Reguły dodawania w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Reguły dodawania w prawdopodobieństwie i statystyce odnoszą się do różnych sposobów łączenia znanych prawdopodobieństw dwóch lub więcej różnych zdarzeń w celu określenia prawdopodobieństwa nowych zdarzeń utworzonych przez sumę tych zdarzeń .

W statystyce i rachunku prawdopodobieństwa często znamy prawdopodobieństwo, że pewne zdarzenia (na przykład zdarzenia A i B) wystąpią oddzielnie, ale nie znamy prawdopodobieństwa, że ​​wystąpią one w tym samym czasie lub że wystąpi jedno lub drugie. Tutaj z pomocą przychodzą zasady dodawania.

Na przykład: możemy poznać prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki przy rzucie dwiema kośćmi, nazwijmy to P (wyrzucanie 6), oraz prawdopodobieństwo wypadnięcia na obu kostkach liczb parzystych, nazwijmy to P (liczby parzyste).

Jest to stosunkowo łatwe. Ale czasami jesteśmy zainteresowani określeniem prawdopodobieństwa, że ​​po rzucie dwiema kośćmi obie wypadną liczbę parzystą lub sumują się do sześciu. W notacji statystycznej i teorii grup to „lub” jest reprezentowane przez symbol U, który wskazuje połączenie dwóch zdarzeń iw tym przypadku prawdopodobieństwo to byłoby reprezentowane w następujący sposób:

nieznane do znalezienia

Tego rodzaju prawdopodobieństwa można obliczyć z poszczególnych prawdopodobieństw i niektórych dodatkowych danych za pomocą reguł dodawania.

Należy zauważyć, że to, którą regułę dodawania powinniśmy zastosować w każdym przypadku, zależy zarówno od liczby rozważanych zdarzeń, jak i od tego, czy zdarzenia te wzajemnie się wykluczają. Zasady dodawania dla niektórych prostych przypadków opisano poniżej.

Przypadek 1: Reguła dodawania dla zdarzeń rozłącznych lub wzajemnie się wykluczających

Dwa zdarzenia nazywamy wzajemnie wykluczającymi się, gdy wystąpienie jednego z nich wyklucza możliwość wystąpienia drugiego. Oznacza to, że są to zdarzenia, które nie mogą wystąpić w tym samym czasie. Na przykład, podczas rzucania kostką, wynik, w którym wypada 4, wyklucza, że ​​wypadło którekolwiek z pozostałych 5 możliwych wyników.

Jeśli weźmiemy pod uwagę dwa lub więcej zdarzeń (A, B, C…) wzajemnie się wykluczających, prawdopodobieństwo sumy składa się po prostu z sumy indywidualnych prawdopodobieństw każdego z tych zdarzeń. Oznacza to, że w tym przypadku prawdopodobieństwo sumy jest określone wzorem:

Reguła dodawania dla zdarzeń rozłącznych lub wzajemnie się wykluczających

Najprościej można to zrozumieć za pomocą diagramu Venna. Tutaj przestrzeń próbki jest reprezentowana przez prostokątny obszar; podczas gdy prawdopodobieństwo każdego zdarzenia jest reprezentowane przez sektory w tym większym obszarze. Na diagramie Venna wzajemnie wykluczające się zdarzenia są postrzegane jako oddzielne obszary, które ani się nie dotykają, ani nie nakładają.

Reguła dodawania dla zdarzeń rozłącznych lub wzajemnie wykluczających się Diagram Venna

W tego typu diagramach obliczenie prawdopodobieństwa sumy polega na uzyskaniu sumarycznego pola zajmowanego przez wszystkie zdarzenia, których prawdopodobieństwa rozważamy. W przypadku poprzedniego obrazu oznacza to uzyskanie całkowitej powierzchni sektorów A, B i C, czyli niebieskiego obszaru na poniższym rysunku.

prawdopodobieństwo unii

Łatwo zauważyć, że jeśli zdarzenia są rozłączne, jak w przypadku dwóch powyższych obrazów, prawdopodobieństwo sumy jest po prostu sumą trzech obszarów.

