Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Podczas przeprowadzania różnych rodzajów obliczeń, czy to w nauce, czy inżynierii, bardzo często odwołujemy się do danych eksperymentalnych, które znajdujemy uporządkowane w różnych tabelach. Dane te zwykle odnoszą się do dwóch zmiennych, o których wiemy, że są od siebie zależne, ale których matematycznych zależności nie znamy. Nie stanowiłoby to problemu, gdyby wszystkie potrzebne dane znajdowały się w tabeli, ale zdarza się to rzadko. Częściej zdarza się, że potrzebujemy wartości jednej ze zmiennych dla wartości drugiej, której nie ma w tabeli.

Kiedy tak się dzieje, możemy dopasować dane eksperymentalne lub tabelaryczne do wielomianowej funkcji matematycznej, której możemy następnie użyć do przybliżenia nieznanej wartości zmiennej będącej przedmiotem zainteresowania. Proces ten może obejmować interpolację lub ekstrapolację.

Te dwa procesy są ze sobą ściśle powiązane i opierają się na tej samej podstawowej procedurze dostrajania, ale nie są tożsame. Następnie omówimy, jakie są główne różnice między tymi dwiema metodami szacowania wartości zmiennej zależnej dla danej wartości zmiennej niezależnej.

definicja interpolacji

Interpolacja to proces szacowania wartości zmiennej zależnej dla określonej wartości zmiennej niezależnej na podstawie znajomości zbioru danych lub dyskretnych punktów powyżej i poniżej punktu, który chcemy oszacować. Innymi słowy, jest to proces szacowania punktu, który leży między dwoma znanymi punktami. Poniższy wykres przedstawia serię danych reprezentowanych przez niebieskie punkty, a czerwony punkt reprezentuje interpolację między punktami w X 1 i X 2 .

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Słowo interpolacja pochodzi od połączenia dwóch łacińskich słów, które są przedrostkiem inter-, co oznacza pomiędzy lub w odstępach, oraz -polire , co oznacza pchać lub zmuszać, odnosząc się do faktu, że interpolacja ma związek z pchaniem lub przesuwaniem dwóch danych do punktu, który leży między nimi.

Definicja ekstrapolacji

Ekstrapolację można rozumieć jako proces szacowania wartości zmiennej zależnej dla wartości zmiennej niezależnej na podstawie zbioru punktów lub danych, z których wszystkie są większe lub wszystkie mniejsze od punktu, który ma zostać oszacowany.

Innymi słowy, jest to proces szacowania wartości punktu, który znajduje się powyżej lub poniżej wszystkich znanych punktów lub danych. Poniższy rysunek przedstawia przykład ekstrapolacji danych do punktu znajdującego się ponad wszystkimi znanymi danymi.

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Z etymologicznego punktu widzenia ekstrapolacja ma ten sam rdzeń łaciński – polire , tylko tym razem poprzedzony jest łacińskim przedrostkiem extra- oznaczającym poza. Zatem termin ten odnosi się do oszacowania punktów, które znajdują się poza zakresem oryginalnego zestawu danych, ponieważ są większe lub mniejsze niż wszystkie znane dane.

Różnice w niepewności interpolacji i ekstrapolacji

Porównując interpolację z ekstrapolacją można zauważyć istotną różnicę dotyczącą ryzyka uzyskania wyników znacznie odbiegających od rzeczywistej wartości poszukiwanych danych. W przypadku interpolacji, ponieważ przeprowadza się ją pomiędzy dwoma kolejnymi punktami, możemy mieć pewien stopień pewności, że interpolowana wartość jest gdzieś pomiędzy tymi dwoma punktami. Oznacza to, że mamy pewną pewność, że wartość nieznanej funkcji nie wzrośnie ani nie spadnie przed osiągnięciem następnego punktu, ponieważ wiemy, gdzie jest ten następny punkt.

