Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


În probabilitate, valoarea așteptată a unei variabile aleatoare se referă la valoarea medie a unui număr mare de ori apare variabila . Este calculată ca o medie ponderată a tuturor valorilor posibile ale variabilei aleatoare, unde factorul de ponderare nu este altceva decât probabilitatea ca fiecare valoare să apară.

Probabilitatea este un domeniu de studiu de mare importanță în domeniul jocurilor de noroc, printre care ruleta este una dintre cele mai populare și mai ușor de înțeles.

Ce este ruleta și cum se joacă?

O roată tipică de ruletă americană constă dintr-o roată cu o serie de sloturi etichetate de la 1 la 36, ​​dintre care 18 sunt negre, în timp ce celelalte 18 sunt roșii. În plus, există două celule verzi sau sloturi situate la capetele opuse ale roții identificate cu numerele 0 și respectiv 00, pentru un total de 38 de celule.

Există și rulete franceze, care nu au cutia 00 și deci au 37 de cutii în total.

Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Jocul constă în învârtirea roții în timp ce o minge mică este aruncată în direcția opusă. Pe măsură ce roatorul și mingea încetinesc, mingea ajunge să aterizeze într-unul dintre cele 37 sau 38 de buzunare sau sloturi. Înainte ca mingea să se oprească, participanții pot face diferite tipuri de pariuri. Unele dintre pariurile posibile sunt:

  • Pariați pe un anumit număr (de obicei plătește 35:1)
  • Pariați pe două numere adiacente (în general plătește 17:1)
  • Pariați pe roșu sau negru (de obicei plătește 1:1)
  • Numere pare sau impare (de obicei plătește 1:1)
  • Miza scăzută sau mare, adică primele 18 numere (de la 1 la 18) sau ultimele 18 (de la 19 la 36) (în general plătește 1:1)
  • Prima duzină (1-12) (de obicei plătește 2:1)
  • A doua duzină (de la 13 la 24) (de obicei plătește 2:1)
  • A treia duzină (de la 25 la 36) (de obicei plătește 2:1)

După cum puteți vedea, fiecare dintre aceste pariuri oferă o plată specifică, care depinde de probabilitatea ca aceasta să se întâmple.

În continuare, vom calcula valoarea așteptată a câștigurilor în funcție de diferitele tipuri de pariuri pe care le putem face într-o ruleta americană. Rezultatele obținute aici sunt ușor de extrapolat la ruleta franceză, prin simpla modificare a numărului total de rezultate posibile în numitorii tuturor probabilităților.

În toate cazurile, vom determina valoarea așteptată a câștigului pentru fiecare dolar pe care îl pariem, deși valoarea numerică poate fi transferată în orice altă monedă. În plus, înmulțirea acestei valori așteptate cu valoarea reală a pariului va produce valoarea așteptată a pariului respectiv. Așadar, dacă în loc să pariem 1 USD, pariem 100 USD, trebuie doar să înmulțim valoarea așteptată a pariului de 1 USD cu 100.

Formula pentru a calcula valoarea așteptată a unui pariu la ruletă

Variabila aleatoare a cărei valoare așteptată dorim să o stabilim este suma de bani pe care o vom câștiga, în medie, dacă facem același pariu la ruletă de un număr mare de ori. Când facem un pariu, facem un experiment care are doar două rezultate posibile: câștigăm sau pierdem. Vom câștiga dacă mingea aterizează într-o cutie care se potrivește cu pariul nostru, iar în caz contrar vom pierde.

Dacă numim X profitul obținut prin pariuri (variabila noastră aleatoare), p probabilitatea de succes, x 1 profitul pe care îl vom obține dacă câștigăm, q probabilitatea de eșec și x 2 profitul (sau pierderea) pe care îl vom avea dacă pierdem, atunci putem calcula valoarea așteptată a unui pariu ca:

Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Acum vom vedea cum să aplicăm această formulă la diferitele pariuri pe care le putem face.

