Tabla de Contenidos
Logika jest gałęzią matematyki, a jej częścią jest teoria mnogości. Prawa De Morgana to dwa postulaty dotyczące interakcji między zbiorami. Prawa te odnotowują poprzedników u Arystotelesa i Wilhelma Ockhama. Augustus De Morgan żył w latach 1806-1871 i jako pierwszy włączył postulowane przez siebie prawa do formalnej struktury logiki matematycznej.
Operatory w teorii mnogości
Zanim przejdziemy do postulatów De Morgana, przyjrzyjmy się kilku definicjom teorii mnogości.
Jeśli istnieją dwa zbiory elementów, które nazwiemy A i B, to przecięcie tych dwóch zbiorów jest zbiorem elementów wspólnych dla obu zbiorów. Przecięcie dwóch zbiorów jest oznaczone symbolem ∩ i jest kolejnym zbiorem, który możemy nazwać C; C = A∩B, a C to zbiór elementów, które pojawiają się zarówno w grupie A, jak iw grupie B. Podobnie suma dwóch zbiorów A i B jest nowym zbiorem zawierającym wszystkie elementy A i B i jest odnotowywana za pomocą symbol U. Zbiór C, suma A i B, C = AUB, jest zbiorem zintegrowanym ze wszystkimi elementami A i B. Trzecią definicją, o której musimy pamiętać, jest dopełnienie zbioru: jeśli mamy pewien wszechświat elementów i zbiór A tego wszechświata, dopełnienie A jest zbiorem elementów tego wszechświata, które nie należą do zbioru A. Zbiór dopełnień A jest oznaczony jako AC .
Te trzy operatory między zbiorami można uogólnić na operację między kilkoma zbiorami, to znaczy na przecięcie, sumę i dopełnienie kilku zbiorów. Spójrzmy na prosty przykład. Poniższy rysunek przedstawia diagram Venna trzech zestawów: ptaki reprezentowane przez papugę, strusia, kaczkę i pingwina; żywe istoty, które latają, reprezentowane przez papugę, kaczkę, motyla i latającą rybę, oraz żywe istoty, które pływają, reprezentowane przez kaczkę, pingwina, latającą rybę i wieloryba. Kaczka jest zbiorem przecinającym się trzech zestawów: zbiór łączący ptaki i żywe istoty, które latają, składa się ze strusia, papugi, motyla, kaczki, pingwina i latającej ryby. A dopełnieniem żywych istot, które latają i tych, które pływają, jest zestaw zawierający strusia.
Prawa De Morgana
Teraz możemy zobaczyć postulaty praw De Morgana. Pierwszy postulat mówi, że dopełnienie zbioru przecięcia dwóch zbiorów A i B jest równe iloczynowi zbioru dopełnienia A i dopełnienia B. Korzystając z operatorów zdefiniowanych w poprzednim akapicie, można zapisać pierwsze prawo De Morgana jako następujący sposób:
(A∩B) do = A do UB do
Drugie prawo De Morgana postuluje, że dopełnienie zbioru unii A i B jest równe przecięciu zbioru dopełnień A ze zbiorem dopełnień B, i należy zauważyć, co następuje:
(AUB) do = ZA do ∩ B do
Zobaczmy przykład. Rozważmy zbiór liczb całkowitych od 0 do 5. Jest on oznaczony jako [0,1,2,3,4,5]. W tym wszechświecie definiujemy dwa zbiory A i B. A to zbiór liczb 1, 2 i 3; A = [1,2,3]. YB to zbiór liczb 2, 3 i 4; B = [2,3,4]. Pierwsze prawo De Morgana miałoby zastosowanie w następujący sposób.
A = [1,2,3]; B = [2,3,4]
Pierwsze prawo De Morgana: (A∩B) C = A C UB C
(A∩B) C
A∩B = [1,2,3]∩[2,3,4] = [2,3]
(A∩B) do = [2,3] do = [0,1,4,5]
A C UB C
ZA C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
ZA CUB C = [0,4,5]U[0,1,5] = [0,1,4,5]
Wynik zastosowania operatorów po obu stronach równości pokazuje, że pierwsze prawo De Morgana jest zweryfikowane. Zobaczmy zastosowanie przykładu do drugiego postulatu.
Drugie prawo De Morgana: (AUB) C = A C ∩ B C
(AUB) C
AUB = [1,2,3]U[2,3,4] = [1,2,3,4]
(AUB) do = [1,2,3,4] do = [0,5]
ZA C ∩ B C
ZA C = [1,2,3] C = [0,4,5]
B C = [2,3,4] C = [0,1,5]
ZA C ∩ B C = [0,4,5]∩[0,1,5] = [0,5]
Podobnie jak w przypadku pierwszego postulatu, w podanym przykładzie obowiązuje również drugie prawo De Morgana.
Źródła
AG Hamilton. Logika dla matematyków. Redakcja Paraninfo, Madryt, 1981.
Carlosa Ivorry Castillo. Logika i teoria mnogości . Dostęp w listopadzie 2021 r
