Przykład obliczania odchylenia standardowego populacji

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Odchylenie standardowe populacji jest jednym z najważniejszych parametrów populacji służących do pomiaru zmienności lub rozproszenia danych w obrębie populacji. Jak każdy parametr w statystyce, jest on reprezentowany przez grecką literę, w tym przypadku literę σ (sigma). Pozwala to na łatwe odróżnienie go od odchylenia standardowego próbki (próbek), które, choć podobne, nie jest takie samo ani nie jest obliczane przy użyciu tych samych wzorów.

Następnie zobaczymy na przykładzie różne sposoby obliczania odchylenia standardowego populacji. Należy zauważyć, że aby obliczyć odchylenie standardowe populacji , niezbędna jest znajomość wszystkich danych dotyczących populacji. Rzadko zdarza się to w rzeczywistych kontekstach, ale nadal ważne jest, aby zrozumieć, w jaki sposób jest obliczany, ponieważ pomaga to zrozumieć niektóre matematyczne cechy tego ważnego parametru.

Formuły odchylenia standardowego populacji

W zależności od dostępnych danych odchylenie standardowe populacji można wyznaczyć za pomocą trzech różnych wzorów.

Matematyczna definicja odchylenia standardowego populacji

Odchylenie standardowe definiuje się jako pierwiastek kwadratowy z wariancji, σ 2 . Oznacza to, że jeśli znamy wariancję populacji, możemy obliczyć odchylenie standardowe za pomocą następującego równania:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Taka sytuacja zdarza się rzadko, ale warto o tym pamiętać.

Inne wzory na odchylenie standardowe populacji

Jeśli zamiast znać wariancję populacji, znamy wszystkie N elementów danych, które ją tworzą, możemy obliczyć odchylenie standardowe populacji jako pierwiastek kwadratowy ze średniej kwadratów odchyleń od średniej. To jest do powiedzenia:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

W tym równaniu x i reprezentuje wartość każdego elementu danych w populacji, N reprezentuje liczbę elementów danych w populacji (lub wielkość populacji, która jest taka sama), a μ to średnia populacji. Należy zauważyć, że średnia populacji jest również reprezentowana przez grecką literę, ponieważ jest to kolejny parametr populacji, a wielkość populacji jest reprezentowana przez N (dużą literę), aby odróżnić ją od n, które jest zwykle związane z wielkością próby .

Średnia populacji, μ, jest dana wzorem:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Równanie 2 można rozszerzyć, przeorganizować i uprościć, aby uzyskać:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

W przypadku braku danych indywidualnych dla populacji, a danych zgrupowanych w tabeli częstości, poprzednie wzory są nieznacznie modyfikowane i dają:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

W powyższych równaniach wielkość leżąca w pierwiastku to nic innego jak wariancja populacji. Równanie 4 ma tę zaletę, że zostało ustalone wyłącznie na podstawie danych populacyjnych, a nie jakiegoś parametru populacyjnego, jak w przypadku równań 2 i 5.

Przykład obliczania odchylenia standardowego populacji

Załóżmy, że chcemy określić zmienność masy konkretnego modelu samochodu, którego na całym świecie znanych jest tylko 20 egzemplarzy. Dane dotyczące masy w kilogramach tych 20 samochodów przedstawiono w poniższej tabeli:

410 408 408 405 391 390 402 397 397 395
390 404 397 394 399 397 405 408 410 400

Ponieważ wiemy, że jest tylko 20 samochodów tego modelu, reprezentują one całą populację, więc mamy wszystkie dane potrzebne do określenia odchylenia standardowego populacji. Przyjrzyjmy się trzem różnym sposobom określenia tego odchylenia standardowego.

Metoda 1: Obliczenia na podstawie definicji wariancji

Metoda ta opiera się na wykorzystaniu równania 2 przedstawionego powyżej. Jak widać, równanie wymaga użycia średniej populacji i kolejnej serii obliczeń, które są szczegółowo opisane poniżej:

Krok 1: Określ średnią populacji

Średnią populacji lub μ oblicza się za pomocą równania 3, dodając wszystkie dane i dzieląc przez całkowitą liczbę danych, która w tym przypadku wynosi 20.

