Aksjomaty prawdopodobieństwa

Artículo revisado y aprobado por nuestro equipo editorial, siguiendo los criterios de redacción y edición de YuBrain.


Aksjomaty to seria twierdzeń, które są akceptowane jako prawdziwe bez potrzeby dowodu i na których opierają się wszystkie teorie i twierdzenia naukowe. Dlatego aksjomaty prawdopodobieństwa są tymi podstawowymi stwierdzeniami, na których opiera się teoria prawdopodobieństwa . Reprezentują ostateczny układ odniesienia, do którego logicznie powinny odnosić się wszystkie istniejące twierdzenia teorii prawdopodobieństwa. Zostały one postulowane przez rosyjskiego matematyka Andrieja Nikołajewicza Kołmogorowa w 1933 roku i wynikają wyłącznie ze zdrowego rozsądku.

Celem aksjomatów prawdopodobieństwa jest sformalizowanie matematycznej koncepcji prawdopodobieństwa, aby zapewnić, że wartości liczbowe, które przypisujemy prawdopodobieństwu wystąpienia czegoś, są zgodne z naszym intuicyjnym pojęciem prawdopodobieństwa.

Definicje wstępne

Teoria prawdopodobieństwa opiera się tylko na trzech aksjomatach , ale zanim przejdziemy do szczegółów, konieczne jest ustalenie kilku podstawowych definicji, a także pewnych konwencji dotyczących symboliki używanej w prawdopodobieństwie:

  • Eksperyment. Jest to każde działanie lub proces, który generuje wynik lub obserwację. Na przykład rzut monetą jest eksperymentem (procesem lub czynnością), który może skutkować wypadnięciem orła lub reszki.
  • Przestrzeń próbki ( S ). Odnosi się do zbioru wszystkich możliwych wyników eksperymentu i jest oznaczony symbolem S. W powyższym przykładzie rzutu monetą przestrzeń prób składa się ze zbioru tylko dwóch wyników: S = {orzeł, reszka}.
  • Zdarzenie ( E ). Zdarzenie to podzbiór przestrzeni próbki, czyli dowolna liczba możliwych wyników eksperymentu. Zdarzenia są zwykle identyfikowane dużymi literami i indeksami dolnymi (takimi jak E 1 , E 2 , E 3 , itp.) lub różnymi literami (A, B, C,…). Na przykład wypadnięcie orła podczas rzucania monetą jest wydarzeniem. Nadchodzące ogony to inne wydarzenie.
  • Prawdopodobieństwo ( P ): Jest to wartość liczbowa przypisana do zdarzenia, która wskazuje stopień pewności co do jego wystąpienia. Ogólna zasada jest taka, że ​​im bardziej jesteś pewien, że zdarzenie (na przykład E 1 ) nastąpi, tym większe prawdopodobieństwo przypiszesz temu zdarzeniu.

zestawy

Oprócz tych definicji warto również pamiętać o niektórych operacjach związanych ze zbiorami. Przecięcie dwóch zbiorów skutkuje powstaniem nowego zbioru, którego elementy są wspólne dla obu, oznacza się to symbolem i czyta się „i”. Z drugiej strony suma dwóch zbiorów jest nowym zbiorem ze wszystkimi wspólnymi i nietypowymi elementami obu, jest reprezentowana przez symbol i czytana jako „lub”.

Przykład:

  • Wyrażenie P(E 1 E 2 ) czytamy „Prawdopodobieństwo, że zdarzenie E 1 i zdarzenie E 2 wystąpią jednocześnie”
  • Wyrażenie P(E 1E 2 ) czytamy „Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E 1 lub zdarzenia E 2

Aksjomat 1 prawdopodobieństwa

Pierwszy aksjomat prawdopodobieństwa mówi, że w danym eksperymencie prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia (E) musi być nieujemną liczbą rzeczywistą. Jest to formalnie wyrażone jako:

pierwszy aksjomat prawdopodobieństwa

Aksjomat 1 reprezentuje intuicyjne przekonanie, że mówienie o ujemnym prawdopodobieństwie nie ma sensu . Ustanawia również zerowe prawdopodobieństwo jako dolną granicę, która jest przypisana do zdarzenia niemożliwego. Ten ostatni jest formalnie zdefiniowany jako dowolny wynik (lub zestaw wyników), który nie jest zawarty w przestrzeni próbki eksperymentu.