Przykład 1: Obliczenie prawdopodobieństwa uzyskania parzystego wyniku w rzucie kostką

Załóżmy, że rzucamy kostką i chcemy poznać prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej. Ponieważ jedynymi możliwymi liczbami parzystymi na 6-ściennej kostce są 2, 4 i 6, to tak naprawdę chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że kostka wypadnie na 2, 4 lub 6, ponieważ w każdym z tych przypadków wypadłoby spadły do ​​liczby parzystej.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia którejkolwiek z 6 orłów wynosi 1/6 (o ile jest to uczciwa kostka). Ponadto, jak widzieliśmy przed chwilą, te trzy wyniki wzajemnie się wykluczają, ponieważ gdyby wyrzuciły 2 rzuty, 4 lub 6 nie mogłyby wyrzucić i tak dalej. W tych warunkach prawdopodobieństwo unii jest określone wzorem:

Przykład sumy prawdopodobieństwa zdarzeń rozłącznych

Przykład sumy prawdopodobieństwa zdarzeń rozłącznych

Przypadek 2: Reguła dodawania dla dwóch zdarzeń, które się nie wykluczają

Jeśli A i B są zdarzeniami, które dzielą ze sobą wyniki, to znaczy mogą wystąpić w tym samym czasie, mówi się, że zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie. W tym przypadku diagram Venna wygląda następująco:

Reguła dodawania dla dwóch zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie diagram Venna

Jak widać, istnieje obszar przestrzeni próbki, w którym oba zdarzenia występują w tym samym czasie. Jeśli chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo unii, czyli P(AUB), musimy znaleźć obszar wskazany na diagramie Venna po prawej stronie poprzedniego rysunku.

Łatwo zauważyć, że w tym przypadku, jeśli po prostu dodamy obszary A i B, będziemy liczyć obszar wspólny dwa razy, więc otrzymamy obszar (odczyt, prawdopodobieństwo) większy niż chcemy. Aby skorygować ten nadmiarowy błąd, wystarczy odjąć obszar wspólny dla zdarzeń A i B, który odpowiada prawdopodobieństwu przecięcia:

Reguła dodawania dla dwóch zdarzeń, które się nie wykluczają

To wyrażenie na prawdopodobieństwo zjednoczenia odnosi się również do poprzedniego przypadku, ponieważ będąc wzajemnie wykluczającymi się, prawdopodobieństwo ich wystąpienia w tym samym czasie (prawdopodobieństwo przecięcia) wynosi zero.

Przykład 2: Obliczenie prawdopodobieństwa uzyskania parzystego wyniku lub uzyskania liczby mniejszej niż 4 podczas rzutu kostką

W tym przypadku oba zdarzenia dzielą wynik 2, który jest zarówno parzysty, jak i mniejszy niż 4, więc prawdopodobieństwo sumy będzie wynosić:

Reguła dodawania dla dwóch zdarzeń, które się nie wykluczają

Reguła dodawania dla dwóch zdarzeń, które się nie wykluczają

Przypadek 3: Reguła dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Innym nieco bardziej złożonym przypadkiem są 3 zdarzenia, które nie wykluczają się wzajemnie, takie jak to pokazane na poniższym diagramie Venna:

Reguła dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

W tym przypadku suma trzech obszarów liczy dwa razy strefy przecięcia między A i B, między B i C oraz między C i D i liczy trzy razy strefę przecięcia trzech zdarzeń A, B i C. Jeśli to zrobimy tak jak poprzednio i odjąć obszary przecięcia między każdą parą zdarzeń od sumy trzech obszarów, odejmiemy trzykrotność obszaru środka, więc należy go dodać jako prawdopodobieństwo przecięcia się trzech zdarzeń. Wreszcie ogólna zasada dodawania dla trzech niewyłącznych wydarzeń jest podana przez:

Reguła dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Tak jak poprzednio, to wyrażenie jest ogólne dla dowolnego zestawu trzech zdarzeń, niezależnie od tego, czy są one rozłączne, czy nie, ponieważ w tym przypadku przecięcia będą puste, a wynik będzie taki sam jak w pierwszym przypadku.

Przykład 3: Obliczenie prawdopodobieństwa otrzymania liczby parzystej, liczby mniejszej niż 10 lub liczby pierwszej na kostce 20-ściennej

W tym przypadku istnieją trzy zdarzenia, które dzielą wyniki między, a także zawierają wyniki, które nie są wspólne, więc prawdopodobieństwo sumy jest określone przez wyżej wymienione wyrażenie.

Prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń są następujące:

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Teraz prawdopodobieństwa przecięcia wynoszą:

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Teraz, stosując równanie na prawdopodobieństwo sumy:

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Przykład reguły dodawania dla trzech zdarzeń, które nie wykluczają się wzajemnie

Bibliografia

-Reklama-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

zmienne zależne