Czym są momenty w statystyce?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Momenty w obliczeniach w statystyce dotyczą określania parametrów, takich jak średnia, wariancja lub skośność rozkładu prawdopodobieństwa. Termin moment wywodzi się z fizyki, z obliczania środka ciężkości zestawu ciał o różnych masach.

definicja chwili

Jeżeli istnieje zbiór n danych dyskretnych x 1 , x 2 , x 3 , … x n , to moment rzędu s definiuje się jako:  

( x 1 s + x 2 s + x 3 s +…+ x n s )/ n

Ważna jest kolejność wykonywania obliczeń. Najpierw trzeba zrobić podniesienie do potęgi s , potem dodać i na koniec podzielić przez n .

Stosując tę ​​definicję, mamy moment pierwszego rzędu, gdy s = 1, a poprzedni wzór przyjmuje postać:

( x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n )/ rz

Jest to wyrażenie wzoru na średnią zbioru wartości.

Jeśli zbiór, który analizujemy, składa się z 4 liczb 1, 3, 6, 10, moment pierwszego rzędu tego zbioru to:

(1 + 3 + 6 + 10)/4 = 5

W tym przykładzie obserwuje się, że moment pierwszego rzędu jest średnią zbioru badanych wartości.

Moment drugiego rzędu odpowiada s = 2, a definicja wygląda następująco:

( x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 +…+ x n 2 )/ n

Jeśli zastosujemy to do poprzedniego przykładu, otrzymamy:

(1 2 + 3 2 + 6 2 + 10 2 )/4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 36,5

Podobnie moment trzeciego rzędu odpowiada s = 3, a wzór ma postać:

( x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 +…+ x n 3 )/ n

A obliczenie w rozważanym przykładzie ma wyrażenie:

(1 3 + 3 3 + 6 3 + 10 3 )/4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 311

Momenty średniej zbioru wartości

Innym zastosowaniem pojęcia momentu jest obliczenie średniej zbioru wartości. To znaczy do wartości uzyskanych z różnicy każdej wartości zestawu w odniesieniu do średniej. Aby to zrobić, należy najpierw obliczyć średnią wartość zbioru, następnie zdefiniować zmienną, na której będą obliczane momenty jako różnicę między średnią a każdą wartością zbioru, a na koniec zastosować poprzedni wzór do tej nowej zmiennej.

Wtedy, jeśli m jest średnią zbioru wartości x 1 , x 2 , x 3 , … x n , to momenty wokół średniej m s zbioru wartości będą miały postać:

m s = [( x 1m ) s + ( x 2m ) s + ( x 3m ) s +…+ ( x nm ) s ]/ n

Zgodnie z tym obliczeniem moment pierwszego rzędu średniej wynosi 0. Zobaczmy, jak uzyskuje się ten wynik:

m 1 = [( x 1m )+ ( x 2m ) + ( x 3m ) +…+ ( x nm )]/ n

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x nn . m )]/ rz

m 1 = [ x 1 + x 2 + x 3 +…+ x n ]/ n – [ n . m ]/ rz

m 1 = mm = 0

Moment drugiego rzędu średniej ma następujące wyrażenie:

m 2 = [( x 1m ) 2 + ( x 2m ) 2 + ( x 3m ) 2 +…+ ( x nm ) 2 ]/ n

To jest wzór na wariancję zbioru wartości.

Jeśli zastosujemy ten wzór do poprzedniego przykładu, otrzymamy, że średnia, którą już obliczyliśmy, wynosi 5, więc wzór staje się

m 2 = [(1 – 5) 2 + (3 – 5) 2 + (6 – 5) 2 + (10 – 5) 2 ]/4 = 11,5

Widzimy więc, że moment pierwszego rzędu zbioru wartości to średnia, a moment drugiego rzędu wokół średniej to wariancja tego zbioru. Moment średniej trzeciego rzędu został wykorzystany przez Karla Pearsona do obliczenia skośności zbioru wartości, natomiast moment średniej czwartego rzędu służy do obliczenia kurtozy statystycznej.

Źródła

Alexander Mood, Franklin A. Graybill, Duane C. Boes, Wprowadzenie do teorii statystyki . Wydanie trzecie, McGraw-Hill, 1974.

Peter H. Westfall, Zrozumienie zaawansowanych metod statystycznych . Boca Raton, Floryda: CRC Press, 2013.

-Reklama-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados

zmienne zależne