Tabla de Contenidos
Wariancja zmiennej losowej jest miarą jej rozrzutu wokół średniej . Oznacza to, że jest to wielkość, która wskazuje średni rozrzut wartości danej zmiennej po obu stronach średniej lub amplitudę jej rozkładu prawdopodobieństwa. Ten parametr jest ważną wielkością dla dowolnej zmiennej losowej, niezależnie od jej rozkładu prawdopodobieństwa.
Z drugiej strony rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, który służy do modelowania częstotliwości występowania zdarzeń dyskretnych w przedziale czasu , chociaż można go również odnieść do innych zmiennych ciągłych, takich jak długość drutu , powierzchnia itp.
Rozkład Poissona ma ogromne znaczenie, ponieważ pozwala modelować zarówno procesy dzienne, jak liczba osób ustawiających się w kolejce do kasy bankomatu, jak i procesy tak złożone, jak liczba rozpadów promieniotwórczych w zadanym przedziale czasu. z próbki odpadów radioaktywnych.
Matematyczna definicja rozkładu Poissona
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona, jeśli jej funkcja masy prawdopodobieństwa lub PMF ma następującą postać:
We wzorze λ jest zawsze dodatnim parametrem rozkładu, a x reprezentuje różne wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa. W procesach Poissona parametr λ ogólnie reprezentuje prędkość lub częstotliwość na jednostkę czasu, na jednostkę powierzchni i tak dalej.
Jak pokażemy później, λ jest z kolei średnią rozkładu Poissona, jak również jego wariancją.
Teraz, gdy wiemy już, czym jest ta dystrybucja i do czego służy, przyjrzyjmy się bardziej formalnej definicji wariancji, ogólnemu sposobowi jej obliczania i wreszcie, jak oblicza się wariancję dla konkretnego przypadku rozkładu Poissona.
Jaka jest różnica?
Matematycznie wariancja zmiennej losowej X, oznaczana w statystyce przez Var(X) , odpowiada oczekiwanej wartości kwadratu odchylenia tej zmiennej od jej średniej, co wyraża się wzorem:
Chociaż poprzednia definicja może być wykorzystana do obliczenia wariancji dowolnej zmiennej losowej, można ją również łatwiej obliczyć, używając pierwszego i drugiego momentu zwyczajnego lub momentów wokół początku układu współrzędnych (m 1 , m 2 ) w następujący sposób :
Ten sposób obliczania wariancji jest wygodniejszy niż pierwszy, dlatego w tym artykule użyjemy go do obliczenia wariancji rozkładu Poissona.
Obliczanie wariancji rozkładu Poissona
Obliczanie średniego lub pierwszego zwykłego momentu
Przypomnijmy, że dla dowolnego rozkładu dyskretnego średnią lub wartość oczekiwaną X można wyznaczyć za pomocą następującego wyrażenia, które określa pierwszy moment:
Możemy przyjąć tę sumę począwszy od x=1, ponieważ pierwszy wyraz wynosi zero. Ponadto, jeśli teraz pomnożymy i podzielimy wszystko przez λ , a także zamienimy x!/x na (x-1)! , otrzymujemy:
Wyrażenie to można uprościć dokonując zmiany zmiennej y = x – 1 , pozostawiając:
Funkcja wewnątrz sumowania jest ponownie funkcją prawdopodobieństwa Poissona, która z definicji jest sumą wszystkich prawdopodobieństw od zera do nieskończoności dowolnej funkcji prawdopodobieństwa, która musi być równa 1.
Mamy już pierwszy moment lub średnią funkcji Poissona. Teraz użyjemy tego wyniku i wartości oczekiwanej kwadratu X , aby znaleźć wariancję.
Obliczanie drugiego momentu zwykłego
Drugi moment jest podany przez:
Możemy użyć małej sztuczki, aby rozwiązać tę sumę, która polega na zastąpieniu x 2 przez x(x-1)+x:
W przypadku wykorzystania poprzedniego wyniku w drugim członie sumowania mnożymy i dzielimy przez λ 2 uzyskując wykładnik λ x-2 i stosujemy zmianę zmiennej y = x – 2 .
Teraz wystarczy zastąpić te dwa momenty we wzorze na wariancję i otrzymamy oczekiwany wynik:
Bibliografia
Pożerać, J. (2021). Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauki . NAUKA CENGAGE.
Rodó, P. (2020, 4 listopada). Rozkład Poissona . Economipedia. https://economipedia.com/definiciones/distribucion-de-poisson.html
UNAM [Luis Rincon]. (2013, 16 grudnia). 0625 Rozkład Poissona [wideo]. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=y_dOx8FhHpQ