Zamiast tego, kiedy przeprowadzamy ekstrapolację, rzutujemy zachowanie danych do przodu lub do tyłu, a ponieważ nie ma punktów odniesienia do przodu (lub dalej do tyłu, jeśli tak było), nie mamy możliwości dowiedzenia się, jak się zachowuje naprawdę zmienna. Może nadal zachowywać się tak samo, jak wcześniej, na przykład może nagle strzelać w dowolnym kierunku. Z tego powodu ekstrapolacja niesie ze sobą większą niepewność niż interpolacja.

Zazwyczaj są one dopasowane do różnych funkcji wielomianowych

Procesy ekstrapolacji i interpolacji opierają się na dopasowaniu dwóch lub więcej znanych punktów do funkcji matematycznej, która pozwoli nam przewidzieć wartość funkcji w innych nieznanych punktach. Zarówno w przypadku interpolacji, jak i ekstrapolacji, najczęściej używaną funkcją estymacji jest funkcja liniowa (y = mx + b). Chociaż ta funkcja jest odpowiednia zarówno do interpolacji, jak i ekstrapolacji, gdy nieznana wartość, którą chcemy oszacować, jest dość blisko znanych punktów, nie ma to już miejsca w przypadku ekstrapolacji z dala od skrajności.

W rzeczywistości, jeśli dane jako całość nie zachowują się wyjątkowo liniowo, ekstrapolacje mogą bardzo szybko oddalać się od prawdziwej wartości, gdy oddalamy się od którejkolwiek skrajności. Dlatego ekstrapolacja zwykle wymaga większej staranności i użycia funkcji ekstrapolacji, które są bardziej złożone lub mają wyższe rzędy niż te używane do interpolacji.

W tym drugim przypadku interpolacja liniowa jest prawie zawsze wystarczająca, zakładając, że znane dane lub punkty nie są zbyt daleko od siebie.

Mogą różnić się liczbą elementów danych potrzebnych do oszacowania

Inną ważną różnicą między interpolacją a ekstrapolacją jest liczba elementów danych wymaganych do przeprowadzenia oszacowania. W interpolacji prawie zawsze przyjmuje się, że wartość szukanego punktu leży na prostej łączącej dwa najbliższe punkty. W takim przypadku znajomość tych dwóch punktów wystarczy do przeprowadzenia interpolacji. Innymi słowy, wpływ błędu oszacowania nachylenia na interpolację rzadko jest poważny, ponieważ oszacowany punkt prawie zawsze będzie leżeć między dwoma znanymi punktami.

Z drugiej strony, w przypadku ekstrapolacji, ponieważ w miarę oddalania się od najwyższego (lub najniższego) punktu różnice w nachyleniu linii mają coraz większy wpływ na wartość y, bardzo ryzykowne jest przyjęcie tylko dwóch punkty, aby obliczyć nachylenie. W takich przypadkach zwykle wykonuje się dopasowanie kilku punktów do najlepszej linii lub do innej funkcji wielomianowej wyższego rzędu za pomocą procesu najmniejszych kwadratów, zapewniając w ten sposób, że prosta, którą ekstrapolujemy do przodu (lub do tyłu), odzwierciedla ogólne zachowanie dane jako całość, a nie tylko kilka z nich.

Liniowa interpolowana i ekstrapolowana

W przypadku interpolacji liniowej i ekstrapolacji liniowej stosuje się zasadniczo te same równania matematyczne. W obu przypadkach funkcja interpolacji ma postać y = mx + b, gdzie y to wartość, której szukamy dla danej wartości x, m to nachylenie prostej, do której dopasowujemy dane, a b jest przecięciem z osią y funkcji interpolacji.

