Tabla de Contenidos
Det roterende treghetsmomentet eller ganske enkelt rotasjonstregheten, er en skalar fysisk størrelse som er typisk for ethvert objekt som har masse, og som måler hvor vanskelig det er å få det til å rotere rundt en bestemt rotasjonsakse. Det er rotasjonsekvivalenten til lineær treghet, og som sådan er det en størrelse som uttrykker vanskeligheten med å endre hastigheten til et objekt, enten det er i hvile eller i bevegelse, med den forskjellen at det i dette tilfellet handler om vinkel hastighet.
Denne størrelsen er av stor betydning i beskrivelsen av rotasjonsbevegelsen siden den lar oss forstå forskjellen i oppførselen til kropper som, til tross for at de har samme ytre form og masse, oppfører seg annerledes når de utsettes for dreiemomentkrefter. snurre rundt. Denne forskjellen oppstår fra forskjellen i fordelingen av kroppens masse rundt rotasjonsaksen. Ovennevnte innebærer at det samme legemet kan ha forskjellige rotasjonstreghetsmomenter avhengig av dets posisjon i forhold til rotasjonsaksen, og dermed gi opphav til forskjellige formler for å beregne treghetsmomentet.
Når det er sagt ovenfor, er det klart at det er så mange formler for å finne treghetsmomentet som mulige former for eksisterende objekter og rotasjonsakser. Imidlertid er det noen spesielle tilfeller av vanlige geometriske former som roterer rundt akser som oppstår naturlig i praksis. I de følgende avsnittene vil vi se de viktigste formlene for å bestemme treghetsmomentet til disse legemene.
Formel for treghetsmomentet til en punktpartikkel
Treghetsmomentet til en punktpartikkel tilsvarer den opprinnelige definisjonen av denne fysiske størrelsen. Dette uttrykket kommer fra uttrykket for rotasjonskinetisk energi når det er skrevet i form av vinkelhastighet, w.
Anta at vi har en partikkel med masse m som roterer rundt en sentral akse som følgende:
Den kinetiske energien til denne partikkelen, som for enhver annen bevegelig partikkel, bestemmes av halvparten av produktet mellom dens masse og hastigheten (størrelsen på hastigheten) hevet til kvadratet, det vil si 1/2 mv 2 . Imidlertid, hvis den eneste bevegelsen som denne partikkelen beskriver er rotasjon rundt aksen (det er ingen translasjon), kan vi uttrykke den lineære hastigheten til partikkelen som en funksjon av dens vinkelhastighet, og skrive v = rω. Ved å gjøre dette blir den kinetiske energien, som i dette tilfellet utelukkende er rotasjonskinetisk energi, uttrykt som:
Der treghetsmomentet, I , til partikkelen er definert som:
I dette uttrykket er m massen til punktpartikkelen og r er rotasjonsradius eller, det samme, avstanden fra rotasjonsaksen til partikkelen.
Formel for treghetsmomentet til en samling punktpartikler
Anta nå at vi ikke har en enkelt partikkel som roterer rundt en akse, men at vi har et system som består av n partikler, hver med en bestemt masse, m i, og hver enkelt roterer med en avstand r i fra rotasjonsaksen , slik som tre-partikkelsystemet vist nedenfor.
Hvis vi ønsket å beregne den totale kinetiske energien til dette systemet, måtte vi bare legge til kinetiske energiene til hver av de tre partiklene. Hvis vi utvider denne ideen til det generelle tilfellet av n partikler og antar at de alle beveger seg med samme vinkelhastighet (fordi de roterer sammen), vil den totale rotasjonskinetiske energien til systemet gis av:
Derfra følger det at det totale treghetsmomentet til et system av n partikler som roterer sammen rundt samme akse, hver med sin egen masse og sin egen svingningsradius, er gitt av:
Denne formelen fungerer både for punktpartikler og for sfæriske partikler av enhver størrelse, så lenge rotasjonsaksen er utenfor kulen. Hvis denne betingelsen er oppfylt, tilsvarer radien avstanden mellom aksen og sfærens sentrum og massen tilsvarer den totale massen til sfæren.
Integrert formel for treghetsmomentet til stive legemer
Formelen ovenfor for treghetsmoment gjelder for systemer dannet av punkt- og diskrete partikler. Den kan imidlertid utvides til stive legemer som har en kontinuerlig massefordeling, akkurat som det skjer omtrent med makroskopiske legemer.
I disse tilfellene består beregning av treghetsmomentet av å dele kroppen i små masseelementer (Δm i ), hver av dem plassert i en avstand r i fra rotasjonsaksen, og deretter bruke den forrige ligningen. Men hvis vi skyver størrelsen på masseelementet til grensen der det blir et infinitesimalt element eller en massedifferensial (dm), så blir summeringen integralet, som vist nedenfor:
Dette er det generelle uttrykket for å finne treghetsmomentet til ethvert stivt legeme, uansett form eller massefordeling. I de fleste tilfeller, for å utføre integrasjonen, erstattes masseelementet, dm , med produktet av kroppens tetthet multiplisert med volumdifferensialen, dV . Dette gjør det mulig å utføre integrasjonen over hele volumet av den stive kroppen, selv om massefordelingen ikke er jevn (så lenge det er kjent hvordan den varierer avhengig av posisjonen).
I dette tilfellet blir det integrerte uttrykket for treghetsmomentet:
Deretter vil vi presentere resultatet av å integrere det forrige uttrykket for ulike stive kropper med regelmessige former som ringer, sylindre og kuler, blant annet. I alle tilfellene beskrevet nedenfor er dimensjonene og massene til de betraktede kroppene representert med store bokstaver, for å skille dem fra integrasjonsvariablene.
Formel for treghetsmomentet til en tynn jevn ring med radius R om sin sentrale akse
Et av de enkleste tilfellene når man integrerer den forrige ligningen, er en enhetlig ring som roterer rundt sitt symmetrisenter. Følgende figur viser denne saken.
I det spesielle tilfellet der tykkelsen på ringen er ubetydelig sammenlignet med dens radius, kan vi betrakte den som en masse fordelt langs en omkrets uten tykkelse, slik at alle masseelementene i hovedsak har samme radius, i I dette tilfellet, R. Gitt disse forholdene, forlater radius integralet, og etterlater bare integralet av differensialmassen, dm, som ganske enkelt er massen til ringen, M. Resultatet er:
I dette uttrykket indikerer CM at det er treghetsmomentet rundt massesenteret.
Formel for treghetsmomentet til en solid kule med radius R som dreier seg om sentrum
I tilfellet med en solid kule med radius R og jevn tetthet, som roterer rundt en hvilken som helst av dens diametre (en akse som går gjennom midten), slik som den som er vist nedenfor, kan det forrige integralet løses på forskjellige måter, blant annet ved hjelp av et sfærisk koordinatsystem.
Resultatet av integrasjonen i dette tilfellet er:
Formel for treghetsmomentet til et sfærisk skall med indre radius R 1 og ytre radius R 2 rundt midten
Hvis det i stedet for en solid kule er en hul kule eller et sfærisk skall med tykke vegger, må vi vurdere to radier, den ytre og den indre. Disse er vist i følgende figur.
I dette tilfellet er løsningen å betrakte det sfæriske skallet som en kule med radius R2 hvorfra en kule av samme materiale er fjernet fra sentrum hvis radius er R1. Etter å ha bestemt massen som den store sfæren ville hatt og den til den lille sfæren som ble trukket tilbake gjennom tettheten til det opprinnelige skallet, trekkes tregheten til begge sfærene for å oppnå:
Formel for treghetsmomentet til et tynt sfærisk skall med radius R rundt midten
I det tilfellet at tykkelsen på det sfæriske skallet er ubetydelig sammenlignet med dets radius eller, hva er det samme, at R 1 er praktisk talt lik R 2 , kan vi beregne treghetsmomentet som om det var en overflatefordeling av masse, alt ligger i en avstand R fra sentrum.
I dette tilfellet har vi to alternativer. Den første er å løse integralet fra bunnen av. Det andre er å ta det forrige resultatet, det for det tykke sfæriske skallet, og oppnå grensen når R1 har en tendens til R2. Resultatet er som følger:
Formel for treghetsmomentet til en tynn stang med lengde L om en vinkelrett akse gjennom massesenteret
Når vi har en tynn stang, kan vi i hovedsak tenke på den som en lineær fordeling av massen, uavhengig av formen på dens profil (dvs. uavhengig av om den er en sylindrisk, firkantet eller en annen formet stang). I disse tilfellene er det eneste som betyr noe at deigen fordeles jevnt langs stangens lengde.
I dette tilfellet uttrykkes treghetsmomentet som:
Formel for treghetsmomentet til en tynn stav med lengde L om en vinkelrett akse gjennom den ene enden
Dette er det samme tilfellet som ovenfor, men med hele stangen som roterer rundt en akse vinkelrett fra den ene enden:
Siden massen til stangen i gjennomsnitt er i større avstand fra rotasjonsaksen, vil treghetsmomentet være større. Faktisk er det fire ganger større enn det forrige tilfellet, som vist med følgende uttrykk:
Merk at i dette tilfellet går ikke aksen gjennom massesenteret, så CM-subskriptet til treghetsmomentsymbolet er utelatt.
Formel for treghetsmomentet til en solid sylindrisk stang med radius R om sin sentrale akse
Dette tilfellet løses på en veldig enkel måte ved å bruke et sylindrisk koordinatsystem og vurdere sylinderen som om den var dannet av konsentriske sylindriske skall av lik lengde, men med forskjellige radier. Da integreres radien fra r = 0 til r = R.
Resultatet av denne prosessen er formelen for treghet til en sylindrisk stang, som er:
Det skal bemerkes at siden dette resultatet ikke avhenger av lengden på sylinderen, kan det samme uttrykket brukes for en sirkulær skive.
Formel for treghetsmomentet til en hul sylinder med indre radius R 1 og ytre radius R 2 om sin sentrale akse
Denne saken ligner på det tykke sfæriske skallet. Det påføres når tykkelsen på skallet, eller forskjellen mellom dets ytre og indre radier, er i samme størrelsesorden som selve radiene, og derfor kan vi ikke vurdere at massen er konsentrert på en overflate. Tvert imot må vi vurdere at det er en tredimensjonal fordeling av masse langs tykkelsen på skallet.
Som i tilfellet med det tykke sfæriske skallet, kan treghetsmomentet til en hul sylinder med en indre radius på R 1 og en ytre radius på R 2 finnes ved hjelp av direkte integrasjon, eller ved å trekke treghetsmomentet fra sylinder som ble trukket tilbake når det sentrale hullet ble åpnet, av treghetsmomentet til en solid sylinder som har samme tetthet som skallet, ved å bruke formelen i forrige avsnitt for hver av disse to treghetene.
Resultatet av en av disse to strategiene er det samme og presenteres nedenfor:
Som i forrige tilfelle, siden dette resultatet ikke avhenger av lengden på sylinderen, kan vi bruke det til å beregne treghetsmomentet til en sirkulær skive med et hull i midten, som for eksempel en skive eller en Blu-ray-plate.
Formel for treghetsmomentet til et tynt sylindrisk skall med radius R om sin sentrale akse
I tilfelle vi har en hul sylinder som den som er vist i følgende figur, der tykkelsen på det sylindriske skallet er veldig liten sammenlignet med radiusen til sylinderen, kan vi anta at massen bare er fordelt på overflaten av radius R .
Som i de andre tilfellene kan vi utføre den direkte integrasjonen ved å bruke arealmassetettheten, eller vi kan evaluere resultatet av det tykke sylindriske skallet i grensen der R1 har en tendens til R2. Resultatet er:
Igjen merker vi at dette resultatet er uavhengig av lengde. Dette betyr at det gjelder like mye for en tynn bøyle. Faktisk kan vi bekrefte at det er det samme resultatet oppnådd i seksjonen som tilsvarer en tynn ring.
Formel for treghetsmomentet til en vanlig rektangulær plate om en vinkelrett akse gjennom midten
Tenk til slutt på tilfellet med en rektangulær plate som roterer rundt en akse vinkelrett på en hvilken som helst av overflatene, og passerer gjennom massesenteret, som vist nedenfor.
Resultatet av direkte integrasjon er:
Som i de tidligere tilfellene er dette resultatet uavhengig av høyden eller tykkelsen på platen, så det gjelder like mye for et papirark som for en solid sementblokk.
Referanser
Khan Academy. (nd). Rotasjonstreghet (artikkel) . https://en.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-momentum/torque-tutorial/a/rotational-inertia
OneClass. (2020, 6. oktober). OneClass: Starter med formelen for treghetsmomentet til en stang . https://oneclass.com/homework-help/physics/6942744-moment-of-inertia-bar.en.html
Serway, RA, Beichner, RJ, & Jewett, JW (1999). Fysikk for forskere og ingeniører med moderne fysikk: 2: Vol. bind I (femte utgave). McGraw Hill.
Snapsolve. (nd). Treghetsmomentet til et hult tykt sfærisk skall . https://www.snapsolve.com/solutions/Themoment-of-inertia-of-a-hollow-thick-spherical-shell-of-mass-M-and-its-inner-r-1681132593667073
