Dlaczego silnia zera jest równa jeden?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Silnia dodatniej liczby całkowitej jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych mniejszych lub równych jej i jest oznaczona symbolem !. Na przykład silnia liczby 4 jest wyrażona jako 4! i jest równy 24:

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

W szczególności silnia liczby 0 (czyli 0!) jest zdefiniowana jako równa 1, chociaż wartość ta nie wynika z definicji silni, która obowiązuje tylko dla dowolnej liczby całkowitej większej lub równej 1. Dlaczego Dlaczego silnia liczby 0 jest zdefiniowana jako 1, skoro istnieje reguła matematyczna, która mówi, że każda liczba pomnożona przez zero daje zero?

Poza zamieszaniem, jakie może wywołać ta sytuacja, należy zauważyć, że wartość silni liczby 0 jest definicją ; to znaczy matematycznie definiuje się, że 0! = 1. Zobaczmy poniżej podstawy tej definicji.

Definicja silni liczby 0

Jak już wspomnieliśmy, należy przede wszystkim zauważyć, że przypisanie silni liczby 0 (0! = 1) wartości 1 jest definicją, chociaż w zasadzie nie prowadzi to do zadowalającego wyjaśnienia, jeśli tylko spojrzymy w definicji silni.

Przypomnijmy, że definicja silni dodatniej liczby całkowitej jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych równych lub mniejszych od niej. Zauważ, że ta definicja implikuje również, że silnia jest powiązana ze wszystkimi możliwymi kombinacjami liczb mniejszych lub równych liczbie, którą rozważamy.

Liczba 0 nie ma liczb całkowitych dodatnich mniejszych od niej, ale nadal jest liczbą i istnieje tylko jedna możliwa kombinacja tego konkretnego zestawu liczb złożonego tylko z liczby 0. Ta kombinacja to jeden, tak jak w przypadku liczby 1.

Aby lepiej zrozumieć matematyczny sens tej definicji, należy wziąć pod uwagę, że pojęcie silni obejmuje również inne informacje zawarte w liczbie, a konkretnie możliwe permutacje jej czynników. Nawet w zbiorze pustym reprezentowanym przez liczbę 0 można sądzić, że istnieje sposób uporządkowania tego zbioru.

Permutacje i silnie

Pojęcie silni jest używane w gałęzi matematyki zwanej kombinatoryką, dyscyplinie, w której definiuje się pojęcie permutacji elementów. Permutacja to specyficzna i niepowtarzalna kolejność elementów, które składają się na pewien zbiór. Na przykład istnieje sześć możliwych permutacji zbioru {1, 2, 3}, zawierającego trzy elementy, ponieważ możemy zapisać te elementy na sześć następujących sposobów:

  • 1, 2, 3
  • 1, 3, 2
  • 2, 3, 1
  • 2, 1, 3
  • 3, 2, 1
  • 3, 1, 2

Moglibyśmy również wyrazić to pojęcie za pomocą silni wyrażenia trzy, 3! = 6, co pozwala nam obliczyć pełny zestaw permutacji grupy 3 elementów. Podobnie istnieją 24 permutacje (4!=24) zbioru czteroelementowego i 120 możliwych permutacji (5!=120) zbioru pięcioelementowego. Tak więc alternatywnym sposobem myślenia o silni jest odłożenie na bok idei, że jest ona powiązana z liczbą naturalną n  i myślenie, że  n ! jest liczbą permutacji zbioru składającego się z  n  elementów.

Zobaczmy teraz kilka przykładów rozważających tę nową koncepcję silni liczby. Zbiór składający się z dwóch elementów ma dwie możliwe permutacje: {a, b} można uporządkować jako (a, b) lub jako (b, a). Wiąże się to z definicją silni liczby 2; 2! = 2. Zbiór złożony z jednego elementu {a} ma tylko jedną możliwą permutację i jest powiązany z definicją silni liczby 1; 1! = 1.

Wróćmy teraz do przypadku silni liczby 0. Zbiór całkowany przez elementy zerowe nazywamy zbiorem pustym. Aby znaleźć wartość silni 0, możemy zadać sobie pytanie, na ile sposobów możemy uporządkować zbiór bez elementów? I chociaż jedną odpowiedzią może być to, że w pustym zbiorze nie ma nic do uporządkowania, mamy również alternatywę, że nawet pusty jest zbiorem, więc odpowiedź może wynosić 1, a więc 0! = 1.

Inne zastosowania silni

Jak już powiedzieliśmy, koncepcja silni jest używana w kombinatoryce, a to narzędzie matematyczne służy do wykonywania obliczeń we wzorach wyrażających permutacje i kombinacje grup elementów. Chociaż aplikacje te nie dostarczają bezpośredniego uzasadnienia dla przyporządkowania silni liczby 0 przez 1, można zrozumieć, dlaczego jest ona definiowana w ten sposób.

Pojęcie kombinacji grupy elementów odnosi się do liczby podgrup, które można z nich uzyskać, niezależnie od kolejności ich rozpatrywania. Na przykład zbiór {1, 2, 3} ma tylko jedno łączenie, jeśli wzięte są trzy elementy, niezależnie od kolejności. Ale gdybyśmy wzięli je na podstawie dwóch elementów, mielibyśmy trzy możliwe kombinacje, {1, 3}, {2, 3} i {1, 2}, tak jak gdybyśmy wzięli je na podstawie jednego elementu, {1}, {2} i {3}. Ogólny wzór na obliczenie liczby kombinacji bez powtórzeń pewnego zbioru n elementów wziętych w podgrupy p elementów to C  ( n , p ) = n !/ p ! ( n–p ) !.

Jeśli użyjemy tego wzoru do określenia liczby kombinacji trzech elementów wziętych trzech, zobaczymy, że wynikiem musi być 1, wyrażone przez  C  (3, 3) = 3! / 3! (3-3)! = 3! / 3! 0!, więc konieczne jest zdefiniowanie 0! = 1, aby wyrażenie matematyczne miało sens.

W ten sam sposób istnieją inne sytuacje, które powodują konieczność zdefiniowania silni liczby 0 jako 1, 0! = 1, jako część ogólnej koncepcji rozwoju matematyki, która wskazuje, że kiedy tworzone są nowe idee i włączane są nowe definicje, musi istnieć kompatybilność z wcześniej istniejącymi strukturami.

Bibliografia

Zero silni lub 0!. Akademia Khana .

Czy istnieje silnia 0? Drift kanału YouTube .

-Reklama-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados

zmienne zależne