Tabla de Contenidos
Pojęcie stopni swobody pojawia się często zarówno w matematyce, jak i statystyce. W zależności od obszaru, koncepcja jest bardzo różna.
Intuicyjna koncepcja stopni swobody
Intuicyjnie liczba stopni swobody odnosi się do liczby wolnych wyborów, których możemy dokonać w danej sytuacji . Załóżmy na przykład, że grupa pięciu osób musi wybrać spośród 5 różnych owoców. Pierwsza osoba może wybrać dowolny owoc. Kolejne możesz dowolnie wybierać spośród pozostałych czterech owoców i tak dalej. Po dotarciu do ostatniej osoby, ponieważ na początku było tylko 5 owoców, ta osoba jest zmuszona wybrać ostatni owoc, co oznacza, że w rzeczywistości ostatnia osoba nie miała swobody wyboru, podczas gdy pozostali Tak.
W tym przypadku mówimy, że były cztery stopnie swobody, ponieważ po wybraniu pierwszych czterech owoców owoc piątej osoby został określony automatycznie.
Należy zauważyć, że powodem, dla którego pięć osób nie miało możliwości swobodnego wyboru owoców, jest to, że na początku było tylko pięć owoców. Gdybyśmy powiedzieli pięciu osobom, aby każda wybrała owoc, który najbardziej im się podoba, bez określania żadnej opcji, wtedy wszystkie pięć osób miałoby swobodę wyboru. To pokazuje, że fakt, że było tylko pięć owoców, stanowił ograniczenie, które zmniejszało stopień swobody wyboru.
stopni swobody w matematyce
Matematycznie stopnie swobody definiuje się jako liczbę wymiarów domeny losowego wektora . Oznacza to, że są to liczby składowych losowego wektora, których wartości musimy określić, aby w pełni poznać wektor.
Aby lepiej zrozumieć to pojęcie, przeanalizujmy je z geometrycznego punktu widzenia. Wektor losowy możemy zdefiniować jako taki, który jest utworzony przez zbiór skalarnych zmiennych losowych . Każda z tych zmiennych losowych reprezentuje jedną ze składowych wektora w jednym wymiarze. Oznacza to, że liczba takich zmiennych lub składowych ( n ) definiuje n-wymiarową przestrzeń, w której wektor losowy może się swobodnie poruszać, więc mówimy, że wektor ma n stopni swobody.
Na przykład, jeśli wektor składa się z pojedynczej zmiennej losowej, wektor ten może zmieniać się swobodnie tylko w jednym wymiarze. W konsekwencji, aby zdefiniować konkretny wektor, wystarczy wybrać wartość tej pojedynczej zmiennej losowej, więc mówimy, że istnieje tylko jeden stopień swobody.
Z drugiej strony, jeśli wektor składa się z dwóch składowych, można go przedstawić w przestrzeni dwuwymiarowej, czyli na płaszczyźnie. Mówimy, że ten wektor może się swobodnie poruszać wzdłuż dwóch wymiarów w zależności od konkretnych wartości, które przyjmują te dwie zmienne losowe, więc mówimy, że ma dwa stopnie swobody.
To samo rozumowanie działa dla losowego wektora z 3, 4 lub więcej składnikami.
Typowym przykładem często używanego w statystyce wektora losowego jest próbka o rozmiarze n. W tym przypadku każdy z n elementów próby jest zmienną losową, a wszystkie n wartości tworzą wektor losowy odpowiadający próbce. Za każdym razem, gdy wybieramy nową próbkę, możemy otrzymać nowy wektor i nic nie stoi na przeszkodzie, aby swobodnie i niezależnie wybrać każdą z danych składających się na próbkę.
Więzy stopni swobody
Z tego, co zostało wyjaśnione w poprzednich akapitach, można wywnioskować, że dowolny wektor losowy o n wymiarach (to znaczy utworzony przez n niezależnych składowych) będzie miał n stopni swobody, ponieważ każdy z n składowych może mieć dowolną wartość, tj. , nic nie ogranicza wyboru każdej z n zmiennych losowych.
Jeśli jednak zmienne nie są od siebie niezależne, ale są powiązane jakimś równaniem matematycznym, to liczba stopni swobody maleje, ponieważ będą zmienne, których wartość jest w pełni określona po wybraniu lub określeniu wartości. pozostałe zmienne.
Te relacje między zmiennymi losowymi, które tworzą wektor, nazywamy ograniczeniami lub warunkami i są matematycznym odpowiednikiem warunku „jest tylko pięć owoców” w naszym intuicyjnym wyjaśnianiu stopni swobody.
Przykład:
Załóżmy, że mamy losowy wektor składający się z trzech zmiennych losowych x , y i z . Początkowo układ ten ma trzy stopnie swobody, ponieważ musimy wybrać wartości trzech zmiennych, aby w pełni określić konkretny wektor.
Załóżmy jednak teraz, że z jakiegoś powodu zmienne te muszą spełniać warunek, że ich suma jest równa 5. Warunek ten ogranicza nasz wybór poszczególnych wartości każdej zmiennej, gdyż po swobodnym wybraniu dwóch pierwszych ( x i y , x y z lub y y z ) trzeci jest określony przez równanie x + y + z = 5
Na przykład, jeśli wybierzemy x = 10 i y = 5 , zmienna z nie może przyjąć żadnej wartości, ale musi koniecznie mieć wartość –10, aby spełnić wspomniany warunek.
Jeśli uwzględnimy więcej ograniczeń lub bardziej niezależnych relacji między zmiennymi, możemy jeszcze bardziej zmniejszyć liczbę stopni swobody, nawet do zera.
Stopnie swobody w statystyce
Dzięki jaśniejszemu sposobowi patrzenia na stopnie swobody w matematyce znacznie łatwiej będzie zrozumieć stopnie swobody w dziedzinie statystyki, gdzie znajdują one największą użyteczność.
Stopnie swobody służą do przeprowadzania obliczeń statystycznych, a także do definiowania rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak rozkład t-studenta lub rozkład chi-kwadrat.
W tych kontekstach stopnie swobody składają się z liczby zmiennych, które musimy określić, aby określić wartość jakiejś zmiennej statystycznej, takiej jak średnia próbki, wariancja, odchylenie standardowe próbki itp.
Na przykład, obliczając średnią próbki dla próby o rozmiarze n, musimy znać wszystkie wartości n pozycji w próbie. Średnia jest obliczana za pomocą następującego wyrażenia:
Jednak po obliczeniu średniej próbki, która oblicza średnią populacji, można jej użyć do obliczenia innych zmiennych statystycznych, takich jak wariancja próbki i odchylenie standardowe. W takich przypadkach, biorąc pod uwagę, że średnia i poszczególne wartości elementów próbki są powiązane za pomocą poprzedniego równania, które stanowi ograniczenie, prawdą jest, że każda wielkość obliczona ze średniej będzie miała n-1 stopni swobody :
Bibliografia
De la Cruz-Oré, JL (2013). Co oznaczają stopnie swobody? Peruvian Journal of Epidemiology , 17 (2), 1–6. https://www.redalyc.org/pdf/2031/203129458002.pdf
DeVore, J. (2002). Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk ścisłych (wyd. 5). Thomsona International.
Stopnie swobody . (2012, 18 listopada). Encyklopedia finansowa. http://www.enciclopediafinanciera.com/definicja-grados-de-libertad.html
Edytor blogów Minitab. (2019, 18 kwietnia). Czym są stopnie swobody w statystyce? Blog Minitaba. https://blog.minitab.com/en/jakie-są stopnie-wolności-w-statystyce
Pacheco, J. (2019, 15 października). ▷ Stopnie swobody w statystyce ( czym są i jak są stosowane) | 2021 . Sieć i firmy. https://www.webyempresas.com/grados-de-libertad-en-estadistica/
