Co się dzieje, gdy odchylenie standardowe jest równe zeru?

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Odchylenie standardowe zbioru danych lub próbki z określonej populacji jest opisowym parametrem statystycznym, który mierzy rozrzut wartości w tym zbiorze. Jeśli obliczana jest średnia ze zbioru wartości, odchylenie standardowe ocenia różnicę wartości w zestawie od średniej.

Odchylenie standardowe jest nieujemną liczbą rzeczywistą. Ponieważ zero jest nieujemną liczbą rzeczywistą, warto zapytać, kiedy odchylenie standardowe będzie równe zeru i co to oznacza. Dzieje się tak tylko w bardzo szczególnym przypadku, kiedy wszystkie wartości w zbiorze danych są dokładnie takie same.

odchylenie standardowe

Kiedy masz zbiór danych, czy to próbkę z określonej populacji, czy zbiór wartości wyprodukowanych przez określony system, od razu pojawiają się dwa pytania: do jakiej określonej wartości możemy powiązać posiadany przez nas zbiór danych i jakie jest rozproszenie zbioru danych – zbioru danych, który analizujemy.

W tak zwanej statystyce opisowej istnieją różne parametry, które starają się odpowiedzieć na te dwa pytania. Aby ocenić wartość, z którą możemy powiązać zestaw danych, można obliczyć średnią lub średnią arytmetyczną, średnią geometryczną, średnią harmoniczną, tryb, średni zakres lub medianę. W tym przypadku użyjemy średniej lub średniej arytmetycznej: średnia zbioru n wartości to suma ich wszystkich podzielona przez liczbę wartości n .

Rozrzut wartości w zbiorze można ocenić, obliczając odchylenie standardowe, rozstęp lub rozstęp międzykwartylowy. Poniższy rysunek przedstawia ogólny wzór używany do obliczania odchylenia standardowego σ . Wyrażone słownie: od każdej wartości analizowanego zbioru, którą odnotowujemy z indeksem dolnym i , odejmujemy średnią wszystkich wartości; podnosimy każdą z tych różnic do kwadratu i dodajemy je; Wynik dzielimy przez liczbę wartości w zestawie minus 1 i obliczamy pierwiastek kwadratowy z tej wartości.

Odchylenie standardowe σ próbki.
Odchylenie standardowe σ próbki.

Odchylenie standardowe ma dwie różne definicje, w zależności od rodzaju analizowanych danych. Ta różnica implikuje nieco inne obliczenia. Odchylenie standardowe można obliczyć na populacji lub na próbie.

Jeśli dane są zbierane od wszystkich członków populacji lub zbioru, należy zastosować odchylenie standardowe populacji. Jeśli analizujesz dane reprezentujące próbkę z większej populacji, musisz użyć odchylenia standardowego próbki. Różnica w obliczeniach polega na tym, że w przypadku odchylenia standardowego próbki różnica między każdą wartością a średnią kwadratową jest dzielona przez liczbę wartości minus 1 (n – 1), jak pokazano na rysunku . Aby uzyskać odchylenie standardowe populacji, podziel przez n .

Odchylenie standardowe wynosi zero.

Obliczone w ten sposób odchylenie standardowe σ ocenia rozrzut wartości w zbiorze: im większa jego wartość, tym rozrzut większy. Y jest zawsze liczbą dodatnią, ponieważ jest to suma kwadratów wartości, które w związku z tym będą dodatnie. Intuicyjnie więc, jeśli wartość odchylenia standardowego wynosi zero, spread powinien wynosić zero. A dzieje się tak, gdy wszystkie wartości zbioru się pokrywają: nie ma dyspersji.

Z kolei, jeśli wszystkie wartości w zestawie się zgadzają, średnia również pasuje do tej wartości. Zgodnie z poprzednią definicją średniej, jeśli n wartości zbioru są równe, suma n wartości przekłada się na pomnożenie tej wartości przez n ; dzieląc go przez n , aby obliczyć średnią, obie wartości n są eliminowane , a następnie mamy, że średnia jest równa unikalnej wartości zestawu. Rozwijając ten opis w równaniu, jeśli istnieje n równych wartości wyrażonych jako x , średnia jest obliczana jako

( x + x + x + x + x +…+ x )/ n = nx / n = x

Zobaczmy, co dzieje się z obliczeniem odchylenia standardowego za pomocą opisanego wcześniej wzoru. W tym wzorze każda wartość x i jest równa x , a z kolei jest równa średniej. Dlatego, gdy średnia jest odejmowana od każdej wartości x i , wynikiem jest zero. Mając sumę ze wszystkimi dodatkami równymi zeru, wynik również będzie równy zero. A wtedy końcowy wynik odchylenia standardowego wyniesie zero.

Widzieliśmy już wtedy, że gdy wszystkie wartości w zbiorze są równe, średnia jest równa tej wartości, a odchylenie standardowe wynosi zero. Rozważ sytuację odwrotną: czy odchylenie standardowe jest zerowe tylko wtedy, gdy wszystkie wartości w zbiorze są równe?

Aby to sprawdzić, zobaczmy, co się stanie, jeśli tylko jedna wartość będzie inna. Oznaczałoby to, że średnia nie jest już równa wszystkim wartościom w zbiorze, a następnie co najmniej jeden z dodatków do obliczenia odchylenia standardowego byłby niezerowy: w związku z tym odchylenie standardowe nie wynosiłoby zero. Ponieważ to sumowanie jest rozwijane po wartościach podniesionych do kwadratu, wszystkie dodatki są dodatnie i nie można ich skompensować w odejmowaniu. Jedynym sposobem, aby suma liczb dodatnich wynosiła zero, jest zerowanie wszystkich dodatków; dlatego jedynym sposobem na zerowe odchylenie standardowe jest, aby wszystkie wartości w grupie były równe średniej, a zatem równe sobie nawzajem.

Oba argumenty stanowią warunek konieczny i wystarczający: odchylenie standardowe zbioru wartości wynosi zero tylko wtedy, gdy wszystkie wartości w zbiorze są sobie równe.

Fontanna

Jadolah Dodge. Zwięzła encyklopedia statystyki . Nowy Jork: Springer, 2010.

-Reklama-

mm
Sergio Ribeiro Guevara (Ph.D.)
(Doctor en Ingeniería) - COLABORADOR. Divulgador científico. Ingeniero físico nuclear.

Artículos relacionados

zmienne zależne