Formler för att hitta tröghetsmomentet

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Rotationströghetsmomentet eller helt enkelt rotationströghetsmomentet, är en skalär fysisk storhet som är typisk för alla föremål som har massa och som mäter hur svårt det är att få det att rotera runt en viss rotationsaxel. Det är rotationsmotsvarigheten till linjär tröghet och som sådan är det en storhet som uttrycker svårigheten att ändra ett föremåls hastighet, oavsett om det är i vila eller i rörelse, med skillnaden att det i detta fall handlar om vinkel hastighet.

Denna kvantitet är av stor betydelse i beskrivningen av rotationsrörelsen eftersom den tillåter oss att förstå skillnaden i beteendet hos kroppar som, trots att de har samma yttre form och massa, beter sig annorlunda när de utsätts för vridmomentkrafter, vilket tenderar att göra dem snurra. Denna skillnad uppstår från skillnaden i fördelningen av kroppens massa runt rotationsaxeln. Ovanstående innebär att samma kropp kan ha olika rotationströghetsmoment beroende på dess position i förhållande till rotationsaxeln, vilket ger upphov till olika formler för att beräkna tröghetsmomentet.

Efter att ha sagt ovanstående är det tydligt att det finns så många formler för att hitta tröghetsmomentet som möjliga former av existerande föremål och rotationsaxlar. Det finns dock vissa speciella fall av vanliga geometriska former som roterar runt axlar som uppstår naturligt i praktiken. I de följande avsnitten kommer vi att se de viktigaste formlerna för att bestämma dessa kroppars rotationströghetsmoment.

Formel för tröghetsmomentet för en punktpartikel

Tröghetsmomentet för en punktpartikel motsvarar den ursprungliga definitionen av denna fysiska storhet. Detta uttryck kommer från uttrycket för rotationskinetisk energi när det skrivs i termer av vinkelhastighet, w.

Anta att vi har en partikel med massa m som kretsar kring en central axel som följande:

Formler för att hitta tröghetsmomentet

Den kinetiska energin för denna partikel, liksom för alla andra rörliga partiklar, bestäms av halva produkten mellan dess massa och dess hastighet (storleken på dess hastighet) upphöjd till kvadraten, det vill säga 1/2 mv 2 . Men om den enda rörelsen som denna partikel beskriver är rotation runt axeln (det finns ingen translation), kan vi uttrycka partikelns linjära hastighet som en funktion av dess vinkelhastighet, genom att skriva v = rω. Genom att göra detta uttrycks den kinetiska energin, som i detta fall uteslutande är rotationskinetisk energi, som:

Formler för att hitta tröghetsmomentet

Där partikelns tröghetsmoment, I , definieras som:

Formler för att hitta tröghetsmomentet

I detta uttryck är m punktpartikelns massa och r är rotationsradien eller, vad som är detsamma, avståndet från rotationsaxeln till partikeln.

Formel för tröghetsmomentet för en samling punktpartiklar

Antag nu att vi inte har en enda partikel som roterar runt en axel, utan att vi har ett system som består av n partiklar, var och en med en viss massa, m i, och var och en roterar med ett avstånd r i från rotationsaxeln , såsom trepartikelsystemet som visas nedan.

Formler för att hitta tröghetsmomentet punkt partiklar

Om vi ​​ville beräkna den totala kinetiska energin för detta system, skulle vi bara behöva lägga till kinetisk energi för var och en av de tre partiklarna. Om vi ​​utvidgar denna idé till det allmänna fallet med n partiklar och antar att de alla rör sig med samma vinkelhastighet (eftersom de roterar tillsammans), så kommer den totala rotationskinetiska energin för systemet att ges av:

Formler för att hitta tröghetsmomentet

Därav följer att det totala tröghetsmomentet för ett system av n partiklar som kretsar tillsammans runt samma axel, var och en med sin egen massa och sin egen svängningsradie, ges av:

Formler för att hitta tröghetsmomentet punkt partiklar

Denna formel fungerar både för punktpartiklar och för sfäriska partiklar av vilken storlek som helst, så länge som rotationsaxeln är utanför sfären. Om detta villkor är uppfyllt, så motsvarar radien avståndet mellan axeln och sfärens centrum och massan motsvarar sfärens totala massa.

Integral formel för tröghetsmoment för stela kroppar

Ovanstående formel för tröghetsmoment gäller för system som bildas av punkt- och diskreta partiklar. Den kan dock utvidgas till stela kroppar som har en kontinuerlig massafördelning, precis som det sker ungefär med makroskopiska kroppar.

