Tabla de Contenidos
W statystyce bardzo często spotykamy się z sytuacjami, w których chcemy obliczyć sumę prawdopodobieństwa kilku różnych zdarzeń. Na przykład właściciel sklepu ze słodyczami może być zainteresowany ustaleniem, jakie jest prawdopodobieństwo, że następne dziecko, które wejdzie do jego sklepu, kupi tabliczkę białej lub mlecznej czekolady. W tym przypadku chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo zajścia jednego z dwóch możliwych zdarzeń, które zgodnie z teorią mnogości jest sumą prawdopodobieństwa obu zdarzeń, czyli P(AUB).
W opisanym przypadku obliczenie tego prawdopodobieństwa polega po prostu na zsumowaniu poszczególnych prawdopodobieństw pomniejszonych o prawdopodobieństwo przecięcia się obu zdarzeń, czyli:
Powodem, dla którego prawdopodobieństwo przecięcia musi zostać odjęte, jest to, że dodając prawdopodobieństwa obu zdarzeń, każde przecięcie jest liczone dwukrotnie. Jest to stosunkowo prosty proces do zrozumienia. Jednak może się też zdarzyć, że chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo sumy nie dwóch, ale trzech lub więcej zdarzeń. Co należy zrobić w takich przypadkach? W następnej sekcji przyjrzymy się prostemu sposobowi określenia wzoru, który należy zastosować w przypadkach trzech i czterech zdarzeń, a następnie użyjemy tych wyników wraz z powyższym wzorem do uogólnienia wyznaczania prawdopodobieństwa sumy dla dowolnej liczby zdarzeń.
Przegląd podstaw
Aby zrozumieć proces obliczania prawdopodobieństw sumy, konieczne jest krótkie przypomnienie kilku ważnych terminów, które będą używane później:
eksperyment . Najprawdopodobniej eksperymentem jest każdy proces, który można powtarzać wiele razy i zawsze daje wynik. Każdy eksperyment jest powiązany z pewnym zestawem możliwych wyników, które zawsze będą takie same.
Wynik . Konsekwencję eksperymentu nazwiemy wynikiem, takim jak konkretna twarz, która wychodzi podczas rzucania kostką.
Przestrzeń próbki (S) . Zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu.
wydarzenie . Dowolny zestaw możliwych wyników.
Diagram Venna . Graficzna reprezentacja przedstawiająca zależności między zbiorami zdarzeń oraz między prawdopodobieństwem zdarzeń w eksperymencie.
Prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń
Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment i chcemy określić prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z 3**3 trzech różnych zdarzeń, które mogą, ale nie muszą, wystąpić jednocześnie. Nazwiemy te trzy zdarzenia A, B i C.
W takich przypadkach może wystąpić kilka różnych sytuacji. Na przykład może się zdarzyć, że żadne ze zdarzeń nie ma wspólnych wyników z żadnym innym, w takim przypadku mówimy, że zdarzenia wzajemnie się wykluczają, co ilustruje poniższy diagram Venna:
Okręgi A, B i C reprezentują trzy zdarzenia i obejmują zestaw wyników w przestrzeni próbki, którą jest szary prostokąt oznaczony literą S. W takich przypadkach prawdopodobieństwo sumy jest po prostu sumą prawdopodobieństw każdego oddzielne wydarzenie:
Z drugiej strony, jedno z wydarzeń może również dzielić wyniki z jednym z dwóch pozostałych wydarzeń, a nawet z obydwoma. Jest to zilustrowane na diagramie Venna jako obszary, które się przecinają.