Valoarea așteptată a pariului pe un anumit număr la ruletă

Să presupunem că pariem 1 dolar pe un anumit număr (0, 00, 1, 2, 3, …).

Plata pentru acest pariu, în cazul în care câștigăm, este de 35 la 1, ceea ce înseamnă că primim 35 USD pentru fiecare 1 USD pe care îl pariăm, plus că primim 1 USD pariat. Vom spune apoi că valoarea variabilei noastre aleatoare în caz de succes (x 1 ) va fi, în acest caz, +$35, deoarece acesta este profitul net. Probabilitatea de succes (p) este 1/38, deoarece există un total de 38 de pătrate diferite în care mingea poate cădea, în timp ce doar 1 cu care vom câștiga.

Pe de altă parte, dacă mingea ajunge pe orice alt număr, pierdem pariul, caz în care casa păstrează $1 pe care l-am pariat. Astfel, „profitul” nostru va fi – $1, deoarece pierdem de fapt bani. Probabilitatea de a pierde (q) este de 37/38, deoarece orice casetă în afară de numărul pe care pariem ne va face să pierdem. Cu aceste date, putem aplica formula și determina valoarea așteptată a acestui pariu:

Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Cu alte cuvinte, valoarea estimată a pariului pe un anumit număr din ruletă este o pierdere de 5,3 cenți pentru fiecare dolar pe care îl pariez.

Valoarea așteptată a pariului pe două numere adiacente

Să presupunem că pariem 1 dolar plasând o jetoane între două numere adiacente, cum ar fi 2 și 3 sau 17 și 20 (care sunt adiacente vertical).

Plata pentru acest pariu, spre deosebire de precedentul, este de 17 la 1, ceea ce înseamnă că primim 17 USD înapoi pentru fiecare 1 USD pariat, plus primim 1 USD înapoi. Câștigul va fi, în acest caz, +17$, în timp ce probabilitatea de reușită (p) va fi de 2/38, deoarece există două numere care ne vor face să câștigăm cât mai sunt aceleași 38 de celule în total.

Pe de altă parte, dacă pierdem, pierdem din nou același dolar pe care l-am pariat, dar probabilitatea de a pierde (q) este acum 36/38. Valoarea așteptată a acestui pariu este atunci:

Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Din nou, este de așteptat ca, pariând pe orice pereche de numere adiacente la ruletă de mai multe ori, în medie vom pierde 5,3 cenți pentru fiecare dolar pe care l-am pariat.

Valoarea așteptată a pariurilor cu zeci

Există șase pariuri diferite pe care le putem face la ruletă, care includ o duzină de rezultate favorabile posibile; trei dintre ele constau în pariarea pe prima, a doua sau a treia duzină de numere (fără a include 0 sau 00), iar celelalte trei constau în pariarea pe una dintre cele trei coloane în care numerele sunt aranjate pe masa ruletei.

Plata pentru oricare dintre aceste pariuri este 2 la 1, ceea ce înseamnă că câștigăm 2 USD pentru fiecare 1 USD pariat și primim 1 USD înapoi. Probabilitatea de succes este de 12/38 deoarece pariem pe un coș de 12 numere diferite. În cele din urmă, probabilitatea de eșec este 26/38 cu aceeași pierdere de 1 USD (sau câștig de -1 USD, care este același lucru).

