Vilka är De Morgans lagar?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Logik är en gren av matematiken, och en del av den är mängdlära. De Morgans lagar är två postulat om samspelet mellan mängder. Dessa lagar registrerar antecedent hos Aristoteles och William av Ockham. Augustus De Morgan levde mellan 1806 och 1871 och var den första som inkluderade de lagar han postulerade i den formella strukturen av matematisk logik.

Operatörer i mängdlära

Innan vi går vidare till De Morgans postulat, låt oss titta på några definitioner av mängdteorin.

Om det finns två uppsättningar element, som vi kallar A och B, är skärningspunkten mellan dessa två uppsättningar den uppsättning element som är gemensamma för båda uppsättningarna. Skärningen mellan två mängder betecknas med symbolen ∩, och är en annan mängd som vi kan kalla C; C = A∩B, och C är uppsättningen av element som förekommer i både grupp A och grupp B. På liknande sätt är föreningen av två uppsättningar A och B en ny uppsättning som innehåller alla element av A och B, och det noteras med symbolen U. Mängden C, förening av A och B, C = AUB, är en mängd som är integrerad med alla element i A och B. Den tredje definitionen som vi måste komma ihåg är komplementet till en mängd: om vi har ett visst universum av element och en mängd A av detta universum, är komplementet av A mängden element i det universum som inte tillhör mängden A. Komplementmängden av A betecknas som A C .

Dessa tre operatorer mellan uppsättningar kan generaliseras till operationen mellan flera uppsättningar, det vill säga till skärningspunkten, föreningen och komplementet av flera uppsättningar. Låt oss titta på ett enkelt exempel. Följande figur visar Venn-diagrammet med tre uppsättningar: fåglarna, representerade av papegojan, strutsen, ankan och pingvinen; de levande varelserna som flyger, representerade av papegojan, ankan, fjärilen och flygfisken, och de levande varelserna som simmar, representerade av ankan, pingvinen, flygfisken och valen. Ankan är skärningsuppsättningen av de tre uppsättningarna: föreningsuppsättningen av fåglar och levande varelser som flyger består av strutsen, papegojan, fjärilen, ankan, pingvinen och flygfisken. Och komplementet till de levande varelserna som flyger och de som simmar är uppsättningen som innehåller strutsen.

Venndiagram av tre uppsättningar.
Venndiagram av tre uppsättningar.

De Morgans lagar

Nu kan vi se postulaten av De Morgans lagar. Det första postulatet säger att komplementet av mängden skärningspunkt mellan två mängder A och B är lika med mängdföreningen av komplementet till A och komplementet till B. Med hjälp av operatorerna definierade i föregående stycke kan De Morgans första lag skrivas på följande sätt:

(A∩B) C = A C UB C

De Morgans andra lag postulerar att komplementet av föreningsmängden A och B är lika med skärningspunkten mellan komplementmängden A och komplementmängden B, och det noteras enligt följande:

(AUB) C = A C ∩ B C

Låt oss se ett exempel. Betrakta mängden heltal från 0 till 5. Detta betecknas som [0,1,2,3,4,5]. I detta universum definierar vi två uppsättningar A och B. A är uppsättningen av nummer 1, 2 och 3; A = [1,2,3]. YB är uppsättningen av nummer 2, 3 och 4; B = [2,3,4]. De Morgans första lag skulle gälla enligt följande.

A = [1,2,3]; B = [2,3,4]

De Morgans första lag: (A∩B) C = A C UB C

(A∩B) C

A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]

(A∩B) C = [2,3] C = [0,1,4,5]

A CUB C _

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C UB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]

Resultatet av tillämpningen av operatörerna på båda sidor av jämlikheten visar att De Morgans första lag är verifierad. Låt oss se tillämpningen av exemplet på det andra postulatet.

De Morgans andra lag: (AUB) C = A C ∩ B C

(AUB) C

AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]

(AUB) C = [1,2,3,4] C = [0,5]

A C ∩ B C

A C = [1,2,3] C = [0,4,5]

B C = [2,3,4] C = [0,1,5]

A C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]

Liksom med det första postulatet gäller i det givna exemplet även De Morgans andra lag.

Källor

AG Hamilton. Logik för matematiker. Redaktionell Paraninfo, Madrid, 1981.

Carlos Ivorra Castillo. Logik och mängdlära . Tillträde november 2021

-Annons-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados