Multiplikationsregel för oberoende evenemang

Det finns många situationer där vi är intresserade av att hitta sannolikheten för att två händelser inträffar samtidigt. Några av dem är:

• Hitta sannolikheten att slå en dubbel sexa när du kastar två tärningar samtidigt eller efter varandra.
• Hitta sannolikheten att en slumpmässigt utvald person från en grupp är både kvinnlig och mörkhyad.
• Sannolikheten att välja ett par elever av det motsatta könet från en del av skolan.
• Sannolikheten att två redundanta styrsystem misslyckas samtidigt i en rymdraketuppskjutning.

Denna klass av problem kan lösas med hjälp av den allmänna regeln om multiplikation av sannolikheter. Denna regel fastställer att, för två händelser A och B, sannolikheten att de inträffar samtidigt, det vill säga sannolikheten för skärningspunkten, ges av:

I denna ekvation är P(A|B) den villkorade sannolikheten att händelse A inträffar givet B. Ovanstående är den allmänna multiplikationsregeln och gäller för alla händelsepar. I vissa fall är den betingade sannolikheten okänd eller svår att fastställa; Men i fallet med oberoende händelser förenklas denna sannolikhet för att ge upphov till multiplikationsregeln för oberoende händelser.

Multiplikationsregel för oberoende evenemang

Vad är oberoende händelser?

Två händelser A och B är oberoende av varandra om förekomsten av en av dem inte påverkar sannolikheten att den andra inträffar. I matematiska termer innebär detta att den villkorade sannolikheten för att endera händelsen inträffar, givet att vi vet att den andra har inträffat, är lika med den enkla sannolikheten för att den första inträffar. Med andra ord kommer två händelser att vara oberoende endast om:

Tolkningen av ovanstående är att sannolikheten för att A inträffar givet att B har inträffat är lika med sannolikheten för att A inträffar. Detta innebär att förekomsten av B inte påverkade sannolikheten att A inträffar, så båda händelserna inträffar i en oberoende sätt.

Alla händelsepar som inte uppfyller ovanstående villkor kommer att vara beroende händelser.

Hur påverkas multiplikationsregeln i detta fall?

Som vi kan se kan det första uttrycket av oberoendevillkoret användas för att förenkla den allmänna multiplikationsregeln, eftersom den första faktorn kan ersättas med den enkla sannolikheten för A, och på så sätt erhålla följande uttryck:

Ovanstående uttryck är känt som regeln för multiplikation av sannolikheter för oberoende händelser . Det innebär att om vi vet att två händelser är oberoende av varandra och vi vet deras sannolikheter att inträffa, så kan vi hitta sannolikheten att de båda kommer att inträffa samtidigt genom att helt enkelt multiplicera dessa sannolikheter.

Exempel på oberoende evenemang

Brist på information kan göra det svårt att identifiera om två händelser är oberoende. Till exempel kan vi tro att att ha brunt hår inte har något att göra med förekomsten av bröstcancer, men den mänskliga kroppens fysiologi är så komplex att ingen läkare skulle våga göra det uttalandet.

Men det finns många enkla experiment där vi enkelt kan identifiera om två händelser är oberoende eller inte.

• Kasta två tärningar samtidigt. När man slår två tärningar påverkar resultatet av den ena inte på något sätt resultatet som kan visas på den andra, så händelsen att en tärning landar på ett givet nummer är oberoende av händelsen att den andra tärningen landar på ett annat nummer. eller samma, till och med.
• Resultaten av att kasta samma tärning två gånger i rad är också oberoende av varandra av samma skäl.
• Slå ett mynt två gånger. Det faktum att det landar huvuden eller svansen första gången kommer inte att påverka resultatet av nästa kast.
• I en kylskåpsfabrik som har två oberoende produktionslinjer för komponenter som använder separata råvaror och arbetskraft är det acceptabelt att anta att sannolikheten att en av de två komponenterna kommer att gå sönder är oberoende av sannolikheten att den andra kommer att gå sönder.
• Att slumpmässigt dra ett kort eller en kortlek från en kortlek, ersätta den och sedan dra ett annat kort slumpmässigt från kortleken är separata händelser, eftersom byte av det ursprungliga kortet i kortleken återställer chanserna att dra något av de ursprungliga korten.

Exempel på händelser som inte är oberoende

• Att slumpmässigt dra ett kort eller en kortlek från en kortlek och sedan dra ytterligare ett kort från samma kortlek utan att ersätta det första är inte oberoende händelser, eftersom att dra det första minskar det totala antalet kort som finns i kortleken, vilket påverkar sannolikheten för eventuella annat kort kommer ut. Dessutom, om vi inte byter ut det första kortet, blir sannolikheten för att det kortet kommer ut andra gången noll.
• I en bil som körs är sannolikheten att bilens motor överhettas och sannolikheten att vattenpumpen som kyler motorn kommer att gå sönder inte oberoende händelser, eftersom om vattenpumpen går sönder blir det mycket mer sannolikt att motorn överhettas.
• Ett ännu lättare exempel att förstå är att få bra betyg i statistik inte är oberoende av att studera, eftersom om vi studerar är det mer sannolikt att vi får bra betyg.

Exempel på sannolikhetsberäkningar med multiplikationsregeln för oberoende händelser

Exempel 1: Kasta ett mynt två gånger

Anta att vi vill beräkna sannolikheten att när man kastar ett mynt två gånger blir resultatet heads på båda kasten.

Om vi ​​kallar A händelsen där den första kasten landar huvuden och B händelsen där den andra kastningen landar huvuden, så är sannolikheten för att vi ombeds att beräkna sannolikheten för skärningspunkten mellan A och B, eftersom vi vill att båda händelserna ska inträffa . Det vill säga det okända är P(A∩B).

Eftersom det bara finns två möjliga utfall för varje kast, är sannolikheten att endera händelsen inträffar densamma:

Nu, eftersom vi vet att händelserna är oberoende, kan vi använda multiplikationsregeln för att bestämma sannolikheten för skärningspunkten:

Exempel 2: Kasta två tärningar

Låt oss beräkna sannolikheten att, när man slår två vanliga sexsidiga tärningar, en av dem landar på en och den andra landar på ett jämnt tal.

Låt oss kalla följande händelser A och B:

       A = en av tärningarna landar på 1.

       B = en av tärningarna landar på ett jämnt tal.

Det vi vill beräkna är återigen P(A∩B).

Eftersom resultatet av varje tärning är oberoende av talet som resulterar i den andra, kan vi beräkna P(A∩B) med hjälp av multiplikationsregeln för oberoende händelser. Men först behöver vi sannolikheterna för A och B.

Tärningen har 6 ytor med siffrorna från 1 till 6, som inte upprepas. Därför finns det bara en 1, och det finns tre jämna tal, nämligen 2, 4 och 6. Därför är sannolikheterna för att de separata händelserna inträffar:

Med hjälp av dessa sannolikheter och multiplikationsregeln får vi den önskade sannolikheten:

Exempel 3: Delar som misslyckas

En fabrik som bygger datorutrustning använder bland annat två olika chips eller integrerade kretsar från två olika tillverkare. Enligt tillverkaren av det första chippet är sannolikheten att det kommer att misslyckas under normala driftsförhållanden 0,00133. För sin del skryter den andra tillverkaren med att endast två av dess chips misslyckas för varje 5 000 installerade enheter. Fabriksägaren vill hitta sannolikheten för att båda komponenterna ska gå sönder samtidigt. Misslyckandet hos varje chipmärke kan anses vara oberoende av det andra.

I det här fallet anger själva påståendet att de två händelserna är oberoende, så vi kan använda multiplikationsregeln ovan. Dessutom tillhandahålls också sannolikheten för att det första chippet skulle gå sönder, vilket vi kommer att kalla händelse A. Sannolikheten för att det andra chippet misslyckas (händelse B) kan beräknas utifrån informationen från tillverkaren:

Så sannolikheten att båda komponenterna misslyckas samtidigt är:

Referenser

Villkorlig sannolikhet och oberoende . (nd). University of Florida Health. https://bolt.mph.ufl.edu/6050-6052/unit-3/module-7/

Devore, JL (1998). SANNOLIKHET OCH STATISTIK FÖR INGENJÖR OCH VETENSKAP . International Thomson Publishers, SA

Frost, J. (2021, 10 maj). Multiplikationsregel för beräkning av sannolikheter . Statistik av Jim. https://statisticsbyjim.com/probability/multiplication-rule-calculating-probabilities/

Multiplikationsregel, lösta övningar . (2021, 1 januari). MateMobile. https://matemovil.com/regla-de-la-multiplicacion-o-producto-de-probabilidades/

Sannolikhetsmultiplikationsregel . (nd). Universitetslärare. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/multiplication-rule-of-probability

Multiplikationsregel (sannolikhet) [Exempel] . (nd). Fhybea. https://www.fhybea.com/multiplication-rule.html

Den allmänna multiplikationsregeln . (nd). Khan akademin. https://www.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/a/general-multiplication-rule