Formler för beräkning av ytor och volymer av geometriska former

Formlerna för att beräkna arean och volymen av en sfär är

• Yta = 4πr ²
• Volym = (4/3)πr ³

2. Beräkning av arean och volymen av en kon

En kon är en pyramid med en cirkulär bas, vars lutande sidor möts i en central punkt på konens axel, en linje vinkelrät mot basens plan som går genom mitten av omkretsen som utgör konens bas, som visas Du kan se i figuren ovan. För att beräkna arean av dess yta eller dess volym måste radien på basen r och längden på sidan s vara känd . Om värdet på sidolängden s inte är känt kan det beräknas genom att känna till höjden på konen h (se figuren ovan).

s = √ (r ² + h ² )

Den totala ytan av konen kan beräknas som summan av arean av basen och arean av den laterala ytan.

• Basarea: πr ²
• Sidoarea: πrs
• Total area = πr ²   + πrs

För att beräkna volymen på en kon behöver du bara basens radie och höjden.

• Volym = 1/3 πr ² timmar

3. Beräkning av en cylinders yta och volym

Yt- och volymberäkningar är lättare för en cylinder än för en kon. Cylindern har en cirkulär bas och linjerna som när de roteras genererar sidoytan är parallella och vinkelräta mot basen. För att beräkna dess ytarea eller volym behövs bara radien r  och höjden h .

Liksom i fallet med konen är ytarean summan av de ytor som utgör den; summan av arean av den övre basen och den nedre basen (som är lika), och arean av den laterala ytan.

• Yta = 2πr ²  + 2πrh
• Volym = πr ^2h

4. Beräkning av ytan och volymen av ett rektangulärt prisma

En rektangel utvikt i tre dimensioner blir ett rektangulärt prisma; Eller bara en låda. När alla sidor i ett rektangulärt prisma är lika, blir prismat en kub. Därför beräknas både ytan och volymen med samma formler. För detta är det nödvändigt att känna till storleken på prismats tre sidor; a, b och c, i den övre figuren.

• Area = 2(ab) + 2(bc) + 2(ac)
• volym = abc

Om vi ​​har en kub med sidan a blir de tidigare formlerna

• Arean av en kub = 6a ²
• Volymen av en kub = en ³

5. Beräkning av arean och volymen av en pyramid med kvadratisk bas

I det här fallet ser vi formlerna som används för att beräkna ytarean och volymen av en pyramid med en kvadratisk bas och liksidiga trianglar på dess ytor. För beräkningarna är det nödvändigt att känna till sidan av kvadraten av basen b och höjden h , detta är avståndet från centrum av kvadraten av basen till vertex, som visas i figuren ovan. Och s kommer att vara höjden på varje liksidig triangel som utgör pyramidens ytor, vilket kan beräknas med följande formel.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Som i de tidigare fallen är ytan av ytan summan av arean av basen plus arean av de fyra liksidiga trianglarna på ytorna.

• Yta = 2bs + b ²
• Volym = (1/3) b ^2h

6. Beräkning av ytarea och volym av ett likbent triangulärt prisma

För att tillämpa formlerna för beräkning av ytans yta och volymen av ett likbent triangulärt prisma, behövs tre parametrar, enligt figuren ovan; basen av den likbenta triangeln b , höjden på triangeln h och längden på prismat l . Definitionerna kompletteras med sidan s av den likbenta triangeln. Sidan s av triangeln kan beräknas från andra data i triangeln med följande formel.

s = √ ((b/2) ² + h ² )

Formlerna för beräkning av ytarea och volym är följande.

• Area = bh + 2 l s + l b
• Volym = (1/2)bh l

Om du vill beräkna ytan och volymen av ett prisma som inte är en likbent triangulär, kan du tillämpa följande procedur. Du kan bestämma arean A och omkretsen P av basen och använda följande formler.

• Yta = 2A + Pl
• Volym = A l

7. Beräkning av arean och längden av en cirkulär sektor

Den övre figuren visar sektorn av en cirkel med radien r definierad av vinkeln θ , som kan uttryckas i grader eller radianer. För att beräkna arean av den cirkulära sektorn och längden på bågen är det nödvändigt att vinkeln θ uttrycks i radianer, så om den uttrycks i grader måste omvandlingen göras med följande formel.

vinkel θ i radianer = (vinkel θ i grader) π /180

Arean av den cirkulära sektorn och längden på bågen beräknas med följande formler.