W takich przypadkach suma prawdopodobieństw uwzględnia niektóre wyniki więcej niż jeden raz, dlatego konieczne jest odjęcie tych prawdopodobieństw, które zostały przeliczone. Oznacza to, że musimy odjąć prawdopodobieństwo przecięcia się każdej pary zdarzeń. Jednak w przypadkach, gdy we wszystkich trzech zdarzeniach występują wyniki (takie jak te w środku powyższego diagramu Venna), odjęcie przecięć par usuwa udział centralnego obszaru, w którym pary się przecinają. trzy zdarzenia. Z tego powodu musimy ponownie dodać ten mały obszar, który odpowiada prawdopodobieństwu przecięcia się A, B i C.
Wreszcie prawdopodobieństwo sumy trzech zdarzeń wynosi:
UWAGA: Chociaż to wyrażenie zostało podane dla konkretnego przypadku, w którym trzy zdarzenia się przecinają, jest to bardziej ogólna postać przypadku trzech zdarzeń, ponieważ można je przekształcić w prawdopodobieństwo sumy dowolnego zestawu trzech zdarzeń, niezależnie od tego, czy się przecinają albo nie. Na przykład w przypadku wzajemnie wykluczających się zdarzeń wszystkie prawdopodobieństwa przecięcia są równe zeru, więc wyrażenie sprowadza się do sumy poszczególnych prawdopodobieństw pokazanych na początku tej sekcji.
Suma prawdopodobieństwa czterech zdarzeń
Załóżmy teraz, że przeprowadzamy nowy eksperyment i interesuje nas prawdopodobieństwo połączenia czterech zdarzeń: A, B, C i D. Najbardziej ogólny przypadek jest taki, że wszystkie mogą się przecinać, jak pokazano na poniższym diagramie:
W tym przypadku suma czterech prawdopodobieństw prostych daje czterokrotność prawdopodobieństwa wyników zawartych w obszarze I, trzykrotność prawdopodobieństwa wyników w obszarach II, III, IV i V oraz dwukrotnie prawdopodobieństwo wyników w obszarach VI, VII, VIII i IX. Aby to poprawić, musimy najpierw odjąć prawdopodobieństwa przecięcia wszystkich par (A i B, A i C, A i D, B i C, B i D oraz C i D). To z kolei zbyt wiele razy odejmuje regiony przecięcia każdej grupy trzech (ABC, ABD, ACD i BCD), więc te obszary muszą zostać ponownie dodane i tak dalej, aż wszystkie obszary zostaną policzone raz.
Wynik dla przypadku czterech zdarzeń, niezależnie od tego, czy wzajemnie się wykluczają, czy nie, jest następujący:
Unijne prawdopodobieństwo więcej niż czterech zdarzeń
Do tego momentu możemy już wykryć wzór między wzorami na sumę prawdopodobieństw dwóch, trzech i czterech zdarzeń. Wszystkie zaczynają się od sumy prawdopodobieństw prostych, następnie odejmuje się prawdopodobieństwa przecięcia między wszystkimi możliwymi parami zdarzeń, następnie dodaje się prawdopodobieństwa przecięcia każdej możliwej grupy trzech zdarzeń i tak dalej, na przemian dodając i odejmując punkty przecięcia. więcej zdarzeń, aż dojdziemy do punktu przecięcia wszystkich zdarzeń. Dla parzystej liczby zdarzeń to ostatnie przecięcie jest zawsze ujemne (odejmowane), podczas gdy dla nieparzystej liczby zdarzeń jest zawsze dodatnie (dodawane).
Bibliografia
- Arrizabalaga R., M. (2015, wrzesień). TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA . AUTONOMICZNY UNIWERSYTET PAŃSTWOWY W MEKSYKU. https://core.ac.uk/download/pdf/55528069.pdf
- DeVore, J. (2002). Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk ścisłych (wyd. 5). Thomsona International.
- Manuel, M. (2020, 1 lipca). Prawdopodobieństwo unii zdarzeń . Łatwa matematyka. https://lasmatesfaciles.com/2020/06/29/probabilidad-de-la-union-de-sucesos/
- Marta M. (2021, 27 marca). Związek wydarzeń lub zdarzeń . Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/union-de-sucesos.html