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Krok 2: Oblicz odchylenia od średniej

Ten krok obejmuje obliczenie odejmowań (x i – μ). Na przykład:

x 1 – μ = 410 – 400,35 kg = 9,65 kg

x 2 – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

x 3 – μ = 408 – 400,35 kg = 7,65 kg

X 20 – μ = 400 kg – 400,35 kg = – 0,35

Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli:

x ja x ja – μ
410 9.65
408 7,65
408 7,65
405 4,65
391 -9.35
390 -10.35
402 1,65
397 -3,35
397 -3,35
395 -5,35
390 -10.35
404 3,65
397 -3,35
394 -6.35
399 -1,35
397 -3,35
405 4,65
408 7,65
410 9.65
400 -0,35

Krok 3: Podnieś do kwadratu wszystkie odchylenia od średniej

(x 1 – μ) 2 = (9,65) 2 = 93,1225 kg 2

(x 2 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 3 – μ) 2 = (7,65) 2 = 58,5225 kg 2

(x 20 – μ) 2 = (– 0,35) 2 = 0,1225 kg 2

Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli:

x ja / kg (x i – μ)/ kg (x ja – μ ) 2 / kg 2
410 9.65 93.1225
408 7,65 58.5225
408 7,65 58.5225
405 4,65 21.6225
391 -9.35 87.4225
390 -10.35 107.1225
402 1,65 2,7225
397 -3,35 11.2225
397 -3,35 11.2225
395 -5,35 28.6225
390 -10.35 107.1225
404 3,65 13.3225
397 -3,35 11.2225
394 -6.35 40.3225
399 -1,35 1,8225
397 -3,35 11.2225
405 4,65 21.6225
408 7,65 58.5225
410 9.65 93.1225
400 -0,35 0,1225

Krok 4: Dodaj wszystkie kwadraty odchyleń

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Krok 5: Zastosuj wzór równania 2

Teraz, gdy mamy tę sumę, pozostaje tylko zastąpić tę wartość, a także liczbę danych, która wynosi 20, w równaniu 2:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Otrzymujemy zatem, że odchylenie standardowe masy populacji 20 samochodów wynosi ok. 6,5kg.

Metoda 2: Korzystanie z przegrupowanego równania

Teraz przeprowadzimy te same obliczenia, ale używając równania 4, które jest równoważne równaniu, którego właśnie użyliśmy, ale jest bardziej praktyczne, zwłaszcza jeśli pracujesz z większą liczbą danych. Główną korzyścią jest to, że nie jest konieczne obliczanie dodatkowego parametru (średniej populacji), aby móc obliczyć odchylenia, ale wszystko jest obliczane na podstawie oryginalnych danych indywidualnych. Ponadto w żadnym momencie nie musisz pracować z liczbami ujemnymi, które są głównym źródłem błędów wśród uczniów.

Krok 1: Oblicz kwadrat poszczególnych danych

Oznacza to, że przeprowadzane są następujące obliczenia:

(x 1 ) 2 = (410) 2 = 168100 kg 2

(x 2 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2

(x 3 ) 2 = (408) 2 = 166,464 kg 2

(x 20 ) 2 = (400) 2 = 160 000 kg 2

Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli:

x ja x ja 2
410 168100
408 166464
408 166464
405 164025
391 152881
390 152100
402 161604
397 157609
397 157609
395 156025
390 152100
404 163216
397 157609
394 155236
399 159201
397 157609
405 164025
408 166464
410 168100
400 160 000

Krok 2: Dodaj wszystkie indywidualne dane

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Krok 3: Dodaj wszystkie kwadraty

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Krok 4: Zastosuj wzór z równania 4

Ostatnim krokiem jest wprowadzenie tych dwóch wartości i liczby danych do równania 4 w celu uzyskania odchylenia standardowego populacji:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Metoda 3: Korzystanie z arkuszy kalkulacyjnych

Arkusze kalkulacyjne, takie jak Microsoft Excel, Apple Numbers czy Google Sheets, wśród swoich podstawowych funkcji zawierają bezpośrednie obliczenie odchylenia standardowego (zarówno próby, jak i populacji). Te funkcje przyjmują zestaw danych jako argument i wykonują wszystkie obliczenia pokazane w poprzedniej metodzie, aby bezpośrednio zwrócić odchylenie standardowe w komórce, w której wprowadzono formułę.

Procedura jest następująca:

Krok 1: Wprowadź dane do arkusza kalkulacyjnego

Dane możemy wprowadzić w postaci kolumny, wiersza lub macierzy w dowolnym miejscu arkusza kalkulacyjnego. Poniższy zrzut ekranu pokazuje, jak wyglądają dane dotyczące tego problemu w programie Excel 2016.

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Krok 2: Użyj wzoru do obliczenia odchylenia standardowego

Po dodaniu danych używamy funkcji odchylenia standardowego, umieszczając jako argumenty komórki, w których znajdują się dane.

Aby wywołać funkcję w arkuszu kalkulacyjnym, zwykle zaczynamy od wpisania znaku równości (=), po którym następuje nazwa funkcji, której chcemy użyć. Nazwy różnią się nieznacznie w zależności od aplikacji, aw niektórych przypadkach zmieniają się również w zależności od języka, w którym pracujesz.