Valoarea așteptată a variabilei noastre aleatoare este, în acest caz:

Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Valoarea așteptată a pariului pe roșu sau negru, par sau impar, sau a pariului mic sau mare

În sfârșit, există alte șase pariuri diferite pe care le putem face la ruletă care prezintă atât aceeași probabilitate de succes, cât și aceeași plată dacă câștigăm, precum și aceeași probabilitate de eșec și aceeași pierdere de bani dacă pierdem, deci le vom calcula valoarea așteptată în același mod pentru toți. Aceste pariuri sunt:

  • Pariați pe roșu.
  • pariază pe negru
  • Pariați pe numere pare
  • Pariați pe numere impare
  • Pariați pe cele 18 numere inferioare (numerele de la 1 la 18)
  • Pariați pe cele 18 numere mari (numerele de la 19 la 36)

Deși arată ca niște pariuri foarte diferite, sunt de fapt exact aceleași. Toți plătesc 1 USD pentru fiecare 1 USD pariat, plus 1 USD returnat, așa că toți au net +1 USD.

În plus, toți au aceeași probabilitate de succes (și, prin complement, de eșec). De exemplu, jumătate dintre numerele de la 1 la 36 sunt identificate cu culoarea roșie, în timp ce cealaltă jumătate sunt identificate cu negru, deci există o probabilitate de 18/38 ca acestea să apară roșu sau negru (rețineți că celulele de la 0 și 00 sunt verzi, completând astfel totalul de 38 de rezultate posibile).

În ceea ce privește numerele pare și impare, deoarece există 36 de numere consecutive, jumătate vor fi numere pare (2, 4, 6, 8, 10, 12, ,…,34 și 36) iar cealaltă jumătate vor fi impare (1, 3 , 5, 7, 9, 11, …, 33 și 35). Trebuie să ne amintim că zero nu este considerat un număr par sau impar, deci nici caseta 0, nici caseta 00 nu fac parte din niciunul dintre cele două rezultate.

În cele din urmă, există 18 numere mici și 18 numere mari, deci probabilitatea de a obține un rezultat sau altul este de asemenea 18/38.

Pe de altă parte, eșecul în toate aceste cazuri include cealaltă jumătate a numerelor necontorizate în pariu plus 0 și 00, deci există un total de 20 de posibile rezultate adverse. Aceasta implică o probabilitate de eșec de 20/38.

Valoarea așteptată a oricăruia dintre aceste pariuri este atunci:

Cum se calculează valoarea așteptată în ruleta

Cum sunt interpretate aceste rezultate?

Acest rezultat nu înseamnă că dacă intrăm într-un cazinou și mizăm 1 USD pe 21, de exemplu, vom pierde 0,053 USD. În realitate, dacă jucăm o singură dată , fie vom merge acasă cu 1 dolar mai puțin, fie cu 35 dolari în plus.

Ceea ce înseamnă acest rezultat este că dacă pariem la ruletă de mai multe ori și mizăm întotdeauna pe un singur număr, uneori vom câștiga 35 USD, iar alteori vom pierde 1 USD, dar în medie vom ajunge să pierdem 0,053 USD pentru fiecare dolar pariat.

Acest rezultat confirmă afirmația populară că „banca câștigă întotdeauna”, referindu-se la faptul că, chiar dacă un cazinou plătește uneori un jackpot unui jucător norocos, acesta va ajunge întotdeauna să câștige tot ce a pierdut și mai mult decât atât. toate pariurile mici la care participanții pierd.

Referințe

DeVore, J. (2002). Probabilitate și statistică pentru inginerie și științe (ed. a 5-a). Thomson International.

Elisa, M. (23 aprilie 2021). Cum să câștigi la ruletă: Introducere în probabilități și valori așteptate . Mediu. https://www.cantorsparadise.com/how-to-win-at-roulette-intro-to-probabilities-and-expected-values-f23baed1065e

Valoarea așteptată în statistici: definiție și calcule . (2021, 8 iunie). Statistici Cum să. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

Media (valoarea așteptată), variația și abaterea standard a variabilei aleatorii discrete | materialul mobil . (2021, 1 ianuarie). MateMobile. https://matemovil.com/media-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-discreta/

Forța de studiu. (2021, 8 iunie). Valoarea așteptată în statistici: definiție și calcule [Video]. Statistici Cum să. https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/expected-value/

-Publicitate-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados