Tabla de Contenidos
W matematyce liczby pierwsze są jednym z najczęstszych tematów podczas studiowania liczb całkowitych. Ponieważ liczby pierwsze są nieskończone, ciekawym ćwiczeniem do przećwiczenia z nimi jest sprawdzenie, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo liczba od 1 do X jest liczbą pierwszą.
Co to są liczby pierwsze
Liczby pierwsze to te, które są podzielne tylko przez 1 i przez siebie, czyli przez daną liczbę. Oznacza to, że przy dzieleniu przez dowolną inną liczbę wynik nie daje liczby całkowitej. Uważa się również, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych.
W przeciwieństwie do liczb pierwszych, liczby złożone to te, które można podzielić przez 1, przez siebie i przez inne liczby.
Liczba 1 nie jest uważana za liczbę pierwszą ani za liczbę złożoną.
Liczby pierwsze i sito Eratostenesa
Aby szybko znaleźć wszystkie liczby pierwsze, grecki matematyk Eratostenes (III wiek pne) stworzył szybki sposób na uzyskanie wszystkich liczb pierwszych do określonej liczby. Ta metoda jest znana jako „sito Eratostenesa”.
Sito Eratostenesa to algorytm, który pozwala poznać wszystkie liczby pierwsze mniejsze od danej liczby naturalnej. W tym celu tworzona jest tabela ze wszystkimi liczbami naturalnymi od 2 do wybranej liczby (n). W tym przykładzie n wynosi 100.
Następnie przekreśla się liczby, które nie są liczbami pierwszymi. Najpierw zacznij od 2 i wykreśl wszystkie jej wielokrotności. Kiedy zostanie znaleziona nieskrzyżowana liczba, wszystkie jej wielokrotności są przekreślane i tak dalej. Procedura ta kończy się w momencie uzyskania kwadratu kolejnej liczby potwierdzonej jako pierwsza, która jest większa od „n”.
Za pomocą Sita Eratostenesa otrzymamy 25 liczb pierwszych od 0 do 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 , 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Inne przykłady liczb pierwszych
Inne przykłady liczb pierwszych między 100 a 1000 to: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 , 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349 , 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499 , 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659 , 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829 , 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 i 997.
problem z liczbami pierwszymi
Jak prawie zawsze w matematyce, najlepszym sposobem zrozumienia sposobu obliczania liczb pierwszych jest rozwiązywanie problemów. Rozpatrzmy teraz prosty problem, aby dowiedzieć się, z jakim prawdopodobieństwem możemy wybrać liczbę pierwszą.
Najpierw wybierzemy dodatnią liczbę całkowitą, która może wynosić 1, 2, 3 itd. aż do pewnej liczby X. Następnie musimy losowo wybrać jedną z tych liczb. Oznacza to, że wszystkie liczby X mają prawdopodobieństwo wybrania.
Rozwiązanie tego problemu jest proste dla liczb X, które są niskie. Problem został rozwiązany, wykonując następujące kroki:
- Pierwszy krok:
- Policz liczbę liczb pierwszych mniejszych lub równych X.
- Drugi krok:
- Podziel liczbę liczb pierwszych mniejszą lub równą X przez samą liczbę X. Oznacza to, że jeśli chcemy poznać prawdopodobieństwo wybrania określonej liczby pierwszej od 1 do 10, musimy podzielić liczbę liczb pierwszych przez 10.
Na przykład, aby znaleźć prawdopodobieństwo, że zostanie wybrana liczba pierwsza od 1 do 10, musimy podzielić liczbę liczb pierwszych przez 10. Ponieważ są 4 liczby pierwsze od 1 do 10: 2, 3, 5, 7, prawdopodobieństwo wybrania liczba pierwsza to: 4/10 = 0,4, czyli 40%.
W ten sam sposób, jeśli chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana zostanie liczba pierwsza od 1 do 50, można wykonać poprzednie kroki. Liczymy liczby pierwsze mniejsze od 50, czyli 15: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 i 47. I dzielimy tę liczbę przez 50: 15 /50 = 0,3, czyli 30%. Dlatego istnieje 30% szans na wybranie liczby pierwszej od 1 do 50.
Co to jest twierdzenie o liczbach pierwszych
Innym sposobem poznania liczb pierwszych do określonej liczby i obliczenia prawdopodobieństwa wybrania jednej z nich jest użycie twierdzenia o liczbach pierwszych . Twierdzenie to zostało wypowiedziane przez niemieckiego matematyka Gaussa w XVIII wieku, a prawie sto lat później zostało zademonstrowane przez innych matematyków, takich jak Francuz Jacques Hadamard i Belg Charles-Jean de la Vallée Poussin.
Twierdzenie o liczbach pierwszych stwierdza, że istnieje w przybliżeniu X / ln(X) liczb pierwszych mniejszych lub równych X. W tym stwierdzeniu:
- ln(X): jest logarytmem naturalnym z X.
- X: to liczba, do której chcemy znać liczby pierwsze.
Wraz ze wzrostem wartości X maleje względny błąd między liczbą liczb pierwszych mniejszą niż X a stwierdzeniem X / In(X).
Jak zastosować twierdzenie o liczbach pierwszych
Za pomocą twierdzenia o liczbach pierwszych możemy rozwiązywać problemy podobne do poprzedniego, zwłaszcza jeśli chcemy poznać liczby pierwsze spośród większej liczby liczb.
Z twierdzenia o liczbach pierwszych wiemy, że istnieje w przybliżeniu X/ln(X) liczb pierwszych mniejszych lub równych X. Ponadto istnieje w sumie X dodatnich liczb całkowitych mniejszych lub równych X. Zatem prawdopodobieństwo że losowo wybrana liczba z tego przedziału jest liczbą pierwszą to: ( X / ln(X) ) / X = X / ( ln(X) . X ) = 1 / ln(X).
Na przykład możemy użyć tego wyniku do obliczenia w przybliżeniu prawdopodobieństwa losowego wybrania liczby pierwszej spośród pierwszego miliona liczb całkowitych.
Aby to zrobić, musimy obliczyć logarytm naturalny z miliona. Dlatego mamy:
P(1 000 000) = (X/ln(X) / X = 1 / ln(X)
P(1 000 000) = 1 / ln(1 000 000)
Otrzymujemy więc ln(1 000 000) = 13,8155, a 1 / ln(1 000 000) to w przybliżeniu 0,07238. Mamy zatem około 7,238% szans na losowe wybranie liczby pierwszej z pierwszego miliona liczb całkowitych.
Bibliografia
- López Mateos, M. Matematyka podstawowa. (2017). Hiszpania. UtwórzPrzestrzeń.
- dk. Książka matematyka. (2020). Hiszpania. dk.
- Gracian, E. Liczby pierwsze: długa droga do nieskończoności. (2010). Hiszpania. Książki RBA.
