Addisjonsreglene i sannsynlighet og statistikk refererer til de forskjellige måtene vi kan kombinere kjente sannsynligheter for to eller flere forskjellige hendelser for å bestemme sannsynligheten for nye hendelser dannet av foreningen av disse hendelsene .
I statistikk og sannsynlighet vet vi ofte sannsynligheten for at visse hendelser (for eksempel hendelser A og B) vil inntreffe hver for seg, men ikke sannsynligheten for at de inntreffer samtidig eller at den ene eller den andre vil inntreffe. Det er her tilleggsreglene kommer godt med.
For eksempel: vi kan vite sannsynligheten for å kaste en sekser når du kaster to terninger, kall det P(kast 6), og sannsynligheten for at begge terningene lander på partall, kall det P(partall).
Dette er relativt enkelt. Men noen ganger er vi interessert i å bestemme sannsynligheten for at når to terninger kastes, får de begge et partall eller at de legger sammen til seks. I statistisk notasjon og i gruppeteori er dette «eller» representert med symbolet U som indikerer foreningen av to hendelser, og i dette tilfellet vil denne sannsynligheten bli representert som følger:
Disse typer sannsynligheter kan beregnes ut fra de enkelte sannsynlighetene og noen tilleggsdata ved hjelp av addisjonsreglene.
Det skal bemerkes at hvilken tilleggsregel vi skal bruke i hvert enkelt tilfelle avhenger både av antall hendelser vi vurderer og om disse hendelsene utelukker hverandre eller ikke. Tilleggsreglene for noen enkle tilfeller er beskrevet nedenfor.
Tilfelle 1: Tilleggsregel for usammenhengende eller gjensidig utelukkende arrangementer
To hendelser kalles gjensidig utelukkende når forekomsten av en av dem utelukker muligheten for at den andre inntreffer. Det vil si at de er hendelser som ikke kan skje samtidig. For eksempel, når du kaster en terning, utelukker den som resultatet der 4 kommer opp at noen av de andre 5 mulige resultatene har kommet opp.
Hvis vi vurderer to eller flere hendelser (A, B, C…) som utelukker hverandre, består unionssannsynligheten ganske enkelt av summen av de individuelle sannsynlighetene for hver av disse hendelsene. Det vil si at i dette tilfellet er unionssannsynligheten gitt av:
Dette kan lettest forstås ved hjelp av et Venn-diagram. Her er prøverommet representert ved et rektangulært område; mens sannsynligheten for hver hendelse er representert av sektorer innenfor dette større området. I et Venn-diagram blir gjensidig utelukkende hendelser sett på som separate områder som verken berører eller overlapper.
I denne typen diagrammer består beregning av unionssannsynligheten av å oppnå det totale arealet som er okkupert av alle hendelsene hvis sannsynligheter vi vurderer. Når det gjelder det forrige bildet, innebærer dette å oppnå det totale arealet av sektorene A, B og C, det vil si det blå området i følgende figur.
Det er lett å se at hvis hendelsene er usammenhengende som i tilfellet med de to bildene ovenfor, er unionssannsynligheten ganske enkelt summen av de tre områdene.
Eksempel 1: Beregning av sannsynligheten for å få et jevnt resultat ved terningkast
Anta at vi kaster en terning og vi vil vite sannsynligheten for å få et partall. Siden de eneste mulige partallene på en 6-sidig terning er 2, 4 og 6, så er det vi egentlig ønsker å vite sannsynligheten for at terningen vil lande på 2, 4 eller 6, siden i ett av disse tilfellene ville har falt til et partall.
Sannsynligheten for å få noen av de 6 hodene er 1/6 (så lenge det er en rettferdig terning). Også, som vi så for et øyeblikk siden, er de tre utfallene gjensidig utelukkende hendelser siden, hvis 2 kast, kunne ikke 4 eller 6 rullet, og så videre. Under disse forholdene er unionssannsynligheten gitt av:
Tilfelle 2: Tilleggsregel for to arrangementer som ikke utelukker hverandre
Hvis A og B er hendelser som deler utfall med hverandre, det vil si at de kan inntreffe samtidig, sies hendelsene ikke å utelukke hverandre. I dette tilfellet ser Venn-diagrammet slik ut:
Som man kan se, er det et område av prøverommet der begge hendelsene skjer samtidig. Hvis vi vil bestemme sannsynligheten for forening, det vil si P(AUB), må vi finne området som er angitt i Venn-diagrammet til høyre i forrige figur.
Det er lett å se at i dette tilfellet, hvis vi bare legger til områdene A og B, teller vi fellesarealet to ganger, så vi får et område (les sannsynlighet) større enn det vi ønsker. For å korrigere denne overflødige feilen, er det bare nødvendig å trekke fra området som deles av hendelsene A og B, som tilsvarer sannsynligheten for skjæringspunktet:
Dette uttrykket for sannsynligheten for forening gjelder også for det forrige tilfellet siden, gjensidig utelukkende, sannsynligheten for at de oppstår på samme tid (sannsynligheten for skjæring) er null.
Eksempel 2: Beregning av sannsynligheten for å oppnå et partallsresultat eller oppnå et tall mindre enn 4 når du kaster en terning
I dette tilfellet deler begge hendelsene utfall 2, som er både partall og mindre enn 4, så unionssannsynligheten vil være:
Tilfelle 3: Tilleggsregel for tre arrangementer som ikke utelukker hverandre
Et annet litt mer komplekst tilfelle er når 3 hendelser oppstår som ikke utelukker hverandre, for eksempel den som vises i følgende Venn-diagram:
I dette tilfellet teller summen av de tre områdene to ganger skjæringssonene mellom A og B, mellom B og C og mellom C og D, og teller tre ganger skjæringssonen for de tre hendelsene A, B og C. Hvis vi gjør det som før og subtrahere skjæringsområdene mellom hvert par hendelser fra summen av de tre områdene, vil vi trekke fra tre ganger arealet av sentrum, så det må legges til som sannsynligheten for skjæringspunktet mellom de tre hendelsene. Til slutt er den generelle tilleggsregelen for tre ikke-eksklusive arrangementer gitt av:
Som før er dette uttrykket generelt for ethvert sett med tre hendelser, enten de er usammenhengende eller ikke, siden i dette tilfellet vil kryssene være tomme og resultatet vil være det samme uttrykket som det første tilfellet.
Eksempel 3: Beregning av sannsynligheten for å få et partall, et tall mindre enn 10 eller et primtall på en 20-sidig terning
I dette tilfellet er det tre hendelser som deler utfall mellom og også inneholder utfall som ikke deles, så unionssannsynligheten er gitt av det nevnte uttrykket.
Sannsynlighetene for de enkelte hendelsene er:
Nå er skjæringssannsynlighetene:
Bruk nå ligningen for unionssannsynligheten:
Referanser
- strålende. (nd). Sannsynlighet – Summeregel | Brilliant Math & Science Wiki . Hentet fra https://brilliant.org/wiki/probability-rule-of-sum/
- lumen. (nd). Sannsynlighetsregler | Grenseløs statistikk . Hentet fra https://courses.lumenlearning.com/boundless-statistics/chapter/probability-rules/#:%7E:text=The%20addition%20rule%20states%20the,probability%20that%20both%20will%20happen .
- MateMobile. (2021, 1. januar). Regel for summen eller tillegg av sannsynligheter | matermobil . Hentet fra https://matemovil.com/regla-de-la-suma-o-adicion-de-probabilidades/
- Webster, A. (2001). Statistikk brukt på næringsliv og økonomi (spansk utgave) . Toronto, Canada: Irwin Professional Publishing.