W przypadku Excela (wersja hiszpańska) funkcja do obliczania odchylenia standardowego populacji nazywa się STDEV.P, natomiast w Arkuszach Google jest to STDEVP (bez kropki). Następnie musisz podać argumenty funkcji w nawiasach. W naszym przykładzie jako argument przekazujemy zakres komórek, w których znajdują się dane (zakres od komórki A3 do J4).

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Po naciśnięciu ENTER program uruchamia funkcję i oblicza odchylenie standardowe populacji, prezentując wynik w odpowiedniej komórce, jak pokazano poniżej:

Przykład obliczenia odchylenia standardowego populacji

Jak widzimy, każda z trzech praktykowanych tutaj metod daje ten sam rezultat. To po prostu różne sposoby robienia tego samego.

inne metody

Oprócz trzech metod wymienionych powyżej, kalkulatory naukowe i finansowe często mają również funkcję określania odchylenia standardowego zbioru danych, czy to próby, czy populacji. Sposób wprowadzania danych i uzyskiwania wyników różni się w zależności od producenta, a nawet modelu kalkulatora, dlatego niepraktyczne jest pokazywanie tutaj konkretnych kroków, które należy wykonać.

Zamiast tego omówimy najważniejsze ogólne kroki bez zagłębiania się w nie. Każdy, kto chce korzystać z tej funkcji w swoim kalkulatorze naukowym, powinien zapoznać się z instrukcją obsługi dołączoną do kalkulatora lub przeszukać ją w Internecie, aby określić konkretną kombinację klawiszy w każdym przypadku.

Krok 1: Wyczyść pamięć

W wielu kalkulatorach wcześniej zapisane dane nie są widoczne. Jeśli wprowadzimy dane o innych, które były już zapisane, nie zdając sobie z tego sprawy, kalkulator poda błędny wynik. Aby tak się nie stało, zaleca się wyczyszczenie całej pamięci kalkulatora (lub przynajmniej trybu analizy statystycznej) przed rozpoczęciem wprowadzania nowych danych.

Krok 2: Uzyskaj dostęp do trybu statystyk

Funkcje do obliczania odchylenia standardowego są częścią trybu „Statystyka”, „Statystyka” lub po prostu „S” w większości kalkulatorów, dlatego musimy zacząć od wejścia w ten tryb działania.

Krok 3: Wprowadź dane

Różni się to w zależności od kalkulatora. W niektórych przypadkach dane można dodawać w formie tabelarycznej, w innych dane wprowadza się pojedynczo po naciśnięciu klawisza DT (lub DAT). Ważne jest, aby sprawdzić liczbę danych wprowadzonych na końcu tego kroku, aby upewnić się, że żadnych nie brakuje.

Krok 4: Oblicz odchylenie standardowe populacji

Po wprowadzeniu danych pozostaje tylko zapytać kalkulatora o wynik, którego szukamy. W wielu kalkulatorach zarówno odchylenie standardowe próbki, jak i populacji są reprezentowane przez symbol σ (mimo że jest to błąd w przypadku odchylenia próbki). Możemy jednak odróżnić odchylenie próbki od odchylenia populacji, ponieważ odchyleniu próbki towarzyszy n-1 (to znaczy pojawia się jako σ n- 1 ), podczas gdy odchylenie populacji pojawia się jako s n . Odnosi się to do faktu, że przy obliczaniu odchylenia standardowego próby jest ono dzielone przez n-1 zamiast n jak w populacji.

Bibliografia

Pożerać, JL (2019). Prawdopodobieństwo i statystyka ( wyd . 1). Nauka Cengage’a.

MateMobile. (2021, 1 stycznia). Wariancja i odchylenie standardowe dla danych podzielonych na kategorie | matermobil . https://matemovil.com/varianza-y-desviacion-estandar-para-datos-agrupados-por-intervalos/

Pomoc techniczna Google. (nd). ODCH.STANDARDOWE (ODCH.STANDARDOWE) – Pomoc Edytorów Dokumentów Google . Google — Pomoc dotycząca edytorów Dokumentów Google. https://support.google.com/docs/answer/3094054?hl=pl-419

Superprof. (nd). Odchylenie standardowe . Słownik matematyczny | Superprof. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/estadistica/desviacion-estandar.html

TOMi.cyfrowy. (nd). Odchylenie standardowe dla danych zgrupowanych . https://tomi.digital/en/52202/standard-deviation-for-grouped-data?utm_source=google&utm_medium=seo

-Reklama-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

zmienne zależne