Postać przecięcia z nachyleniem równania liniowego

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Postać przecięcia z nachyleniem równania pierwszego stopnia jest sposobem wyrażenia tego równania w postaci równania linii prostej . Innymi słowy, jest wyrażona w tej samej postaci matematycznej, co funkcja, która po wykreśleniu w kartezjańskim układzie współrzędnych daje w wyniku linię prostą. Wyrażone w ten sposób równanie liniowe ma następującą postać matematyczną:

równanie linii w postaci punktu przecięcia z nachyleniem

Jak widać, ten sposób przedstawiania równań liniowych charakteryzuje się tym, że zmienna, którą powszechnie uważamy za zmienną zależną (w większości przypadków i , chociaż może się to zmieniać) jest izolowana w jednym z elementów równania (zwykle po lewej) ze współczynnikiem 1; podczas gdy drugi element składa się z terminu zawierającego zmienną niezależną (zwykle x ) i terminu niezależnego.

Interpretacja równania liniowego w postaci punktu przecięcia z nachyleniem

Wyrażony w ten sposób współczynnik zmiennej niezależnej, w tym przypadku m , reprezentuje nachylenie linii, gdy to równanie jest wykreślone w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Z drugiej strony niezależny składnik, w tym przypadku b , wskazuje punkt, w którym linia przecina lub przecina oś współrzędnych lub oś y, jak pokazano na poniższym wykresie. Właśnie dlatego nazywa się to formą przecięcia z nachyleniem.

kształt przecięcia zbocza

Interpretacja nachylenia

Nachylenie ( m ) wskazuje, o ile zmienia się wartość y punktu na linii , zwiększając wartość x o jedną jednostkę , a zatem reprezentuje nachylenie linii. Ta wartość może być dowolną liczbą wymierną, zarówno dodatnią, jak i ujemną. Istnieją trzy możliwe zakresy wartości, które są różnie interpretowane:

  • Dodatnie nachylenie (m>0) wskazuje, że linia idzie w górę, gdy poruszamy się od lewej do prawej strony wykresu.
  • Gdy składnik zmiennej niezależnej nie występuje (to znaczy, gdy w równaniu nie ma x), oznacza to, że nachylenie wynosi zero (m=0). W tym przypadku linia jest pozioma lub równoległa do osi odciętych (oś x).
  • Gdy nachylenie jest ujemne (m<o), linia opada w miarę przesuwania się wykresu od lewej do prawej.

Interpretacja skrzyżowania

Wyraz niezależny b reprezentuje punkt przecięcia prostej z osią rzędnych, czyli z osią y w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tych przypadkach, w których nie ma składnika niezależnego, przyjmuje się, że jego wartość wynosi zero (b=0), więc prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Szczególne przypadki równania prostej w postaci przecięcia z nachyleniem

Przypadek 1: y = b

kształt przecięcia z nachyleniem o nachyleniu 0

Gdy równanie ma poprzednią postać, to znaczy, gdy składnik zmiennej niezależnej nie występuje, należy rozumieć, że nachylenie wynosi zero, a zatem równanie reprezentuje linię poziomą przechodzącą przez punkt (0; b ).

Przypadek 2: y = mx

kształt punktu przecięcia z nachyleniem dodatnim

Gdy nie ma niezależnego składnika, oznacza to, że jego wartość wynosi zero, a zatem przecina oś y w punkcie 0. Oznacza to, że prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Przypadek 3: 0 = mx + b

kształt przecięcia z nachyleniem z nieokreślonym nachyleniem

W tym przypadku składa się z linii pionowej (równoległej do osi y), która przecina oś odciętych (lub oś x) w punkcie x = – b/m, jak pokazano na poprzednim wykresie.

Jest to niezwykła postać równania linii, w której współczynnik m i niezależny wyraz b tracą swoje normalne znaczenie. Linia pionowa ma nieokreślone nachylenie, to znaczy jej nachylenie nie istnieje. To nie to samo, co stwierdzenie, że jego nachylenie wynosi zero.

Z drugiej strony, ponieważ jest to pionowa linia równoległa do osi y, nigdy nie przecina tej osi. Dlatego niezależny termin b nie wskazuje już przecięcia, jak to miało miejsce w poprzednich przypadkach.

Zalety formy przecięcia z nachyleniem

W porównaniu z innymi sposobami przedstawiania równań liniowych forma przecięcia z nachyleniem ma następujące zalety:

  • Natychmiast zwraca wartości nachylenia i punktu przecięcia linii z osią y.
  • Powyższe pozwala w bardzo prosty i szybki sposób zwizualizować wykres równania liniowego w kartezjańskim układzie współrzędnych.
  • Podając wartość nachylenia, pozwala szybko obliczyć kąt, jaki tworzy linia z osią x za pomocą tangensa.
  • Pozwala szybko stwierdzić, czy dwie linie są do siebie równoległe, czy nie, po prostu porównując ich nachylenia.
  • Pozwala szybko określić, czy dwie linie są do siebie prostopadłe.
  • Samo spojrzenie na postać równania pozwala nam od razu wiedzieć, czy jest to linia rosnąca, malejąca, pozioma czy pionowa.
  • Umożliwia obliczenie współrzędnej y dowolnego punktu na linii na podstawie jego wartości x w jednym kroku.
  • Ułatwia metodę podstawieniową rozwiązywania układów równań liniowych dwóch zmiennych, ponieważ równanie jest już rozwiązane dla jednej z nich (y).

Etapy przekształcania formy standardowej w formę przecięcia z nachyleniem

Oprócz postaci przecięcia z nachyleniem, równanie linii można również przedstawić na inne sposoby, z których najważniejszym jest postać standardowa:

forma ogólna

W tym przypadku współczynniki A, B i C są liczbami całkowitymi. Gdy masz równanie wyrażone w ten sposób i chcesz je zapisać w postaci przecięcia z nachyleniem, wystarczy wykonać następujące kroki:

Krok 1: Ax jest odejmowana od obu stron równania.

Krok 2: wszystkie współczynniki i wyraz niezależny są dzielone przez współczynnik B (wraz z jego znakiem).

Krok 3: Jeśli to możliwe, uprość dowolny ułamek powstały z dzielenia.

Przykłady transformacji z postaci standardowej do postaci przecięcia z nachyleniem

Przykład 1: 3x + 2y = 4

Krok 1:

Przykład formy przecięcia z nachyleniem

Krok 2:

Przykład formy przecięcia z nachyleniem

Krok 3:

Przykład formy przecięcia z nachyleniem

Jak widać, to równanie odpowiada opadającej linii, która przecina oś Y w punkcie 2.

Przykład 2: x – 4y = 6

Krok 1:

Przykład formy przecięcia z nachyleniem

Krok 2:

Przykład formy przecięcia z nachyleniem

Krok 3:

Przykład formy przecięcia z nachyleniem

W tym przypadku wynikiem jest opadająca linia przecinająca oś y w punkcie -1,5.

Bibliografia

-Reklama-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

zmienne zależne