I dessa fall består beräkningen av tröghetsmomentet av att dela upp kroppen i små masselement (Δm i ), vart och ett av dem placerade på ett avstånd r i från rotationsaxeln, och sedan tillämpa föregående ekvation. Men om vi pressar storleken på masselementet till gränsen där det blir ett infinitesimalt element eller en massdifferential (dm), så blir summeringen integralen, som visas nedan:

Integral formel för att hitta tröghetsmomentet för stela kroppar

Detta är det allmänna uttrycket för att hitta tröghetsmomentet för varje stel kropp, oavsett dess form eller massfördelning. I de flesta fall, för att utföra integrationen , ersätts masselementet, dm , med produkten av kroppens densitet multiplicerat med volymskillnaden, dV . Detta gör det möjligt att utföra integrationen över hela den styva kroppens volym, även om massfördelningen inte är enhetlig (så länge man vet hur den varierar beroende på positionen).

I detta fall blir det integrerade uttrycket för tröghetsmomentet:

Integral formel för att hitta tröghetsmomentet för stela kroppar

Därefter kommer vi att presentera resultatet av att integrera det tidigare uttrycket för olika stela kroppar med regelbundna former som ringar, cylindrar och sfärer, bland annat. I alla fall som beskrivs nedan representeras dimensionerna och massorna av de betraktade kropparna med versaler, för att särskilja dem från integrationsvariablerna.

Formel för tröghetsmomentet för en tunn enhetlig ring med radie R kring sin centrala axel

Ett av de enklaste fallen när man integrerar den föregående ekvationen är en enhetlig ring som roterar runt sin symmetricentrum. Följande bild visar detta fall.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en tunn båge

I det speciella fallet där ringens tjocklek är försumbar jämfört med dess radie, kan vi betrakta den som en massa fördelad längs en omkrets utan tjocklek, så att alla masselement i huvudsak har samma radie, i I detta fall, R. Med tanke på dessa förhållanden lämnar radien integralen och lämnar bara integralen av differentialmassan, dm, som helt enkelt är ringens massa, M. Resultatet är:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en tunn båge

I detta uttryck indikerar CM att det är tröghetsmomentet kring dess masscentrum.

Formel för tröghetsmomentet för en solid sfär med radie R som kretsar kring sitt centrum

I fallet med en solid sfär med radie R och likformig densitet, som roterar runt vilken som helst av dess diametrar (en axel som passerar genom dess centrum) som den som visas nedan, kan den föregående integralen lösas på olika sätt, bland annat använda ett sfäriskt koordinatsystem.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en solid sfär

Resultatet av integrationen i detta fall är:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en solid sfär

Formel för tröghetsmomentet för ett sfäriskt skal med inre radie R 1 och yttre radie R 2 runt dess centrum

Om det istället för en solid sfär är en ihålig sfär eller ett sfäriskt skal med tjocka väggar, måste vi överväga två radier, den yttre och den inre. Dessa visas i följande figur.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för ett tjockt sfäriskt skal

I detta fall är lösningen att betrakta det sfäriska skalet som en sfär med radien R2 från vilken en sfär av samma material har avlägsnats från dess centrum vars radie är R1. Efter att ha bestämt massan som den stora sfären skulle ha haft och den för den lilla sfären som drogs tillbaka genom densiteten hos det ursprungliga skalet, subtraheras trögheten för båda sfärerna för att få:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för ett tjockt sfäriskt skal

Formel för tröghetsmomentet för ett tunt sfäriskt skal med radie R runt dess centrum

I händelse av att tjockleken på det sfäriska skalet är försumbar jämfört med dess radie eller, vad är detsamma, att R 1 är praktiskt taget lika med R 2 , kan vi beräkna tröghetsmomentet som om det vore en ytfördelning av massa, allt ligger på avstånd R från centrum.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för ett tunt sfäriskt skal

I det här fallet har vi två alternativ. Det första är att lösa integralen från grunden. Det andra är att ta det föregående resultatet, det för det tjocka sfäriska skalet, och erhålla gränsen när R1 tenderar till R2. Resultatet är som följer:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för ett tunt sfäriskt skal

Formel för tröghetsmomentet för en tunn stång med längd L kring en vinkelrät axel genom dess masscentrum

När vi har en tunn stång kan vi i huvudsak tänka på den som en linjär fördelning av massan, oavsett formen på dess profil (dvs. oavsett om den är en cylindrisk, kvadratisk eller någon annan formad stång). I dessa fall är det enda som spelar roll att degen fördelas jämnt längs stången.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en tunn stång

I detta fall uttrycks tröghetsmomentet som:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en tunn stång

Formel för tröghetsmomentet för en tunn stång med längden L runt en vinkelrät axel genom ena änden

Detta är samma fall som ovan, men med hela stången roterande runt en axel vinkelrät från ena änden:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en tunn stång

Eftersom stångens massa i genomsnitt ligger på ett större avstånd från rotationsaxeln blir tröghetsmomentet större. Faktum är att det är fyra gånger större än det föregående fallet, vilket visas av följande uttryck:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en tunn stång

Observera att i det här fallet går axeln inte genom massans centrum, så CM-underskriften för tröghetsmomentsymbolen har utelämnats.