Nachylenie funkcji liniowej można obliczyć z dowolnych dwóch punktów za pomocą wzoru:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Możemy zastosować ten wzór dwukrotnie, raz między dowolnymi dwoma punktami serii znanych danych, a drugi między znanym punktem a punktem, który chcemy znaleźć. Ponieważ w obu przypadkach nachylenie jest takie samo, możemy dopasować oba wyrażenia iw ten sposób otrzymać wzór, który wiąże wartość y, której szukamy, z określoną wartością x, którą mamy.

Przykład

Załóżmy, że chcemy użyć dwóch kolejnych punktów p k-1 =(x k-1 ; y k-1 ) i p k = (x k ; y k ) do interpolacji lub ekstrapolacji dowolnego punktu (x ; y). Możemy następnie zapisać nachylenie dwukrotnie i zrównać, aby uzyskać:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Przekształcając to równanie, otrzymujemy:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Należy zauważyć, że w tym przypadku nic nie zakłada się o położeniu punktu (x ; y) w stosunku do dwóch danych używanych do oszacowania, więc to samo równanie jest używane zarówno do interpolacji, jak i do ekstrapolacji.

Jeśli zostanie zweryfikowane, że x k-1 < x < x k , czyli innymi słowy, że x leży między x k-1 a x k , to jest to interpolacja. Z drugiej strony, jeśli x>x max lub x<x min , czyli jeśli x jest większe niż wartość maksymalna lub mniejsze niż wartość minimalna serii danych, to jest to ekstrapolacja.

przykład interpolacji

Załóżmy, że wiemy, że popyt na pizze w wenezuelskim mieście Mérida wynosi 500 000 sztuk rocznie, gdy średnia cena za sztukę wynosi 20 USD, podczas gdy przy średniej cenie 15 USD popyt wzrasta do 750 000. Jesteśmy zainteresowani oszacowaniem, jaki byłby popyt, gdybyśmy ustalili cenę na 16,5 USD.

Rozwiązanie

Należy zauważyć, że jest to przykład interpolacji, ponieważ punkt, który chcemy oszacować, odpowiadający cenie 16,5 USD, znajduje się między dwoma znanymi punktami (tj. między 15 a 20 USD). Dla tego przykładu mamy:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Teraz, stosując wzór na interpolację liniową:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

 Tak więc, jeśli średnia cena pizzy zostanie ustalona na 16,5 USD za sztukę, roczny popyt wyniesie 675 000 pizz rocznie.

Przykłady ekstrapolacji

Załóżmy, że w powyższym przykładzie chcemy ustalić, jaki byłby popyt, gdyby cena wzrosła do 25 USD za sztukę. Ponieważ w tym przypadku sprawdza się, że x = 25 $ > 20 $, to jest to ekstrapolacja. Ponownie dane są następujące:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Zastępowanie:

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Różnice między ekstrapolacją a interpolacją

Dlatego ekstrapolacja przewiduje, że jeśli cena wzrośnie do 25 USD, popyt spadnie do połowy tego, co wynosił 20 USD.

Bibliografia

Alonso. (2006, 13 lutego). 3 Metody interpolacji z punktów . Uniwersytet w Madrycie. https://www.um.es/geograf/sigmur/temariohtml/node43_mn.html

Gonza, D. (2016, wrzesień). Jednostka: interpolacja i ekstrapolacja danych . doloresgonza.files. https://doloresgonza.files.wordpress.com/2016/09/interpolacion-1.pdf

LesKanaris. (nd). Różnica między ekstrapolacją a interpolacją – Ciekawe – 2022 . https://us.leskanaris.com/3668-the-difference-between-extrapolation-and-interpolation.html

Pinzón, J. (2013, 9 października). Interpolacja i ekstrapolacja . julianapinzon. https://julianapinzon.wordpress.com/interpolacion-y-extrapolacion/

UNIKALNE. (2021, 14 września). Formuła interpolacji liniowej, definicja, przykłady i więcej . https://unigal.mx/formula-de-interpolacion-lineal-definicion-ejemplos-y-mas/

-Reklama-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

zmienne zależne