันหรือไม่ก็ตาม คือ:
ความน่าจะเป็นของสหภาพมากกว่าสี่เหตุการณ์
จนถึงจุดนี้ เราสามารถตรวจจับรูปแบบระหว่างสูตรสำหรับความน่าจะเป็นแบบรวมของเหตุการณ์สอง สาม และสี่เหตุการณ์ได้แล้ว พวกเขาทั้งหมดเริ่มต้นด้วยผลรวมของความน่าจะเป็นอย่างง่าย จากนั้น ลบความน่าจะเป็นทางแยกระหว่างคู่เหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด จากนั้น เพิ่มความน่าจะเป็นทางแยกของแต่ละกลุ่มที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์สามเหตุการณ์ และอื่น ๆ เพิ่มและลบทางแยกสลับกัน ระหว่าง more และ เหตุการณ์มากขึ้นจนกว่าจะถึงจุดตัดของเหตุการณ์ทั้งหมด สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นเลขคู่ จุดตัดสุดท้ายนี้จะเป็นค่าลบเสมอ (ลบออก) ในขณะที่สำหรับเหตุการณ์ที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นค่าบวกเสมอ (บวก)
อ้างอิง
- Arrizabalaga R., M. (2015, September). TEORÍA DE LA PROBABILIDAD. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias (5th ed.). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, July 1). Probabilidad de la Unión de Sucesos. Mates Fáciles. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, March 27). Unión de eventos o sucesos. Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html