Jak obliczyć wartość oczekiwaną lub oczekiwanie matematyczne

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


W matematyce wartość oczekiwana , znana również jako wartość oczekiwana , jest długoterminową średnią wartości zmiennej losowej. W pewnym sensie odpowiada wartości zmiennej losowej, jaką średnio spodziewalibyśmy się uzyskać po wielokrotnym powtórzeniu eksperymentu losowego (stąd nazwa „wartość oczekiwana”).

Istnieją dwa różne sposoby obliczania wartości oczekiwanej w zależności od rodzaju rozpatrywanej zmiennej losowej. Ta zmienna jest zwykle reprezentowana przez wielką literę X i może być ciągła lub dyskretna. W każdym z przypadków zmienia się sposób obliczania wartości oczekiwanej X (oznaczonej przez E[X]), co zostanie pokazane poniżej.

Obliczanie wartości oczekiwanej dyskretnej zmiennej losowej

Zmienna losowa to dowolna funkcja, która przypisuje liczbę lub wartość liczbową każdemu wynikowi losowego eksperymentu, zarówno ilościowego, jak i jakościowego. W przypadku dyskretnych zmiennych losowych odnoszą się one do tych zmiennych losowych, które mają skończoną liczbę możliwych wyników lub których wyniki można uporządkować jako pierwsze, drugie, trzecie itd.

Przykładem dyskretnej zmiennej losowej może być liczba parzystych liczb wyrzuconych podczas rzutu dwiema sześciennymi kostkami. W tym przypadku jedynymi możliwymi wartościami zmiennej losowej byłyby 0, 1 i 2.

Oczekiwana wartość dyskretnej zmiennej losowej jest obliczana przez dodanie iloczynu każdej wartości zmiennej i prawdopodobieństwa tej wartości. Można to zapisać matematycznie za pomocą następującego wzoru:

Oczekiwana lub oczekiwana wartość dyskretnej zmiennej losowej

W tym równaniu E[X] jest wartością oczekiwaną X (wartość, którą chcemy wyznaczyć), x i odpowiada i-tej wartości zmiennej losowej, a P(x i ) odpowiada prawdopodobieństwu, że wynik eksperymentu jest x i .

Przykład obliczania wartości oczekiwanej dyskretnej zmiennej losowej

Praktycznym i prostym sposobem zrozumienia pojęcia wartości oczekiwanej są gry losowe. Wyobraź sobie grę w szczęśliwą ruletkę, taką jak program, który z lokalnymi odmianami jest emitowany w telewizji w wielu krajach. W tym kole ruletki w niektórych przypadkach są 4 kliny, które powodują utratę 400 $, jest 5 klinów zawierających 0, 6 zawierających 1000 $ i 1 klin z jackpotem w wysokości 6000 $. Pytanie brzmi, jaka jest oczekiwana wartość kwoty pieniędzy, którą uczestnicy ruletki wygrają w dłuższej perspektywie?

W obliczu takiego problemu pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić, jest ustalenie wszystkich możliwych wyników eksperymentu polegającego na kręceniu kołem ruletki. Ponadto musi być możliwe określenie prawdopodobieństwa uzyskania każdej z możliwych wartości zmiennej losowej.

W tym przypadku są tylko 4 możliwe wyniki, które wynoszą –400 USD, 0 USD, 1000 USD i 6000 USD. W sumie jest 4 + 5 + 6 + 1 = 16 klinów, więc prawdopodobieństwa każdego wyniku zmiennej losowej wynoszą 1/4, 5/16. 3/8 i 1/16.

X P(x)
-400 $ 4/16 = 1/4
$0 5/16
1000 $ 6/16 = 3/8
6000 $ 1/16

Teraz mamy już to, czego potrzebujemy do przeprowadzenia sumowania w celu określenia wartości oczekiwanej:

Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej dyskretnej zmiennej losowej
Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej dyskretnej zmiennej losowej

Oznacza to, że w dłuższej perspektywie ruletka płaci swoim uczestnikom 650 $.

Obliczanie wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej

Gdy zmienna losowa jest ciągła, oznacza to, że zbiór jej możliwych wartości składa się z przedziału liczb rzeczywistych, niezależnie od tego, czy przedział ten jest skończony, czy nieskończony. W przypadku ciągłych zmiennych losowych prawdopodobieństwo jest zastępowane przez pdf, a sumowanie przez całkę:

Nadzieja lub oczekiwana wartość ciągłej zmiennej losowej

W tym równaniu x jest ciągłą zmienną losową, a f (x) odpowiada funkcji rozkładu prawdopodobieństwa x. Jak widać tutaj, całkę należy wykonać po wszystkich możliwych wartościach zmiennej losowej, X-

Przykład obliczania wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej

Rozważ ciągłą zmienną losową, której dystrybuantą jest:

Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej

Zostaniesz poproszony o określenie, jaka jest średnia lub oczekiwana wartość tej ciągłej zmiennej losowej.

Rozwiązując ten problem należy wziąć pod uwagę, że funkcja jest zdefiniowana fragmentarycznie, dzieląc prostą rzeczywistą na 3 przedziały, którymi są (-∞; -2 ), [-2 ; 2] i (2 ; + ∞). W ten sposób, stosując wzór na wartość oczekiwaną X, całkę dzieli się na sumę trzech całek:

Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej

Ale ponieważ zmienna losowa x wynosi zero w pierwszym i ostatnim przedziale, obie całki są równe zero, co daje tylko całkę środkową, ocenianą między -2 a +2:

Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej
Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej
Przykład obliczania wartości oczekiwanej lub wartości oczekiwanej ciągłej zmiennej losowej

Bibliografia

Kalkulator wartości oczekiwanej. (nd). Pobrane z http://www.learningaboutelectronics.com/Articulos/Calculadora-de-valor-esperado.php

del Rio, AQ (2019, 4 września). 5.4 Matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej | Słodzone podstawowe statystyki. Pobrane z https://bookdown.org/aquintela/EBE/esperanza-matematica-de-una-variable-aleatoria.html

López, JF (2021, 15 lutego). Nadzieja matematyczna. Pobrane z https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html

MateMobile. (2021, 1 stycznia). Średnia lub oczekiwana wartość, wariancja i odchylenie standardowe ciągłej zmiennej losowej | matmobile. Pobrane z https://matemovil.com/media-o-valor-esperado-varianza-y-desviacion-estandar-de-una-variable-aleatoria-continua/

Webster, A. (2001). Statystyka stosowana w biznesie i gospodarce (wydanie hiszpańskie) . Toronto, Kanada: Irwin Professional Publishing.

-Reklama-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

zmienne zależne