Formel för tröghetsmomentet för en solid cylindrisk stång med radie R kring sin centrala axel

Detta fall löses på ett mycket enkelt sätt med hjälp av ett cylindriskt koordinatsystem och med tanke på cylindern som om den vore bildad av koncentriska cylindriska skal av lika långa, men med olika radier. Därefter integreras radien från r = 0 till r = R.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en solid cylinder

Resultatet av denna process är formeln för tröghet hos en cylindrisk stång, vilket är:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en solid cylinder

Det bör noteras att, eftersom detta resultat inte beror på cylinderns längd, kan samma uttryck användas för fallet med en cirkulär skiva.

Formel för tröghetsmomentet för en ihålig cylinder med inre radie R 1 och yttre radie R 2 kring sin centrala axel

Detta fall liknar det tjocka sfäriska skalet. Den appliceras när skalets tjocklek, eller skillnaden mellan dess yttre och inre radier är i samma storleksordning som själva radierna och därför kan vi inte anse att massan är koncentrerad på en yta. Tvärtom måste vi tänka på att det är en tredimensionell fördelning av massa längs skalets tjocklek.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en ihålig cylinder

Liksom i fallet med det tjocka sfäriska skalet, kan tröghetsmomentet för en ihålig cylinder med en inre radie på R 1 och en yttre radie på R 2 hittas med hjälp av direkt integration, eller genom att subtrahera tröghetsmomentet från cylinder som drogs tillbaka när det centrala hålet öppnades, av tröghetsmomentet för en solid cylinder som har samma densitet som skalet, med hjälp av formeln i föregående avsnitt för var och en av dessa två trögheter.

Resultatet av någon av dessa två strategier är detsamma och presenteras nedan:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en ihålig cylinder

Som i föregående fall, eftersom detta resultat inte beror på cylinderns längd, kan vi använda det för att beräkna tröghetsmomentet för en cirkulär skiva med ett hål i mitten, som till exempel en bricka eller en Blu-ray skiva.

Formel för tröghetsmomentet för ett tunt cylindriskt skal med radie R kring sin centrala axel

Om vi ​​har en ihålig cylinder som den som visas i följande figur, där tjockleken på det cylindriska skalet är mycket liten jämfört med cylinderns radie, kan vi anta att massan är fördelad endast på ytan med radien R .

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en ihålig cylinder

Som i de andra fallen kan vi utföra den direkta integrationen med hjälp av areamastätheten, eller så kan vi utvärdera resultatet av det tjocka cylindriska skalet i gränsen där R1 tenderar till R2. Resultatet är:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en ihålig cylinder

Återigen noterar vi att detta resultat är oberoende av längd. Det betyder att det gäller lika mycket för en tunn båge. Faktum är att vi kan verifiera att det är samma resultat som erhålls i avsnittet som motsvarar en tunn ring.

Formel för tröghetsmomentet för en vanlig rektangulär platta runt en vinkelrät axel genom dess centrum

Tänk slutligen på fallet med en rektangulär platta som roterar runt en axel vinkelrät mot någon av dess ytor och passerar genom dess masscentrum, som den som visas nedan.

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en rektangulär platta

Resultatet av direkt integration är:

Formel för att hitta tröghetsmomentet för en rektangulär platta

Som i de tidigare fallen är detta resultat oberoende av plåtens höjd eller tjocklek, så det gäller lika för ett pappersark som för ett massivt cementblock.

Referenser

Khan akademin. (nd). Rotationströghet (artikel) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia

En klass. (2020, 6 oktober). OneClass: Börjar med formeln för tröghetsmomentet för en stav . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html

Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Fysik för forskare och ingenjörer med modern fysik: 2: Volym I (femte upplagan). McGraw Hill.

Snapsolve. (nd). Tröghetsmomentet för ett ihåligt tjockt sfäriskt skal . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073

-Annons-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

Flamfärgtestet