Tabla de Contenidos
Inom statistiken är det mycket vanligt att man ställs inför situationer där man vill räkna ut den fackliga sannolikheten för flera olika händelser. Till exempel kan ägaren av en godisbutik vara intresserad av att avgöra vad som är sannolikheten att nästa barn som kommer in i hans butik kommer att köpa en vit chokladkaka eller en mjölkchokladkaka. I det här fallet vill vi bestämma sannolikheten för att en av två möjliga händelser ska inträffa, vilket enligt mängdteorin är unionssannolikheten för båda händelserna, eller P(AUB).
I det beskrivna fallet består beräkningen av denna sannolikhet helt enkelt av summan av de individuella sannolikheterna, minus sannolikheten för skärningspunkten mellan båda händelserna, det vill säga:
Anledningen till att korsningssannolikheten måste subtraheras är att genom att addera sannolikheterna för båda händelserna, räknas varje skärningspunkt två gånger. Detta är en relativt enkel process att förstå. Det kan dock också hända att vi vill bestämma den fackliga sannolikheten inte för två, utan för tre eller flera händelser. Vad ska man göra i sådana fall? I nästa avsnitt kommer vi att titta på ett enkelt sätt att bestämma formeln som ska tillämpas i fallen med tre händelser och fyra händelser, och sedan kommer vi att använda dessa resultat, tillsammans med formeln ovan, för att generalisera bestämningen av unionssannolikheten för valfritt antal evenemang.
Grundläggande recension
För att förstå processen för att beräkna fackliga sannolikheter är det nödvändigt att kort komma ihåg några viktiga termer som kommer att användas senare:
experiment . Med sannolikhet är ett experiment vilken process som helst som kan upprepas flera gånger och alltid ger ett resultat. Varje experiment är associerat med en viss uppsättning möjliga resultat som alltid kommer att vara desamma.
Resultat . Vi kommer att kalla konsekvensen av ett experiment för ett resultat, till exempel det speciella ansiktet som kommer ut när man kastar en tärning.
Provutrymme (S) . Uppsättningen av alla möjliga resultat av ett experiment.
händelse . Alla möjliga resultat.
Venn diagram . Grafisk representation som visar sambanden mellan uppsättningar av händelser och mellan sannolikheten för händelser i ett experiment.
Den fackliga sannolikheten för tre händelser
Anta att vi utför ett experiment och vi vill bestämma sannolikheten för att en av 3**3 tre olika händelser inträffar, som kanske eller inte kan inträffa samtidigt. Vi kommer att kalla dessa tre händelser A, B och C.
I dessa fall kan flera olika situationer uppstå. Till exempel kan det hända att ingen av händelserna delar resultat med någon annan, i vilket fall vi säger att händelserna utesluter varandra, vilket exemplifieras i följande Venn-diagram:
Cirklarna A, B och C representerar de tre händelserna och omsluter en uppsättning resultat inom provutrymmet, vilket är den grå rektangeln som identifieras med bokstaven S. I dessa fall ges unionssannolikheten helt enkelt av summan av sannolikheterna för varje separat händelse:
Å andra sidan kan en av händelserna också dela resultat med en av de andra två händelserna, eller till och med med båda. Detta illustreras i ett Venn-diagram som områden som skär varandra.
I dessa fall tar summan av sannolikheterna hänsyn till vissa utfall mer än en gång, så det är nödvändigt att subtrahera dessa sannolikheter som har överräknats. Det vill säga, vi måste subtrahera sannolikheten för skärningspunkten mellan varje händelsepar. Men i fall där det finns utfall närvarande i alla tre händelserna (som de i mitten av Venn-diagrammet ovan), tar subtraktion av skärningspunkterna mellan paren bort bidraget från det centrala området där paren skär varandra. Av denna anledning måste vi återigen lägga till detta lilla område som motsvarar sannolikheten för skärningspunkten mellan A, B och C.
Slutligen är den fackliga sannolikheten för de tre händelserna:
OBS: Även om detta uttryck angavs för det särskilda fallet där de tre händelserna skär varandra, är detta den mer allmänna formen av fallet med tre händelser eftersom det kan konverteras till unionssannolikheten för en uppsättning av tre händelser, oavsett om de skär varandra eller inte. Till exempel, i fallet med ömsesidigt uteslutande händelser, är alla korsningssannolikheter noll, så uttrycket reduceras till summan av de individuella sannolikheterna som visas i början av detta avsnitt.
Den fackliga sannolikheten för fyra händelser
Antag nu att vi genomför ett nytt experiment och är intresserade av sannolikheten för förening mellan fyra händelser: A, B, C och D. Det mest allmänna fallet är att de alla kan skära varandra, som visas i följande diagram:
I det här fallet räknas summan av de fyra enkla sannolikheterna fyra gånger sannolikheten för de utfall som finns i område I, tre gånger de för områdena II, III, IV och V, och två gånger de för områdena VI, VII, VIII och IX. För att korrigera detta måste vi först subtrahera skärningssannolikheterna för alla par (A och B, A och C, A och D, B och C, B och D samt C och D). Detta subtraherar i sin tur skärningsområdena för varje grupp om tre (ABC, ABD, ACD och BCD) för många gånger, så dessa områden måste läggas till igen och så vidare tills alla områden räknas en gång.
Resultatet för fyra händelser, vare sig de utesluter varandra eller inte, är:
Unionssannolikhet för mer än fyra händelser
Fram till denna punkt kan vi redan upptäcka ett mönster mellan formlerna för fackliga sannolikheter för två, tre och fyra händelser. De börjar alla med summan av de enkla sannolikheterna, subtraherar sedan skärningssannolikheterna mellan alla möjliga händelsepar, adderar sedan skärningssannolikheterna för varje möjlig grupp av tre händelser, och så vidare, växelvis addera och subtrahera skärningspunkterna. fler evenemang tills vi når skärningspunkten mellan alla evenemang. För ett jämnt antal händelser är denna sista skärningspunkt alltid negativ (subtraherad) medan den, för ett udda antal händelser, alltid är positiv (adderad).
Referenser
- Arrizabalaga R., M. (2015, september). SANNOLIKHETSTEORI . AUTONOMA MEXICO STATE UNIVERSITY. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Sannolikhet och statistik för teknik och vetenskap (5:e uppl.). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, 1 juli). Sannolikhet för händelseförbundet . Lätt matematik. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (2021, 27 mars). Förening av händelser eller händelser . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
