Hva er tilfeldig brownsk bevegelse og hva gjør det?

Brownsk bevegelse er en observerbar tilfeldig bevegelse i svært små partikler som er suspendert i et medium som en væske eller en gass. Oppdagelsen av dette fenomenet tilskrives botanikeren Robert Brown (derav navnet hans) som i 1827 rapporterte om den uberegnelige bevegelsen av de små pollenkornene til Clarkia pulchella -planten når de ble suspendert i vann.

Brownsk bevegelse er av stor betydning i vitenskapens historie da den ga det første overbevisende eksperimentelle beviset for eksistensen av atomer og molekyler. I tillegg la han grunnlaget for den eksperimentelle bestemmelsen av Avogadros konstant, essensielt for definitivt å fastslå den virkelige massen av atomer. Inntil da hadde massen av atomer vært en relativ skala.

Til tross for å ha oppdaget det i pollenpartikler, bekreftet Robert Brown selv at bevegelsene ikke hadde noe å gjøre med den biologiske opprinnelsen til partiklene, siden partikler av ethvert uorganisk materiale også beskrev den samme bevegelsen. Brown konkluderte riktig med at dette må være en iboende egenskap ved materie.

Einsteins modell

Den første som utviklet en matematisk modell av Brownsk bevegelse var Albert Einstein. I en artikkel publisert i 1905 uttalte Einstein at årsaken til bevegelsen av pollenpartikler var uopphørlige kollisjoner av vannmolekyler i alle retninger. I følge Einsteins modell er disse kollisjonene helt tilfeldige, så til enhver tid kan det være flere kollisjoner på den ene siden av pollenpartikkelen enn den andre, noe som får partikkelen til å bevege seg.

Nøkkelresultatene av Einsteins teori om Brownsk bevegelse var:

• Uttrykket for fordelingen av Brownske partikler rundt et opprinnelsespunkt som en funksjon av tid.
• Forholdet mellom rotmiddelkvadratforskyvningen til en Brownsk partikkel og dens diffusivitet (D), som kan relateres direkte til Avogadros konstant.

Fordelingen av brownske partikler

Etter den matematiske og statistiske analysen av den Brownske bevegelsen og av vannpartiklene i termodynamisk likevekt, var Einstein i stand til å demonstrere at den gjennomsnittlige forskyvningen av partiklene i forhold til opprinnelsen følger en normalfordeling (en gaussisk klokke) gitt av følgende ligning :

Der ρ(x,t) er tettheten som funksjon av posisjon og tid, N er antall tilstedeværende Brownske partikler, x er forskyvningen eller avstanden fra opprinnelsespunktet, D er diffusiviteten og t er tid.

Denne ligningen forutsier at hvis du starter med et sett N av Brownske partikler på et gitt punkt, vil de begynne å diffundere i alle retninger og tettheten vil være normalfordelt rundt startpunktet. Ettersom tiden går, vil klokken bli flatere og bredere, noe som gjør partikkeltettheten mer og mer jevn.

Slik sett gir Einsteins modell av Brownsk bevegelse en molekylær forklaring på diffusjon, og forklarer hvordan og hvorfor partikler har en tendens til å diffundere fra der de er mest konsentrert (hvor tettheten deres er størst) til der de er minst konsentrert (hvor tettheten deres er størst) . er mindre).

Uttrykket for rot betyr kvadratisk forskyvning

Fra tetthetsfordelingsligningen var Einstein i stand til å oppnå flere viktige resultater angående Brownsk bevegelse. Ingen er imidlertid viktigere enn uttrykket for gjennomsnittlig kvadratforskyvning av den Brownske partikkel, det vil si gjennomsnittet av kvadratet av partikkelforskyvningene til hver tid i forhold til dens utgangspunkt.

Einstein-fordelingen innebærer at rotmiddelkvadratforskyvningen er gitt av:

Deretter, ved å kombinere partikkeltetthetsfordelingsfunksjonen og Ficks diffusjonslov, oppnådde han et andre uttrykk for diffusivitet (D), som, når den erstattes med ligningen ovenfor, gir:

Viktigheten av ligningen ovenfor er at den relaterer to universelle konstanter, den universelle ideelle gasskonstanten (R) og Avogadros konstant (NA ₎ , med den gjennomsnittlige kvadratiske forskyvningen av en Brownsk partikkel. Alternativt kan du relatere denne forskyvningen til Boltzmanns konstant, som ikke er noe annet enn forholdet mellom de to nevnte konstantene (k=R/N _A ). Dette åpnet for muligheten for ved hjelp av et genialt, men nesten trivielt eksperiment, å bestemme verdien av en av de viktigste konstantene i atomteorien.

Jean Baptiste Perrin mottok Nobelprisen i fysikk i 1926 for sine bidrag til atomteorien om materie, og et av hans viktigste eksperimenter besto av den eksperimentelle verifiseringen av Einsteins teori om Brownsk bevegelse. Eksperimentet hans besto av å registrere posisjonen til en kolloidal partikkel hvert 30. sekund og måle avstanden mellom hver posisjon. Disse avstandene tilsvarer forskyvningene til partikkelen etter 30 sekunder, som han var i stand til å konstruere en fordeling som perfekt passet til Einsteins spådom. I tillegg, etter å ha bestemt den gjennomsnittlige kvadratiske forskyvningen av partiklene, var han i stand til å estimere verdien av konstanten eller Avogadros tall.

Brownske bevegelsesapplikasjoner

Teorien bak den Brownske bevegelsen finner flere anvendelser i svært forskjellige felt som er fullstendig urelaterte til fysikk, men som beskriver tilfeldige bevegelser. Noen av de viktigste bruksområdene for Brownsk bevegelse er:

• Beskrivelsen av diffusjonen av partikler gjennom en væske eller en gass.
• Beskriv og analyser banen til partikler som ioner eller andre oppløste stoffer gjennom kanaler og porøse materialer.
• Beskriver og tillater spådommer om prissvingninger i finansmarkedene.
• Det brukes i modellering av hvit støy og andre typer støy.
• Det brukes innen syntetisk hydrologi og polymervitenskap.

Brownske bevegelseseksempler

Det er mange fenomener vi kan observere i vårt daglige liv som er en konsekvens av Brownsk bevegelse. Noen eksempler er:

• Bevegelsen av små støvpartikler suspendert på overflaten av en væske.
• Den uberegnelige bevegelsen til de små gassboblene som dannes på overflaten av noen brus.
• De tilfeldige bevegelsene til luftbårne støvpartikler i fravær av luftstrømmer.

Referanser

• Bodner, G. (2004). Hvordan ble Avogadros nummer bestemt? Hentet fra https://www.scientificamerican.com/article/how-was-avogadros-number/
• Chi, M. (1973).  Praktisk bruk av fraksjonert Brownsk bevegelse og støy . Hentet fra https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/pdfdirect/10.1029/WR009i006p01523
• Encyclopedia Britannica Publishers (2017). Brownsk bevegelse . Hentet fra https://www.britannica.com/science/Brownian-motion
• Tongcang Li, Mark G. Raizen (2013). Brownsk bevegelse på korte tidsskalaer . Hentet fra https://doi.org/10.1002/andp.201200232