Tabla de Contenidos
În statistică, este foarte frecvent să te confrunți cu situații în care vrei să calculezi probabilitatea de unire a mai multor evenimente diferite. De exemplu, proprietarul unui magazin de dulciuri poate fi interesat să determine care este probabilitatea ca următorul copil care intră în magazinul său să cumpere un baton de ciocolată albă sau un baton de ciocolată cu lapte. În acest caz, dorim să determinăm probabilitatea ca unul dintre cele două evenimente posibile să se întâmple, care, conform teoriei mulțimilor, este probabilitatea de unire a ambelor evenimente sau P(AUB).
În cazul descris, calculul acestei probabilități constă pur și simplu din suma probabilităților individuale minus probabilitatea intersecției dintre ambele evenimente, adică:
Motivul pentru care probabilitatea de intersecție trebuie scăzută este că prin adăugarea probabilităților ambelor evenimente, orice intersecție este numărată de două ori. Acesta este un proces relativ simplu de înțeles. Cu toate acestea, se poate întâmpla și să dorim să determinăm probabilitatea de unire nu a două, ci a trei sau mai multe evenimente. Ce ar trebui făcut în astfel de cazuri? În secțiunea următoare vom analiza o modalitate simplă de a determina formula de aplicat în cazurile cu trei și patru evenimente, iar apoi vom folosi aceste rezultate, împreună cu formula de mai sus, pentru a generaliza determinarea probabilității de unire. pentru orice număr de evenimente.evenimente.
Revizuirea elementelor de bază
Pentru a înțelege procesul de calcul al probabilităților de unire, este necesar să ne amintim pe scurt câțiva termeni importanți care vor fi folosiți mai târziu:
experiment . În probabilitate, un experiment este orice proces care poate fi repetat de mai multe ori și produce întotdeauna un rezultat. Fiecare experiment este asociat cu un anumit set de rezultate posibile care vor fi întotdeauna aceleași.
Rezultat . Vom numi consecința unui experiment un rezultat, cum ar fi fața particulară care iese la aruncarea unui zar.
Spațiu eșantion (S) . Setul tuturor rezultatelor posibile ale unui experiment.
eveniment . Orice set de rezultate posibile.
Diagrama Venn . Reprezentare grafică care arată relațiile dintre seturile de evenimente și dintre probabilitatea evenimentelor dintr-un experiment.
Probabilitatea de unire a trei evenimente
Să presupunem că efectuăm un experiment și dorim să determinăm probabilitatea ca unul dintre cele 3**3 trei evenimente diferite să aibă loc, care pot sau nu să apară simultan. Vom numi aceste trei evenimente A, B și C.
În aceste cazuri, pot apărea mai multe situații diferite. De exemplu, se poate întâmpla ca niciunul dintre evenimente să nu împărtășească rezultate cu oricare altul, caz în care spunem că evenimentele se exclud reciproc, ceea ce este exemplificat în următoarea diagramă Venn:
Cercurile A, B și C reprezintă cele trei evenimente și includ un set de rezultate în spațiul eșantion, care este dreptunghiul gri identificat cu litera S. În aceste cazuri, probabilitatea de unire este dată pur și simplu de suma probabilităților fiecăruia. eveniment separat:
Pe de altă parte, unul dintre evenimente poate împărtăși rezultate cu unul dintre celelalte două evenimente sau chiar cu ambele. Acest lucru este ilustrat într-o diagramă Venn ca zone care se intersectează.
În aceste cazuri, suma probabilităților ia în considerare unele rezultate de mai multe ori, așa că este necesar să se scadă aceste probabilități care au fost suprasolicitate. Adică trebuie să scădem probabilitatea intersecției dintre fiecare pereche de evenimente. Cu toate acestea, în cazurile în care există rezultate prezente în toate cele trei evenimente (cum ar fi cele din centrul diagramei Venn de mai sus), scăderea intersecțiilor perechilor înlătură contribuția zonei centrale la care perechile se intersectează trei evenimente. Din acest motiv, trebuie să adăugăm din nou această zonă mică care corespunde probabilității de intersecție a lui A, B și C.
În cele din urmă, probabilitatea de unire a celor trei evenimente este:
NOTĂ: Deși această expresie a fost menționată pentru cazul particular în care cele trei evenimente se intersectează, aceasta este forma mai generală a cazului cu trei evenimente, deoarece poate fi convertită la probabilitatea de unire a oricărui set de trei evenimente, indiferent dacă acestea se intersectează. sau nu. De exemplu, în cazul evenimentelor care se exclud reciproc, toate probabilitățile de intersecție sunt zero, deci expresia se reduce la suma probabilităților individuale afișate la începutul acestei secțiuni.
Probabilitatea de unire a patru evenimente
Să presupunem acum că efectuăm un nou experiment și că suntem interesați de probabilitatea de unire între patru evenimente: A, B, C și D. Cazul cel mai general este că toate se pot intersecta, așa cum se arată în diagrama următoare:
În acest caz, suma celor patru probabilități simple numără de patru ori probabilitatea rezultatelor conținute în zona I, de trei ori mai mare decât cea din zonele II, III, IV și V și de două ori mai mare decât cea din zonele VI, VII, VIII și IX. Pentru a corecta acest lucru, trebuie mai întâi să scădem probabilitățile de intersecție ale tuturor perechilor (A și B, A și C, A și D, B și C, B și D și C și D). Aceasta, la rândul său, scade regiunile de intersecție ale fiecărui grup de trei (ABC, ABD, ACD și BCD) de prea multe ori, astfel încât aceste zone trebuie adăugate din nou și așa mai departe până când toate zonele sunt numărate o dată.
Rezultatul pentru cazul a patru evenimente, fie că se exclud reciproc sau nu, este:
Probabilitatea uniunii a mai mult de patru evenimente
Până în acest punct, putem deja detecta un model între formulele pentru probabilitățile de unire a două, trei și patru evenimente. Toate încep cu suma probabilităților simple, apoi scade probabilitățile de intersecție dintre toate perechile posibile de evenimente, apoi adună probabilitățile de intersecție ale fiecărui grup posibil de trei evenimente și așa mai departe, adunând și scăzând alternativ intersecțiile. mai multe evenimente până ajungem la intersecția tuturor evenimentelor. Pentru un număr par de evenimente, această ultimă intersecție este întotdeauna negativă (scăzută), în timp ce, pentru un număr impar de evenimente, este întotdeauna pozitivă (adăugată).
Referințe
- Arrizabalaga R., M. (2015, septembrie). TEORIA PROBABILITATII . UNIVERSITATEA DE STAT AUTONOMA MEXICO. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Probabilitate și statistică pentru inginerie și științe (ed. a 5-a). Thomson International.
- Manuel, M. (2020, 1 iulie). Probabilitatea Unirii Evenimentelor . Matematică ușoară. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta, M. (27 martie 2021). Unirea evenimentelor sau întâmplărilor . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
