De ce factorul zero este egal cu unu?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Factorialul unui număr întreg pozitiv este produsul tuturor numerelor întregi mai mici sau egale cu acesta și este notat cu simbolul !. De exemplu, factorialul numărului 4 este exprimat ca 4! și este egal cu 24:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

În special, factorialul numărului 0, (adică 0!), este definit egal cu 1, deși această valoare nu rezultă din definiția factorial, care este valabilă numai pentru orice număr întreg mai mare sau egal cu 1. De ce de ce factorialul numărului 0 este definit ca 1 dacă există o regulă matematică care spune că orice număr înmulțit cu zero este egal cu zero?

Dincolo de confuzia pe care o poate da naștere această situație, trebuie remarcat că valoarea factorialului numărului 0 este o definiție ; adica matematic se defineste ca 0! = 1. Să vedem mai jos fundamentele acestei definiții.

Definiția factorialului numărului 0

După cum am menționat deja, primul lucru de remarcat este că atribuirea valorii 1 factorialului numărului 0 (0! = 1) este o definiție, deși, în principiu, aceasta nu duce la o explicație satisfăcătoare dacă ne uităm doar la la definiţia factorial.

Amintiți-vă că definiția unui factorial al unui număr întreg pozitiv este produsul tuturor numerelor întregi egale sau mai mici decât acesta. Rețineți că această definiție implică și faptul că factorialul este asociat cu toate combinațiile posibile de numere mai mici sau egale cu numărul pe care îl luăm în considerare.

Numărul 0 nu are numere întregi pozitive mai mici decât el, dar este totuși un număr și există o singură combinație posibilă a acestui set particular de numere format doar din numărul 0. Combinația respectivă este una, la fel ca în cazul numărului. 1.

Pentru a înțelege mai bine semnificația matematică a acestei definiții, trebuie avut în vedere că conceptul factorial implică și alte informații conținute într-un număr, în special posibilele permutări ale factorilor săi. Chiar și în setul gol reprezentat de numărul 0 se poate crede că există o modalitate de a ordona acest set.

Permutări și factoriali

Conceptul de factorial este folosit în ramura matematicii numită combinatorică, disciplină în care este definit conceptul de permutare a elementelor. O permutare este o ordine specifică și unică a elementelor care alcătuiesc un anumit set. De exemplu, există șase permutări posibile ale mulțimii {1, 2, 3}, care conține trei elemente, deoarece putem scrie aceste elemente în următoarele șase moduri:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

Am putea exprima acest concept și prin expresia factorială a lui trei, 3! = 6, ceea ce ne permite să calculăm setul complet de permutări ale unui grup de 3 elemente. În mod similar, există 24 de permutări (4!=24) ale unei mulțimi cu patru elemente și 120 de permutări posibile (5!=120) ale unei mulțimi cu cinci elemente. Deci, un mod alternativ de a gândi conceptul de factorial este de a lăsa deoparte ideea că acesta este asociat cu un număr natural n  și de a crede că  n ! este numărul de permutări ale unei mulțimi formate din  n  elemente.

Să vedem câteva exemple având în vedere acum această nouă concepție a factorialului unui număr. O mulțime formată din două elemente are două permutări posibile: {a, b} poate fi ordonată ca (a, b) sau ca (b, a). Aceasta este asociată cu definiția factorialului numărului 2; 2! = 2. O mulțime alcătuită dintr-un singur element, {a}, are o singură permutare posibilă și este asociată cu definiția factorialului numărului 1; 1! = 1.

Să revenim acum la cazul factorialului lui 0. Mulțimea integrată de elemente zero se numește mulțime goală. Pentru a afla valoarea factorialului lui 0 ne putem întreba, în câte moduri putem ordona o mulțime fără elemente? Și în timp ce un răspuns poate fi că nu există nimic de ordonat într-un set gol, avem, de asemenea, alternativa că chiar și gol este un set, deci răspunsul ar putea fi 1 și deci 0! = 1.

Alte aplicații ale factorialului

După cum am spus deja, conceptul factorial este folosit în combinatorică și acest instrument matematic este folosit pentru a efectua calcule în formule care exprimă permutări și combinații de grupuri de elemente. Deși aceste aplicații nu oferă o justificare directă pentru atribuirea lui 1 factorialului numărului 0, se poate înțelege de ce este definit în acest fel.

Conceptul de combinare a unui grup de elemente se referă la numărul de subgrupe care pot fi obținute cu acestea, indiferent de ordinea în care sunt considerate. De exemplu, mulțimea {1, 2, 3} are o singură îmbinare dacă sunt luate trei elemente, indiferent de ordine. Dar dacă le-am lua cu două elemente, am avea trei combinații posibile, {1, 3}, {2, 3} și {1, 2}, la fel ca și cum le-am lua cu un element, {1}, {2} și {3}. Formula generală pentru a calcula numărul de combinații fără repetare a unui anumit set de n elemente luate în subgrupuri de p elemente este C  ( n , p ) = n !/ p !( n–p ) !.

Dacă folosim această formulă pentru a determina numărul combinației de trei elemente luate trei, vedem că rezultatul trebuie să fie 1, exprimat prin  C  (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, deci este necesar să se definească 0! = 1 pentru ca expresia matematică să aibă sens.

În același mod, există și alte situații care fac necesară definirea factorialului numărului 0 ca 1, 0! = 1, ca parte a concepției generale în dezvoltarea matematicii care indică faptul că atunci când se construiesc idei noi și se încorporează definiții noi, trebuie să existe compatibilitate cu structurile preexistente.

Bibliografie

Zero factorial sau 0!. Academia Khan .

Există un factorial de 0? Canalul YouTube Drifting .

-Publicitate-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados