Care sunt numerele reale?

Numerele au proprietăți diferite și pot fi clasificate în diferite grupuri. Una dintre aceste grupe, cu aplicații largi în diverse ramuri ale matematicii, sunt numerele reale. Pentru a le înțelege mai bine, să vedem mai întâi care sunt diferitele tipuri de numere.

Numerele

Primul lucru pe care îl învățăm despre numere este cum să le folosim pentru a număra; începem cu a le potrivi cu degetele pentru a face operații simple. Astfel, cele zece degete ale noastre sunt baza sistemului zecimal. De acolo numărăm cantități cât de mari putem și observăm că numerele sunt infinite. Și așa, adunând zero (0) când nu avem nimic de numărat, se formează numerele naturale.

Cu numerele naturale facem operatii aritmetice si cand scadem un alt numar dintr-un numar, trebuie sa introducem numerele negative. Deci, adunând numerele negative la cele naturale, obținem mulțimea numerelor întregi.

Printre operațiile aritmetice pe care le efectuăm cu numere se numără și împărțirea. Și aflăm că există cazuri în care la împărțirea unui număr la altul, rezultatul nu este un număr întreg; În multe cazuri, acest rezultat al împărțirii poate fi reprezentat cu exactitate doar de expresia diviziunii în sine, adică o fracție. Așa se construiește mulțimea numerelor raționale, în care toate numerele sunt scrise ca fracție și numerele întregi au numărul 1 ca numitor.

Civilizațiile antice au observat că există numere care nu puteau fi reprezentate ca fracții. Când lucrau cu figuri geometrice, au găsit numărul pi, relația dintre raza și lungimea unui cerc, un număr care nu poate fi exprimat ca câtul dintre două numere întregi. Este și cazul rădăcinii pătrate a numărului 2 (adică numărul care înmulțit cu el însuși ar da ca rezultat numărul 2). Și există multe numere care apar în diverse ramuri ale cunoașterii care nu fac parte din mulțimea numerelor raționale. Aceste numere, care nu pot fi reprezentate exact ca câtul a două numere întregi, se numesc numere iraționale. Mulțimea numerelor raționale și iraționale constituie, deci, mulțimea numerelor reale.

Numerele reale fac parte dintr-un set și mai mare de numere: numerele complexe. Această extensie a mulțimii numerelor reale apare atunci când dorim să calculăm rădăcina pătrată a unui număr negativ; Deoarece produsul a două numere negative este întotdeauna pozitiv, nu există un număr real care înmulțit cu el însuși să fie negativ. Apoi se definește numărul imaginar i , care reprezintă rădăcina pătrată a lui -1, și apare mulțimea numerelor complexe.

reprezentare zecimală

Toate numerele pot fi exprimate sub formă zecimală; De exemplu, numărul rațional 1/2 poate fi exprimat sub formă zecimală ca 0,5. Spre deosebire de numărul rațional 1/2, care poate fi reprezentat exact printr-o singură zecimală, alte numere raționale au un număr infinit de zecimale și nuEle pot fi exprimate exact cu reprezentarea zecimală. Este cazul numărului 1/3; Reprezentarea sa zecimală este 0,33333…, cu un număr infinit de zecimale. Aceste numere raționale se numesc numere zecimale periodice, deoarece în toate cazurile există o succesiune de numere care se repetă de nenumărate ori. În cazul numărului 1/3, această secvență este 3; în cazul numărului 1/7, forma sa zecimală este 0,1428571428571…, iar succesiunea care se repetă la infinit este 142857. Numerele iraționale nu sunt numere zecimale periodice; nu există o succesiune care se repetă de nenumărate ori în reprezentarea sa zecimală.

Reprezentare vizuala

Numerele reale pot fi vizualizate prin asocierea fiecăruia dintre ele la unul dintre infinitele puncte de-a lungul unei linii drepte, așa cum se arată în figură. În această reprezentare grafică se află numărul pi, a cărui valoare este de aproximativ 3,1416, numărul e , care este de aproximativ 2,7183, și rădăcina pătrată a numărului 2, aproximativ 1,4142. De la numărul 0 la dreapta numerele reale pozitive sunt situate în formă crescătoare, iar în stânga cele negative crescând valoarea lor absolută în această direcție.

Unele proprietăți ale numerelor reale

Numerele reale se comportă ca numere întregi sau numere raționale, cu care suntem mai familiarizați. Le putem aduna, scădea, înmulți și împărți în același mod; singura excepție este împărțirea cu numărul 0, operație care nu este posibilă. Ordinea adunărilor și înmulțirilor nu este importantă, deoarece proprietatea comutativă este încă valabilă, iar proprietatea distributivă se aplică în același mod. În același mod, două numere reale x și y sunt ordonate într-un mod unic și doar una dintre următoarele relații este corectă:

x = y , x < y sau x > y

Numerele reale sunt infinite, la fel ca numerele întregi și numerele raționale. În principiu, acest lucru este evident deoarece atât numerele întregi, cât și cele raționale sunt submulțimi ale numerelor reale. Dar există o diferență: în cazul numerelor întregi și raționale se spune că sunt numere infinite numărabil; în schimb, numerele reale sunt infinite nenumărate.

Se spune că o mulțime este numărabilă sau numărabilă atunci când fiecare dintre componentele sale poate fi asociată cu un număr natural. Asocierea este evidentă în cazul numerelor întregi; în cazul numerelor raționale poate fi văzută ca asocierea cu o pereche de numere naturale, numărătorul și numitorul. Dar această asociere nu este posibilă în cazul numerelor reale.

Surse

• Arias Cabezas, Jose Maria, Maza Saez, Ildefonso. Aritmetică și algebră . În Carmona Rodríguez, Manuel, Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matematică 1. Bruño Editorial Group, Limited Company, Madrid, 2008.
• Carlos Ivorra. Logica si teoria multimilor . 2011.