• Area = (θ/2) r ²  θ i radianer
• Båge L = θr   θ i radianer

Arean och omkretsen av en cirkel är ett särskilt fall av en sektor, som uppstår när vinkeln θ är lika med 2 π . Så, arean och omkretsen av en cirkel beräknas enligt följande.

• Arean av en cirkel = π r ² 
• Omkrets = 2 π r

8. Beräkning av arean av en ellips

En ellips, även känd som en oval och som kan identifieras som en långsträckt cirkel, är den uppsättning punkter vars summa av avstånden till två fasta punkter som kallas foci är konstant. I figuren ovan representeras brännpunkterna av två punkter. En ellips kan definieras av dess två halvaxlar, som visas i figuren; halvhuvudaxeln a och halvmalaxel b . Arean av en ellips beräknas med följande formel.

• Area = πab

9. Beräkning av arean och omkretsen av en triangel

Triangeln är en av de enklaste geometriska formerna och det är lätt att beräkna omkretsen, att veta längden på var och en av dess sidor a, b och c . 

• omkrets = a + b + c

För att beräkna arean av triangeln behövs längden på en av dess sidor, b  till exempel i figuren ovan, och höjden h  som motsvarar den sidan, bestäms som längden på segmentet ritat från den motsatta vertex vinkelrät åt sidan b . Arean av triangeln beräknas som

• Yta = (1/2)bh

10. Beräkning av arean och omkretsen av ett parallellogram

Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parallella, som visas i figuren ovan. Eftersom de motsatta sidorna är parallella blir längden på de motsatta sidorna lika. När det gäller figuren är de sidorna av längden a och b . Omkretsen av ett parallellogram är summan av dess sidor.

• Omkrets av ett parallellogram = 2a + 2b

För att beräkna arean av ett parallellogram behövs höjden h ; avståndet mellan två parallella sidor. Arean kan beräknas med höjden och den sida som motsvarar den höjden, b  i fallet med figuren.

• Arean av ett parallellogram = bh

En rektangel är ett särskilt fall av ett parallellogram; när höjden h är lika med sidan a eller, som är densamma, när de intilliggande sidorna är vinkelräta, är parallellogrammet en rektangel och omkrets- och areaformlerna är följande.

• Omkretsen av en rektangel = 2a + 2b 
• Arean av en rektangel = ab

I sin tur är en kvadrat ett särskilt fall av ett parallellogram och en rektangel; när sidorna a och b är lika och intilliggande sidor är vinkelräta. Formlerna för omkrets och area av en kvadrat med sidan a är följande.

• omkretsen av en kvadrat = 4a 
• Arean av en rektangel = en ²

11. Beräkning av arean och omkretsen av en trapets

En trapets är en fyrhörning som har två motsatta sidor som är parallella. Därför är längden på dess fyra sidor olika, i den övre figuren b , B , c och d , och för att beräkna dess omkrets är det nödvändigt att känna till de fyra värdena. Omkretsen av en trapets beräknas genom att addera de fyra värdena.

• Omkrets = b + B + c + d

För att beräkna arean av en trapets är det nödvändigt att känna till höjden h  som kan observeras i den övre figuren, och det är avståndet mellan de två parallella sidorna.

• Area = (1/2) (b + B)h

12. Beräkning av arean och omkretsen av en vanlig hexagon

En polygon med sex lika sidor är en vanlig hexagon. Längden på varje sida r är lika med avståndet för varje vertex från mitten av hexagonen. Apotemet ( a i den övre figuren) är det minsta avståndet från hexagonens centrum till en av sidorna; är höjden på varje liksidig triangel som utgör hexagonen. Omkretsen av en vanlig hexagon beräknas som

• omkrets = 6r

För att beräkna arean av en vanlig hexagon används följande formel

• Area = (3√3/2)r ²

13. Beräkning av arean och omkretsen av en vanlig oktagon

En vanlig oktagon är en polygon med åtta lika sidor. Om längden på varje sida av oktagonen är r , beräknas omkretsen av en vanlig oktagon som

• omkrets = 8r

För att beräkna arean av en vanlig oktagon används följande formel

• Area = 2(1+√2)r ²

Fontän

Wenninger, Magnus J. Models of Polyhedra Cambridge University Press, 1974.