Przykład:

Rzucając kostką tylko raz, przestrzeń próbną tworzy tylko zbiór S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Pierwszy aksjomat mówi, że prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego wyniku (na przykład 4) musi być liczbą większą od zera ( P(4)>0 ). Z drugiej strony prawdopodobieństwo, że wynik to 7, który nie należy do przestrzeni próbnej, wynosi zero ( P(7)=0 ).

Zauważ, że pierwszy aksjomat nie określa wielkości prawdopodobieństwa możliwych zdarzeń, to znaczy nie określa, jakie musi być prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie np. 4. Określa jedynie, że musi być jakaś liczba dodatnia. .

Aksjomat 2 prawdopodobieństwa

Drugi aksjomat prawdopodobieństwa mówi, że dla każdego eksperymentu prawdopodobieństwo przestrzeni próbki wynosi 1 , czyli formalnie:

drugi aksjomat prawdopodobieństwa

Prostym sposobem zrozumienia Aksjomatu 2 jest to, że prawdopodobieństwo, że jakiś wynik, jakikolwiek by on nie był, zostanie uzyskany w eksperymencie, wynosi 1.

Przykład:

Jak wspomniano powyżej, podczas rzucania monetą możliwe są tylko dwa wyniki: orzeł lub reszka, więc prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł lub reszka, zgodnie z Aksjomatem 2, wynosi 1.

Jeśli pierwszy aksjomat ustawia dolną granicę prawdopodobieństwa na zero, drugi aksjomat ustawia jego górną granicę na 1. Dzieje się tak, ponieważ przestrzeń próbki jest pewnym zdarzeniem, a zatem jego prawdopodobieństwo musi być maksymalnym możliwym.

Aksjomat 3 prawdopodobieństwa

Jeżeli zdarzenia E 1 , E 2 , …, E n nie mają wspólnych wyników (ich przecięcie jest zbiorem pustym), to mówimy, że wzajemnie się wykluczają, ponieważ wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Trzeci aksjomat stwierdza, że ​​suma prawdopodobieństwa wzajemnie wykluczających się zdarzeń jest równa sumie prawdopodobieństw każdego pojedynczego zdarzenia . Innymi słowy:

trzeci aksjomat prawdopodobieństwa

Dla najprostszego przypadku tylko dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń (jak w przypadku rzutu monetą) Aksjomat 3 formułuje się następująco:

uproszczony trzeci aksjomat prawdopodobieństwa

Ten aksjomat formalizuje ideę, że im więcej możliwych wyników zdarzenia, tym większe jest jego prawdopodobieństwo. Wynika to z faktu, że suma dwóch wzajemnie wykluczających się zdarzeń musi z definicji zawierać sumę wszystkich wyników w obu zdarzeniach.

Zastosowanie aksjomatów

Oprócz wyżej wymienionych przykładów, trzy aksjomaty można wykorzystać do skonstruowania i udowodnienia użytecznych twierdzeń w teorii prawdopodobieństwa. Prostym przykładem jest określenie związku między prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia a jego dopełnieniem.

Jeśli E jest jakimkolwiek zdarzeniem, to jego dopełnienie (reprezentowane przez E c ) definiuje się jako zdarzenie, w którym zachodzi coś innego niż E lub, co wychodzi na to samo, że E nie zachodzi . Ta definicja ma dwie konsekwencje:

  • Że E i Ec wzajemnie się wykluczają .
  • Suma między E i E c daje w rezultacie przestrzeń próbki S ( EE c = S ).

Ponieważ wzajemnie się wykluczają, w oparciu o trzeci aksjomat, mamy to

zastosowanie trzeciego aksjomatu prawdopodobieństwa

Ale ponieważ ta suma skutkuje S , to

zastosowanie trzeciego aksjomatu prawdopodobieństwa

Teraz, stosując drugi aksjomat , staje się to

zastosowanie drugiego aksjomatu prawdopodobieństwa

który jest przestawiony jako

wniosek z zastosowania aksjomatów prawdopodobieństwa

Wreszcie, ponieważ wiemy z pierwszego aksjomatu , że P(E c ) musi być wielkością nieujemną, dochodzimy do wniosku, że prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia będzie zawsze równe 1 minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie wystąpi, oraz że każde z dwóch prawdopodobieństw musi mieć wartość z przedziału [0, 1].

Źródła

Devone, JL (1998). Prawdopodobieństwo i statystyka dla inżynierii i nauk ścisłych (wyd. 4). Międzynarodowi wydawcy Thomson.

-Reklama-

mm
Israel Parada (Licentiate,Professor ULA)
(Licenciado en Química) - AUTOR. Profesor universitario de Química. Divulgador científico.

Artículos relacionados

zmienne zależne